保定高三数学模拟

保定市2010年高三第一次模拟试卷
数学试题(B 卷)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
1．已知非零向量,a b 满足||2||a b = 且()a b b +⊥
，则向量,a b 的夹角是
A ．
π4
B ．
π3
C ．
π2
D ．
2π3
2．(理)已知复数z 满足(1)23i z i +=-，则复数z = A ．1522
i -
+ B ．1522
i -
- C ．
5122
i - D ．5122
i -
+ (文)已知命题:p m 、n 为直线，α为平面，若//,m n n α⊂，则//m α；命题:q 若
a b >，则ac bc >，则下列命题为真命题的是 A ．p 或q B ．p ⌝或q C ．p ⌝且q D ．p 且q
3．集合1{|
0}2x A x x +=≥-，π
{|sin ,N}2
n B y y n ==∈，则()R C A B ⋂= A ．{1,0,1}-
B ．{1,1}-
C ．{0,1}
D ．{1}-
4．(理)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且4n n a S +=，则lim n n S →∞
=
A ．2
B ．2-
C ．4
D ．4-
(文)若各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =且1n a +=16a = A ．4
B ．4±
C ．16
D ．16±
5．若函数π2cos(2)3y x =+的图像按向量m 平移后得到函数π
2sin(2)3
y x =+的图像，则向量m
可以为 A ．π
(,0)4 B ．π
(,0)4
-
C ．π(,0)2
D ．π
(,0)2
-
6．(3n
x
-
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中x 的系数为 A ．2835- B ．2835
C ．945-
D ．945
7．标有数字1，2，3，4，5的卡片各两张，每张卡片的形状相同，从中任取3张，若取出的3张卡片上的数字互不相同，则这样的取法有多少种？ A ．480 B ．360 C ．120 D ．80 8．已知0,0a b ≥≥，且4a b +=，则 A ．2
2
128a b ≥+≥ B ．22
168a b ≥+≥ C ．2ab ≤
D ．32ab ≥≥
9．(理)函数1
()1
x f x x -=+的图像在点(1,0)处的切线与直线430x ay ++=垂直，则a = A ．8
B ．8-
C ．2
D ．2-
(文)函数3()1f x x x =--的图像在点(1,1)-处的切线与直线430x ay ++=垂直，则
a =
A ．8
B ．8-
C ．2
D ．2-
10．(理)直线10kx y k --+=与圆2240x y y +-=交于A 、B 两个不同点，则|AB |的取
值范围是
A ．⋃
B ．
C ．⋃
D ．
(文)过点(1，1)的直线与圆22:40C x y y +-=交于A 、B 两个不同点，则|AB |的取值范围是
A ．(0,2]
B ．
C ．
D ．
11．若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f =，则
()()
0f x f x x
-->的
解集为
A ．(2,0)(0,2)-⋃
B ．(,2)(0,2)-∞-⋃
C ．(2,0)(2,)-⋃+∞
D ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞
12．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为3，点O 为底面111A B C 的中心，点M 在棱AB 上，
且AM ＝2BM ，则异面直线OM 与1BC 所成角的余弦值为
A ．
5
B ．
5
C ．
5
D ．
5
第Ⅱ卷
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的相应
横线上)
13．(理)实数x 、y 满足|2|1x y x -≤-，则x y +的最小值为___________．
(文)实数x 、y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则2x y +的最大值为___________．
14．已知表面积为36π的球中，有一内接正三棱锥P ABC -(P 为三棱锥的顶点)，若点P 、
A 的球面距离为2π，则侧棱P A 与底面ABC 所成角的大小为___________． 15．设A 为锐角，若lg(1sin )A m +=，1
lg
1sin n A
=-，则
lg cos A 的值为___________．(用m ，n 表示)
16．如图，具有公共y 轴的两个直角坐标平面α、β所成的二面
角等于60
，已知平面β内的曲线C '的方程是
22(0)
y p x p '=>，则曲线C '在平面α内的射影的方程为___________．
三、解答题(本大题共6小题，70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
已知：函数1
()cos )cos (0)2
f x x x x ωωωω=++
>的最小正周期为π． (1)若π[0,]2
x ∈，求函数()f x 的值域；
(2)设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4,()0a f A ==，且
5
sin sin sin 4
B C A +=
，求△ABC 的面积
18．(本小题满分12分)
(理)某校进行体育达标测试，要求每个学生参加2项田赛和2项径赛共四项测试，且每
项测试之间互不影响，若学生甲通过每项田赛测试的概率为1
2
，通过每项径赛测试的概率为
2
3
，且该校规定至少通过3项测试才能达标．
(1)求学生甲达标的概率
(2)求此次测试中，学生甲所能通过测试的项目个数的分布列和数学期望． (文)某校进行体育达标测试，要求每个学生参加3项田赛和3项径赛共六项测试，且每项测试之间互不影响，若学生甲通过每项田赛测试的概率为1
2
，通过每项径赛测试的概率为
2
3
，且该校规定至少通过4项测试才能达标． (1)求甲恰好通过4项测试的概率；
(2)若通过5项测试就可以评为优秀，求甲获得优秀的概率．
19．(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，点E 为PB 中点，点O 为AC 、BD 交点，且P A ＝AB ＝4． (1)(理)求证：平面EOC ⊥平面PBC ； (文)求证：平面ECA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B EO C --的大小．
20．(本小题满分12分)
(理)已知：函数()1x
f x e =-(e 为自然对数的底数)，设为1
()f x -函数()f x 的反函数，
且2
1
()()g x ax f x -=+
(1)当1
4
a =-
时，求函数()y g x =的单调递增区间； (2)若[0,)x ∈+∞时，函数()y g x =图象上的点都在0
x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的区域内，求a
的取值范围．
(文)已知：数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且6915,,a a a 依次为等比数列{}n b 的连续三项，若数列{}n b 的首项为1
2
，设lg n n c b =，求{}n c 的前n 项的和n S ．
21．(本小题满分12分)
(理)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，其右焦点F 到右准线和渐近线的距离分
和1，过点(0，1)的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两不同点，以OA 、OB 为邻边构造平行四边形AOBD (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，且满足OP OD λ=
，求实数λ的取值范围．
(文)已知函数()(1)f x x =
≥，设1()f x -函数()f x 的反函数，且
3
1()()(0)x g x f x a a
-=->
(1)当a ＝3时，求函数()y g x =的单调递增区间； (2)若不等式2
()32g x x x ≥--恒成立，求a 的取值范围
22．(本小题满分12分)
(理)已知数列{}n a 满足12a =，2122n n n a a n ++=+⋅ (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设2()2n n b An Bn C =++⋅，试判断是否存在常数A 、B 、C ，使得对于一切*
N n ∈，都有1n n n a b b +=-成立？若存在，求出常数A 、B 、C 的值，若不存在，请说明理由． (3)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2
25
(3)22
n n S n n +<-
+⋅．
(文)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，其右焦点F 到右准线和渐近线的距离分
别为
2
和1，过点(0，1)的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两不同点，以OA 、OB 为邻边构造平行四边形AOBD (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，且满足OP OD λ=
，求实数λ的取值范围．
数学模拟试题参考答案及评分标准
一、选择题：
(理)CBDCA BDDCC DA (文)CBDAA BDDBC DA B 卷：(理)DBCCA DDBCC DA
(文)DBCAA DDBBC DA 二、填空题：
13．(理)3、(文)7； 14．π3； 15．1()2
m n -； 16．2
4(0)y px p => 三、解答题
17．(1)1
()cos cos cos 2
f x x x x x ωωωω=++
1π
2cos 21sin(2)1226
x x x ωωω=
++=++ …………2分 2ππ
π1,()sin(2)126T f x x ωω==
⇒=∴=++ …………3分 πππ7π
[0,]2[,]2666
x x ∈∴+∈
∴函数()f x 的值域为1
[,2]2． …………5分
(2)由5sin sin sin 4B C A +=得5
4
b c a +=
又4a =，所以5b c +=
由π2π
()sin(2)1063f A A A =++=⇒= …………7分
由余弦定理知：2
2
2
2
2
2
2cos ()a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+- ∴9bc = …………9分
所以112πsin 9sin 223S bc A =
=⨯⨯= …………10分
18．(理)
(1)解：设学生甲达标为事件A ，通过2项田赛和1项径赛测试的事件为B ，
通过2项田赛项和2项径赛测试的事件为C ， 通过1项田赛项和2项径赛测试的事件为D
则()()()()p A p B p C p D =++
又2
2
1
22
1221
()()(1)2
339
p B C C =-= …………1分 2222
22121()()()239
p C C C == …………2分
1222
22122()()()239
p D C C == …………3分
所以1124
()()()()9999
p A p B p C p D =++=++= …………4分
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4 …………5分
22121
(0)(1)(1)2336
p ξ==--= …………6分
12222212222121221(1)()(1)(1)(1)232336
p C C C C ξ==-+--= …………7分
2222221212222121212213(2)()(1)(1)()()(1)232323336p C C C C ξ==-+-+-=…8分
121
(3)993p ξ==+= …………9分
1
(4)9
p ξ== …………10分
ξ
0 1 2 3 4
p
36
1 61 3613 31 91
………………11分
1113117
()0123436636393
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分 18．(文)
解：(1)设通过4项测试为事件A ，通过3项田赛和1项径赛测试的事件为B ，
通过2项田赛项和2项径赛测试的事件为C ， 通过1项田赛项和3项径赛测试的事件为D
则()()()()p A p B p C p D =++
3312331221()()(1)23336p B C C =-= …………1分
2322331221
()()()(1)2336
p C C C =-= …………2分
1333
33121()()()239
p D C C == …………3分
11111
()()()()366936
p A p B p C p D =++=++= …………6分
(2)甲要获得优秀则其应通过测试中的5项或6项，…………7分
通过5项的概率为 322223
1331221121
()()(1)()(1)()2332236
p C C =-+-=
…9分 通过6项的概率为 332121
()()2327
p == …………10分
故甲获得优秀的概率为 1211
54
p p p =+= …………12分
19．解法一：(1)连结AE ，则AE PB ⊥ …………1分
∵PA ⊥平面ABCD PA BC ⇒⊥
又BC AB ⊥，∴BC ⊥平面PAB …………2分 ∵AE ⊂平面PAB ，∴AE BC ⊥ ∴AE ⊥平面PBC …………4分
∵AE EOC ⊂，∴平面EOC ⊥平面PBC ……5分 (2)过B 作BF EC ⊥，垂足为F ，
过F 作FG EO ⊥，垂足为G ，连接BG ． ∵平面EOC ⊥平面PBC
∴BF ⊥平面EOC …………7分 由三垂线定理知：BG EO ⊥
∴BGF ∠为所求二面角B EO C --的平
面角 ……8分
又PB =
BE =4BC =， 在直角三角形EBC
中，BF ==
又1
2
EO PD BE OB =
===EBO ∆为等边三角形， 又BG EO ⊥
，∴BG …………11分
∴sin BF BGF BGF BG ∠=
=⇒∠=所以二面角B EO C --
的大小为 …………12分
解法二：如图：建立空间坐标系：A －xyz
则：P (0,0,4) B (4,0,0) E (2,0,2) C (4,4,0) O (2,2,0)……2分
(1))2,2,0(-= )0,2,2(= 设平面EOC 法向量),,(111z y x =
则⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅111111110
22022x z x y y x z y ∴)1,1,1(--=…………4分 又)0,4,0()4,0,4(==BC PB 设平面PBC 法向量),,(222z y x =m
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨
⎧==⋅=-=⋅00
404422
2222y z x y z x PB m ∴)1,0,1(-=m …………6分 又0101=-+=⋅∴⊥ ∴平面EOC ⊥平面PBC …………7分
(2)∵),2,2,0()0,2,2(-=-=设平面EOB 法向量),,(333z y x =
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=⋅=-=⋅33
3333330220
22y z y x z y y x ∴)1,1,1(=h …………9分 ∵cos 〈,〉3
13111-=--=
所以二面角B －EO －C 的大小为arccos
3
1
．………………12分 20．(理)
解：(1)函数()1x
f x e =-的反函数1
()ln(1)(1)f
x x x -=+>- …………2分
当14a =-
时，2
1()ln(1)4
g x x x =-++ 所以11(2)(1)
()0212(1)
x x g x x x x +-'=-
+=->++ 所以(,2)(1,1)x ∈-∞-⋃- …………4分
因为定义域为(1,)x ∈-+∞，
所以()y g x =的单调递增区间为(1,1)- …………5分 (2)由题意知，[0,)x ∈+∞时，()g x x ≤恒成立， 即：2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立 …………7分 设2()ln(1)h x ax x x =++-，则1[2(21)]()2111
x ax a h x ax x x +-'=+-=++ ①当0a =时，()1
x
h x x -'=
+，[0,)x ∈+∞，0,10x x -≤+>，∴()0h x '≤ 即()h x 在[0,)x ∈+∞上为减函数，故()(0)0h x h ≤=，故0a =时成立……9分
②当0a >时，由[2(21)]()01x ax a h x x +-'==+得121
0,12x x a
==-
若20x <，此时1
2
a >
，则()h x 在[0,)x ∈+∞上为增函数，无最大值． (注：由于x →+∞时，()h x →+∞，所以无最大值，不加此注不扣分) 若20x ≥，此时102
a <≤
， 则()h x 在2(0,)x 上为减函数，在2(,)x +∞上为增函数， 无最大值，故0a >时不成立；…………11分 ③当0a <时，由[2(21)]()01x ax a h x x +-'=
=+得121
0,102x x a
==-<
则()h x 在[0,)x ∈+∞上为减函数，所以()(0)0h x h ≤=，故0a <时成立； 综上所述：0a ≤ …………12分
20．(文)
解：∵6915,,a a a 依次为等比数列{}n b 的连续三项，且{}n a 为等差数
∴29615a a a =，即2111(8)(5)(14)a d a d a d +=++，解得12a d =-………4分 设{}n b 的公比为q ，则9161825a a d q a a d
+=
==+ …………6分 11
211222
n n n n b b q ---==
⋅= …………8分 lg (2)lg2n n c b n ==-，又1lg 2n n c c +-=为常数 …………10分
所以{}n c 为等差数列，首项为1lg 2c =-
23lg 22
n n n S -= …………12分 理21、文22．
解：(1)由题知(,0)F c ，右准线2
a x c
=，一条渐近线为直线0bx ay -=
∴2222
211,1a c c a b a b c ⎧-=⎪⎪=⇒==+=⎪⎩
∴双曲线C 的方程为221x y -= …………4分
(2)当l 的斜率不存在时，直线0x =与双曲线C 无交点，舍去 …………5分
设l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ．
联立l 和双曲线的方程：2211
x y y kx ⎧-=⎨=+⎩ 消去y ，整理得22(1)220k x kx ---= ∴22221002442(1)0
k k k k ⎧-≠⎪⇒≤<⎨∆=+⨯⨯->⎪⎩且21k ≠ …………7分 ∵OP OD OA OB λ==+ ，即001122(,)(,)(,)x y x y x y λ=+
∴012x x x λ=+，012y y y λ=+
12221k x x k +=
-，12122
2()21y y k x x k +=++=- …………9分 当0λ=时，122201k x x k +==-，122201y y k +==- 显然，上述方程无解．…………10分
当0λ≠时，12
022(1)x x k x k λλ+==-，12022(1)
y y y k λλ+==- ∵00(,)P x y 在双曲线上，所以222222[
][]1(1)(1)k k k λλ-=-- 化简得2241
k λ=-
由202k ≤<且21k ≠得24λ<
∴(,2)(2,)λ∈-∞-⋃∞ …………12分
21．(文)
解：(1)()f x =12()1(0)f x x x -=+≥ …………2分
当3a =时，3
2()1(0)3
x g x x x =--≥ 由2()20g x x x '=->，所以(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞ …………4分 因为定义域为(1,)x ∈-+∞，
所以函数()y g x =的单调递增区间为(2,)+∞ …………5分
(2)由题意知，[0,)x ∈+∞时，3
22132x x x x a
--≥--恒成立， 即：3
310x x a
-+≥恒成立 …………7分
设3()31x h x x a
=-+，则2
3()30x h x x a '=->⇒>…………9分
∴为()h x 的减区间，)+∞为()h x 的增区间 …………10分
所以x =()h x 有极小值1102h =
-≥⇒≤ 即a 的取值范围为1
(0,]4 …………12分
22．(理)
解：(1)由2122n n n a a n ++=+⋅可得 11222n n n n a a n ++=+，11222n n n n
a a n ++-= ∴ 331212412132431()()()()2222222222
n
n n n n n a a a a a a a a a a --=-+-+-++-+ 2212223242(1)11n n n =⋅+⋅+⋅+⋅++⋅-+=-+
即2(1)2n n a n n =-+⋅ …………4分
(2)2121[(1)(1)]2()2n n n n b b A n B n C An Bn C ++-=++++⨯-++⨯
22[(4)22]2(1)2n n An A B n A B C n n =+++++⨯=-+⨯
1
41
221
A A
B A B
C =+=-++= 可得1,5,9A B C ==-= …………6分 即存在常数1,5,9A B C ==-=，使得结论成立 …………7分
(3)证明 ∵由(2)得2(59)2n n b n n =-+
∴122132431()()()()n n n n S a a a b b b b b b b b +=+++=-+-+-++- 2111[(1)5(1)9]210n n b b n n ++=-=+-++-
222122235521(35)2
()2[(3)]2222n n n n n n n n n n n +++-+-+<-+==-+- 2
22225(1)5[(3)]2(3)2222
n n n n n n n ++-=-+-<-+ 故结论成立．…………12分。