安徽初三初中数学中考模拟带答案解析

安徽初三初中数学中考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、单选题
1.下面的数中，比0小的是（）
A．B．C．D．-2016
2.如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1亿元，将30.1亿用科学计数法表示为（）
A．B．C．D．
3.计算的结果是（）
A．B．C．-D．
4.下图中的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
5.不等式组的解集是（）
A．B．C．D．无解
6.寒假结束了，开学后小明对本校七年级部分同学寒假阅读总时间（结果保留整10小时）进行了抽样调查，所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图。

观察这个频数分布直方图，给出如下结论，正确的是（）A．小明调查了100名同学
B．所得数据的众数是40小时
C．所得数据的中位数是30小时
D．全区有七年级学生6000名，寒假阅读总时间在20小时（含20小时）以上的约有5000名
7.如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC=4，BC=6，则DE的长为（）
A．1B．C．D．2
8.已知⊙O的半径为，弦AB=2，以AB为底边，在圆内画⊙O的内接等腰△ABC，则底边AB边上的高CD长
为（）
A．B．C．或D．或
9.某企业积极相应政府号召，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本
降低20%，使产品利润率（利润率=×100%）较去年翻一番．则今年该企业产品利润率为（）
A．40%B．80%C．120%D．160%
10.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=30°，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动.设点P所走过
的路程为，△ADP的面积为，则关于的函数图象是（）
A. B. C. D.
二、填空题
1.__________。

2.某校组织开展“迎新春长跑活动”，将报名的男运动员共分成4组，分别是：七年级组、八年级组、九年级组、教
工组，各组人数所占比例如图所示，已知九年级组有60人，则教工组人数是_________。

3.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠A的度数为__________。

4.在平行四边形ABCD中，P为对角线BD上任意一点，连接P
A．PC，得到△PA B．△PB C．△PC D．△PDA，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：
① ② ③ ④
其中正确结论的序号是____________．（在横线上填上你认为所有正确答案的序号）
三、解答题
1.已知
，求代数式
的值．
2.钓鱼岛及周边岛屿自古以来就是中国的领土．如图，我海监飞机在距海平面高度为2千米的C 处测得钓鱼岛南北两端A 、B 的俯角∠DCA=45°、∠DCB=30°（已知A 、B 、C 三点在同一平面上），求钓鱼岛南北两端A 、B 的
距离．（参考数据：）
3.某段公路经测算发现，匀速行驶的车辆通过该段公路时，所需时间（h ）与行驶速度（km/h ）满足反比例函数关系，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A （40，1）和B （m ，0.5）.
（1）求与的函数关系式及m 的值；
（2）若该段公路限速50km/h ，求通过该路段需要的最短时间和这段公路的长.
4.观察下列各等式：
，
，
，
，…
（1）猜想并用含字母a 的等式表示以上规律； 【猜想】
（2）证明你写出的等式的正确性． 【证明】
5.A 、B 两个口袋中，都装有三个相同的小球，分别标有数字1、2、3，小刚、小丽两人进行摸球游戏．游戏规则是：小刚从A 袋中随机摸一个球，同时小丽从B 袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时小刚赢，否则小丽赢．
（1）这个游戏对双方公平吗？通过列表或画树状图加以说明；
（2）若公平，请你改变本题的游戏规则，使其对小丽有利；若不公平，也请你改变本题的游戏规则，使游戏对双方公平．（无论怎么设计，都请说明理由）
6.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （三角形顶点是网格线的交点）和△A 1B 1C 1，△ABC 与△A 1B 1C 1成中心对称。

（1）画出△ABC 和△A 1B 1C 1的对称中心O ；
（2）将△A 1B 1C 1，沿直线ED 方向向上平移6格，画出△A 2B 2C 2； （3）将△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转90°，画出
△A 3B 3C 3．
7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，DE ⊥AB 于E,EF ∥AC 于F 。

（1）求证：△EDF ∽△ADE ；
（2）猜想：线段DC 、DF 、DA 之间存在什么关系？并说明理由。

8.如图，边长为1的正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上的任意一点，分别连接PB 、PD ，PE ⊥PB ，交CD 与E ， （1）求证：PE=PD ；
（2）当E 为CD 的中点时，求AP 的长；
（3）设AP=x （），四边形BPEC 的面积为y ，求证：．
9.日前，中国儿童文学作家曹文轩荣获2016年国际儿童读物联盟(IBBY)国际安徒生奖，新安书店抓住契机，以每本20元的价格购进一批畅销书《曹文轩作品集》．销售过程中发现，每月销售量y （本）与销售单价x （元）之间的关系如下表所示，按照表中y 与x 的关系规律，解决下面的问题：
（1）试求出y 与x 的函数关系式。

（2）销售单价在什么范围时，书店能盈利？
（3）如果想要每月获得的利润不低于2000元，那么该书店每月的成本最少需要多少元？（成本=每本进价×销售量）
安徽初三初中数学中考模拟答案及解析
一、单选题
1.下面的数中，比0小的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．-2016
【答案】D
【解析】根据正数大于0，负数小于0进行解答即可.
选项A、>0，A不正确；选项B、0.01 >0，B不正确；选项C、|– 2016|>0，C不正确；选项D、– 2016 < 0，D正确.
“点睛”本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于0，负数小于0，正数大于负数是解题关键.在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较．
2.如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1亿元，将30.1亿用科学计数法表示为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将30.1亿用科学计数法表示为：3.01×109，故选C．
“点睛”本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.计算的结果是（）
A．B．C．-D．
【答案】B
【解析】利用积的乘方以及幂的乘方法即可求解.
解（-2a）3=-8a3.
故答案是：-8a3.
“点睛”本题考查了乘方以及积的乘方法则，理解法则是关键.
4.下图中的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】观察几何体，找出左视图即可．
解：如图，几何体是由5个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，
故选B．
“点睛”本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的定义，属于基础题，难度不大．解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5.不等式组的解集是（）
A．B．C．D．无解
【答案】D
【解析】分别解两个不等式得到x<– 1和x≥1，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
解：，
解①得x<– 1，
解②得x≥1，
故此不等式组无解．
故选D．
“点睛”本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键．若a＜b，则有的解集是空集，即“大大小小解不了（无解）”.
6.寒假结束了，开学后小明对本校七年级部分同学寒假阅读总时间（结果保留整10小时）进行了抽样调查，所得
数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图。

观察这个频数分布直方图，给出如下结论，正确的是（）
A．小明调查了100名同学
B．所得数据的众数是40小时
C．所得数据的中位数是30小时
D．全区有七年级学生6000名，寒假阅读总时间在20小时（含20小时）以上的约有5000名
【答案】C
【解析】A、将各组人数相加可得参与调查的总人数；B、观察条形图可知阅读时间最多的是30小时；C、一共
120个数据，中位数是60、61个数据的平均数，计算可得；D、将阅读时间在20小时（含20小时）以上的人数
占总人数的比例乘以6000可得结果.
解：A、参与调查的总人数为：10+20+40+30=120人，故此选项错误；
B、这组数据中出现次数最多的是30小时，共40次，所以众数是30小时，故此选项错误；
C、这组数据的中位数为：=30（小时），故此选项正确；
D、寒假阅读总时间在20小时（含20小时）以上的有：=5500（人），故此选项错误；
故选：C.
“点睛”本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.同时考查中位数、众数的求法；给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间两个数的平均数是中位数，如何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数.给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数.
7.如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC=4，BC=6，则DE的长为（）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】延长AD交BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质求出AD=DF，然后判断出DE是△ABF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.
解：如图，延长AD交BC于F，
∵CD是∠ACD的角平分线，CD⊥AD，
∴AD=DF，AC=CF，（等腰三角形三线合一），
又∵E是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE=BF，
∵AC=4，BC=6，
∴BF=BC-CF=6-4=2，
∴DE=×2=1.
故选：A.
“点睛”本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形三线合一的性质，难点在作辅助线构造出一DE为中位线的三角形.
8.已知⊙O的半径为，弦AB=2，以AB为底边，在圆内画⊙O的内接等腰△ABC，则底边AB边上的高CD长为（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】如图1，连接OA，根据垂径定理得到AD=BD，CD过圆心，由勾股定理得到OD==1，于是得到CD=OC+OD=1+，如图2，连接OA，同理得到CD=OC-OD=-1.
解：如图1，连接OA，
∵AC=BC=AB=1，CD⊥AB，
∴AD=BD，CD过圆心，
∴OD==1，
∴CD=OC+OD=1+，
如图2，连接OA，
∵AC=BC=AB=1，CD⊥AB，
∴AD=BD，CD过圆心，
∴OD==1，
∴CD=OC-OD=-1.
综上所述：+1或-1.
“点睛”本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的支出辅助线是解题的关键.
9.某企业积极相应政府号召，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品利润率（利润率=×100%）较去年翻一番．则今年该企业产品利润率为（）
A．40%B．80%C．120%D．160%
【答案】C
【解析】设去年产品出厂价为a，去年产品成本价为b，根据利润率=×100％列出方程，求出a和b的数量关系，进而求出产品的利润率.
解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本价为b，根据题意，
100％=×2×100％，
即整理得：=2a-2b，
解得：a= b
所以把a=b，代入×2中得×2=×2=120％，
故选：C.
“点睛”本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确设出产品的出厂价和成本价，求出出厂和成本价直角的数量关系，此题难度不大.
10.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=30°，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动.设点P所走过的路程为，△ADP的面积为，则关于的函数图象是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可以得到点P在DC段和BC端对应的函数解析式，从而得到相应的三角形ADP的面积，本题得以解决.
解：当点P从D到C的过程中，如下图所示，
作AE⊥CD的延长线于点E，
∴∠AED=90°，
∵AB∥CDA，∠DAB=30°，AD=4 ，
∴AE=2，
∴S
==x，
△ADP
即y=x；
由C到BD的过程中，
∵AD与BC之间的距离不变，
∴以AD当底边，点到AD的距离不变，则三角形ADP的面积不变，
由上可得，函数图象正确是选项A，
故选A.
“点睛”本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出各段打野函数解析式，知道三角形面积的求法.
二、填空题
1.
__________。

【答案】
【解析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． ．
“点睛”二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.某校组织开展“迎新春长跑活动”，将报名的男运动员共分成4组，分别是：七年级组、八年级组、九年级组、教
工组，各组人数所占比例如图所示，已知九年级组有60人，则教工组人数是_________。

【答案】40
【解析】因为已知九年级组有60人，从图上可知九年级组占60％，从而可求出总人数，再根据七、八、九年级组的百分比求出教工组百分比，进而可得教工组人数. 解：总人数为：60+30％=200（人）.
教工组人数为：200×（1-24％-26％-30％）=40（人） 故答案为：40.
“点睛”本题考查的是扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键.扇形统计图直接反应部分占总体的大小及个部分之和为1.
3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠A 的度数为__________。

【答案】22.5°
【解析】首先根据切线的性质可得∠OCD=90°，再根据等边对等角可得∠COD=∠D=（180°-90°）÷2=45°，然后再根据圆周角定理可得答案. 解：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴∠OCD=90°， ∵CO=CD ，
∴∠COD=∠D=（180°-90°）÷2=45°， ∵∠CAB=
∠COD=22.5°
故选A.
“点睛”此题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.在平行四边形ABCD 中，P 为对角线BD 上任意一点，连接P
A ．PC ，得到△PA
B ．△PB
C ．△PC
D ．△PDA ，设它们的面积分别是
、
、
、
，给出如下结论：
①
②
③
④
其中正确结论的序号是____________．（在横线上填上你认为所有正确答案的序号）
【答案】①③④
【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD ，AD=BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S 1+S 4=S 2+S 3=S △ABD=S △BDC=S 平行四边形ABCD ，即可判断④．
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，
设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4， 则S 1=ABh 1，S 2=
BCh 2，S 3=CDh 3，S 4=ADh 4， ∵
ABh 1+
CDh 3=
AB•BC ，
BCh 2+
ADh 4=
AB•CD ，
∴S 2+S 4=S 1+S 3，故①正确；
根据S 4＞S 2只能判断h 4＞h 2，不能判断h 3＞h 1，即不能得出S 3＞S 1，∴②错误； 根据S 3=2S 1，能得出h 3=2h 1，不能推出h 4=2h 2，即不能推出S4=2S 2，∴③错误； ∵S 1-S 2=S 3-S 4， ∴S 1+S 4= S 2+S 3=
S 平行四边形ABCD ，
如图所示：
此时S 1+S 4=S 2+S 3=S △ABD=S △BDC=
S 平行四边形ABCD ，
即P 点一定在对角线BD 上，∴④正确； 故选D ．
“点睛”本题考查了矩形的性质，三角形的面积，以及矩形对角线上点的判定的应用，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题
1.已知，求代数式
的值．
【答案】原式=，当
时，原式=9 【解析】原式=
=
=
当时，原式=
“点睛”本题考查分式的化简求值，解题关键是明确题意，可以对所求式子化简并求值．许多问题还需要运用常见的数学思想，如转化思想、整体思想等，了解这些数学思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
2.钓鱼岛及周边岛屿自古以来就是中国的领土．如图，我海监飞机在距海平面高度为2千米的C 处测得钓鱼岛南北两端A 、B 的俯角∠DCA=45°、∠DCB=30°（已知A 、B 、C 三点在同一平面上），求钓鱼岛南北两端A 、B 的
距离．（参考数据：）
【答案】钓鱼岛两端A 、B 的距离约为1.46千米．
【解析】作CM ⊥AB 于M ，根据题意得出∠CAM=∠DCA=45°，∠CBM=∠DCB=30°，CM=2千米，得出AM=CM=2千米，BM=2千米，即可得出结果.
解：分别过A 、B 两点作AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F………1分
在Rt △CBF 中，∠FCB=30°，BF=2千米
∴ 在Rt △CEA 中，
∠ECA=45°
∴CE=AE=2千米
∴AB=EF=(千米)
即：钓鱼岛两端A、B的距离约为1.46千米．
“点睛”此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系得出AM和BM的长是解题关键．
3.某段公路经测算发现，匀速行驶的车辆通过该段公路时，所需时间（h）与行驶速度（km/h）满足反比例函数关系，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（40，1）和B（m，0.5）.
（1）求与的函数关系式及m的值；
（2）若该段公路限速50km/h，求通过该路段需要的最短时间和这段公路的长.
【答案】（1）
（2）0.8h，40km
【解析】（1）设t与y的函数关系式为t=（k≠0）把A的坐标代入解析式，利用待定系数法求得函数解析式，
然后爸爸（m，0.5）代入解析式求得m的值；
（2）求得当y=50时t的值，根据图象即可作出解答.
解：（1）由题意：可设t与y的函数关系式为t=（k≠0），
∵函数t=经过点A（40， 1），
∴1=，解得k=40，
∴t与y的函数关系式为t=；
把B（m，0.5）代入t=，
得0.5=，解得m=80；
（2）把y=50代入t=，得t==0.8，
则通过该路段需要的最短时间是0.8小时，这段公路的长为40km.
“点睛”本题考查了反比例函数的实际应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.
4.观察下列各等式：，，，，…
（1）猜想并用含字母a的等式表示以上规律；
【猜想】
（2）证明你写出的等式的正确性．
【证明】
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)观察给定等式，发现两分数的分子之和为8，根据规律猜想出结论；
（2）将等式的左边通分、合并同类项，得出结果后与等式的右边进行比较，从而得出结论.
解：观察上面等式发现等式左边两个分数的分子相加为8，且分子与分母中前面的数相等，
故猜想存在==2（a=4）.
（2）证明：等式左边，
===2=右边.
故该结论正确.
“点睛”本题考查了数字的变化以及分解因式，解题的关键：（1）发现等式前面两分数分子相加为定值8；
（2）利用分解因式的方法证明结论.本题属于中档题，有点难度，难点在于规律的分析，解决该题型题目时，根据给定算式找出规律是关键.
5.A 、B 两个口袋中，都装有三个相同的小球，分别标有数字1、2、3，小刚、小丽两人进行摸球游戏．游戏规则是：小刚从A 袋中随机摸一个球，同时小丽从B 袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时小刚赢，否则小丽赢．
（1）这个游戏对双方公平吗？通过列表或画树状图加以说明；
（2）若公平，请你改变本题的游戏规则，使其对小丽有利；若不公平，也请你改变本题的游戏规则，使游戏对双方公平．（无论怎么设计，都请说明理由）
【答案】（1）游戏不公平；说明见解析；
（2）减去一个标有数字3的小球或添上一个标有数字4的小球等。

【解析】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方获胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
（2）根据游戏的公平性解答即可.
解：（1）游戏不公平
能正确画出树状图或表格
分
小丽获胜的可能性大
（2）不公平，要使游戏对双方公平，可改为两个球上所标数字之和小于6时小丽赢，两个球上所标数字之和大于6时小刚赢，则两人的概率均为.
“点睛”此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （三角形顶点是网格线的交点）和△A 1B 1C 1，△ABC 与△A 1B 1C 1成中心对称。

（1）画出△ABC 和△A 1B 1C 1的对称中心O ；
（2）将△A 1B 1C 1，沿直线ED 方向向上平移6格，画出△A 2B 2C 2；
（3）将△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转90°，画出
△A 3B 3C 3．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【解析】（1）根据中心对称图形的定义，对应点的连接的交点就是对称中心.
（2）将△A 1B1C 1各个顶点沿着直线ED 方向向上平移6格即可.
（3）将△A 2B2C 2各个顶点绕点C 2顺时针方向旋转90°即可.
解：（1）连接BB 1、CC 1、线段BB 1与线段CC 1的交点O ，点O 计算所求的对称中心.
（2）如图△A 2B2C 2就是所求的三角形.
（3）如图△A 3B3C 3就是所求的三角形.
“点睛”本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解平移旋转的定义，图形的旋转和平移，关键是点的平移和旋转，属于中考常考题型.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E,EF∥AC于F。

（1）求证：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：线段DC、DF、DA之间存在什么关系？并说明理由。

【答案】（1）证明见解析；
（2）,理由见解析.
【解析】（1）利用垂直的定义和平行线的性质可证明∠DFE=∠DEA=90°，则利用相似三角形的判定方法可判断
△EDF∽△ADE；
（2）由于△EDF∽△ADE，则利用相似比可得到DE2=DE×DA，再利用角平分线的性质定理得到DE=DC，从而
得到线段DC，DF、DA之间的关系.
（1）证明：∵EF//BC
∴∠EFD=∠C=90°
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠EFD=90°
又∵∠EDF=∠ADE
∴∽
（2）
∵∠C=∠DEB=90°，BD平分∠ABC
∴DE=DC
由（1）得∽
∴
∴
∴
“点睛”本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边
等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，解决本题的关键是利用相似三角形比得到DE、DF、DA的关系.
8.如图，边长为1的正方形ABCD中，P为对角线AC上的任意一点，分别连接PB、PD，PE⊥PB，交CD与E，（1）求证：PE=PD；
（2）当E为CD的中点时，求AP的长；
（3）设AP=x（），四边形BPEC的面积为y，求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AP的长为；
（3）证明见解析.
【解析】作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据轴对称图形的性质得到PB=PD，PG=PH，证明△BPG≌△EPH，得到PB=PE，等量代换得到答案；
（2）证明∠DPH=∠EPH，根据等腰三角形的性质求出DH，根据勾股定理计算即可；
（3）根据四边形BPEC的面积=正方形PGCH的面积计算.
证明（1）过P作MN∥BC，分别交AB、CD与M、N点；
易证△ABP≌△ADP，∴PD=P
易证△MBP≌△NEP，∴PE=PB
即 PE=PD（2）解：由题意知DN=NE=
又AM=DN
∴AM=
在直角△AMP中，
AP=
（3）证明：当AP=，则PM=,
设=△PBC的面积，=△PEC的面积，
则,
∴=
即=
“点睛”本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°、一条对角线平分一组对角是解题的关键.
9.日前，中国儿童文学作家曹文轩荣获2016年国际儿童读物联盟(IBBY)国际安徒生奖，新安书店抓住契机，以每本20元的价格购进一批畅销书《曹文轩作品集》．销售过程中发现，每月销售量y（本）与销售单价x（元）之间的关系如下表所示，按照表中y与x的关系规律，解决下面的问题：
（1）试求出y与x的函数关系式。

（2）销售单价在什么范围时，书店能盈利？
（3）如果想要每月获得的利润不低于2000元，那么该书店每月的成本最少需要多少元？（成本=每本进价×销售量）
【答案】（1）y与x的函数关系式为；
（2）销售单价高于20元低于50元时，书店能盈利；
（3）那么该书店每月的成本最少需要2000元.
【解析】（1）设每月销售量y与销售单价之间的函数关系式为y=kx-b，由待定系数法求出解即可；（2）设书店的利润为w，由利润=每本书的利润×数量可以得出解析式，再由解析式建立不等式求出其解即可；（3）由（2）的解析式建立不等式。

求出其解即可.
解：（1）经分析：每月销售量（本）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数，任选两点由待定系数法可得：
其余三点代入验证。

(2)设销售利润为（元），
当，解得；．
∴单价低于20元或超过50元时也会亏本．
（3）由题意知当，解得；．
在函数中，由图象得：∵，图象开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴想要每月获得的利润不低于2000元，．
销售成本
∵，随的增大而减小，即，．
∴该书店每月的成本最少需要2000元．（从销量考虑亦可）
“点睛”本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用、销售问题的数量关系的应用、一元二次不等式的运用，搞清楚成本、利润、销售量之间的关系是解题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程、不等式解决，属于中考常考题型.。