高考数学总复习 212 导数的综合应用备选练习 文(含解析)新人教A版

【优化探究】2015届高考数学总复习 2-12 导数的综合应用备选练
习 文（含解析）新人教A 版
[B 组 因材施教·备选练习]
1．(2014年哈师大附中模拟)已知f (x )＝ln x 1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( ) ①f (x 0)<x 0 ②f (x 0)＝x 0 ③f (x 0)>x 0 ④f (x 0)<12
⑤f (x 0) >12
A ．①④
B ．②④
C ．②⑤
D ．③⑤ 解析：f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ln x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x 1＋x 2＝－ln x ＋x ＋11＋x 2， 由题意可知f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)，
故f (x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 01＋x 01＋x 0
＝x 0. 令函数g (x )＝ln x ＋x ＋1(x >0)，则g ′(x )＝1x
＋1>0， 故函数g (x )为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32>32
－ln e ＝12>0＝g (x 0)， ∴x 0<12，即f (x 0)<12
.故选B. 答案：B
2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a ＝－1时，证明：在(1，＋∞)上，f (x )＋2>0；
解析：(1)根据题意知，
f ′(x )＝a 1－x x
(x >0)， 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；
当a ＝0时，f (x )不是单调函数．
(2)证明：当a ＝－1时，
f (x )＝－ln x ＋x －3，
所以f (1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.。