江苏省泰州市姜堰三水中学高一数学文下学期期末试题含解析

江苏省泰州市姜堰三水中学高一数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算如下：
⊕ a b c d ? a b c d
a a
b
c
d a a a a a
b b b b b b a b
c d
c c b c b c a c c a
d d b b d d a d a d
那么d?（a⊕c）=（）
A． a B． b C． c D．d
参考答案：
A
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意得a⊕c=c，得d?（a⊕c）d?c=a．
解答：由题意得a⊕c=c，
∴d?（a⊕c）=d?c=a．
故选：A．
点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为（）A．2 B．C．D．
参考答案：
B
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】利用余弦定理化简求出ab的乘积，即可求△ABC的面积．
【解答】解：由题意，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，
由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC．
可得：6﹣2ab=2abcosC．
∵C=60°，
∴3ab=6．
即ab=2．
△ABC的面积S=absinC=2×=．
故选：B．
3. 函数f（x）=（）的值域是（）
A．（0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，+∞）
参考答案：
A
【考点】函数的值域．
【分析】利用配方法求出指数的范围，再由指数函数的单调性求得答案．
【解答】解：∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，
0＜（），
∴函数f（x）=（）的值域是（0，]．
故选：A．
4. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的
面积是的值等于（）
A．1 B．C．D．－
参考答案：
D
5. 已知某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和
为（）
A、7或63
B、9
C、63
D、7
参考答案：
D
6. 设，则的值
为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
7. 圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
参考答案：
D
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据题意，算出两圆的圆心分别为C1（3，﹣2）、C2（7，1），得到|C1C2|=5即得圆心距等于两圆半径之差，从而得到两圆相内切．
【解答】圆（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心为C1（3，﹣2），半径r=1
同理可得圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的圆心为C2（7，1），半径R=6∴|C1C2|==5，
可得|C1C2|=R﹣r，两圆相内切
故选：D．
【点评】本题给出两圆方程，求它们的位置关系，着重考查了圆的方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
8. 直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
A
【考点】直线的倾斜角．
【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．
【解答】解：将已知直线化为，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为30°，
故选A．
【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．
9. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高
体重
根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172的高三男生的体重
为 ( )
A．70.09 B．70.12 C．70.55 D．71.05
参考答案：
B
10. 设向量，满足,,则=（）
A．B． C．D．参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列{a n}满足，，则______．
参考答案：
42
由题意可得所以，解得（舍），而
，填42.
12. 设,用二分法求方程内近似解的过程中得
则方程的根落在区间____________．
参考答案：
（1.25，1.5）
略
13. 已知中，，则________.
参考答案：
略
14. 已知图像上有一最低点，若图像上各点纵坐标不变，横坐标缩为原来的倍，再向左平移1个单位得，又的所有根从小到大依次相差3个单位，
则的解析式为__________.
参考答案：
【分析】
将函数整理为；代入可将函数整理为：
；根据三角函数平移变换可得：；根据
的所有根从小到大依次相差个单位可知过曲线的最高点或最低点，或经过
所有的对称中心；利用周期排除掉过最高点或最低点的情况，利用过所有的对称中心可求得，进而得到解析式.
【详解】由题意得：，其中，是图象的最低点
横坐标缩为原来的倍得：
向左移动1个单位得：
的所有根从小到大依次相差个单位可知与的相邻交点间的距离相等过曲线的最高点或最低点，或经过所有的对称中心
①当过曲线的最高点或最低点时，每两个根之间相差一个周期，即相差，不合题意；
②当过曲线所有的对称中心时，则，满足题意
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数的性质、平移变换求解三角函数解析式的问题，关键是能够通过平行
于轴的直线与曲线的交点情况确定直线所经过的点的位置，从而根据点的位置来求解参数值.
15. 若，且，则向量与的夹角为▲
．
参考答案：
16. 已知函数.（1）当a =1时，函数f (x)的值域是___________；（2）若函数
f (x )的图像与直线只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.
参考答案：
R [0,1]
【分析】
（1）根据分段函数单调性求值域，
（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.
【详解】（
1）当1时，
当时，
当时，
所以函数的值域是
（2）因为当时，，所以只需函数的图像与直线只有一个公共点，
当，即时，所以当时，函数图像与直线只有一个公共点，
当，即或时，所以当或，即，从而函数
的图像与直线无公共点，
因此实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.
17. 若2、、、、9成等差数列,则____________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为（天），室内每立方米空气中甲醛含量为（毫克）.已知在装潢过程中，与成正比；在装潢完工后，与的平方成反比，如图所示．
（Ⅰ）写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克立方米.按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？
参考答案：
解: (Ⅰ)设直线,将点代入直线方程,得, 即…………………………… 4分
设,将点代入，得,即……8分
关于的函数是…………………… 10分
(Ⅱ)由题意知, , 解得或(舍)………13分
又(天)
答:按这个标准,这个家庭在装潢后60天方可入住. ……… 15分
19. 已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
参考答案：
【考点】轨迹方程；三角形的面积公式．
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，
．
由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k ON=3，
∴直线l的斜率为﹣．
∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
∴|PM|==．
∴．
20. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图的频率分
布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．
（3）若从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a的值．
（2）先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．
（3）数学成绩在的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：
0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，
解得a=0.03．
（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，
∴数学成绩不低于60分的人数为：
1000×0.85=850（人）．
（3）数学成绩在的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在的学生为a，b，c，d，
从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，
基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，
{bd}，{c，d}，
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：
{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，
∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．
【点评】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
21. 已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段BC的中线所在直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程.
参考答案：
（1）（2）.
【分析】
（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出
边上的高所在的直线方程.
【详解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,
所以,
所以线段的中线AD所在直线方程为
即.
（2）由题得
,
所以AB边上的高所在直线方程为，
即.
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
22. （12分）写出函数的单调递增区间，并证明。

参考答案：。