吉林省梅河口市20162017学年高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案

梅河五中2016—2017学年度上学期期中试题
高二数学 （理）
本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共120分，考试时刻100分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共12小题。

每小题4分，每一个小题只有一个正确选项）
1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．命题“存在x ∈Z，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )
A ．存在x ∈Z，使x 2＋2x ＋m >0
B ．不存在x ∈Z，使 x 2＋2x ＋m >0
C ．关于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0
D ．关于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0
3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1
4． “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示核心在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而没必要要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
5．平行四边形ABCD 的极点A ，C 的坐标别离为(3，－1)，(2，－3)，极点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则极点B 的轨迹方程为( ) A ．3x －y －20＝0
B ．3x －y －10＝0
C ．3x －y －12＝0
D ．3x －y －9＝0
6.已知O 为空间中的任意一点，α是任意角，下列不等式必然能够判定A,B,C 三点共线的是
A.sin cos OC OA OB αα=+
B. 22sin cos OC OA OB αα=+
C. sin cos OC OA OB αα=-
D. 2
2sin
cos OC OA OB αα=-
7．P 是椭圆
22
12516
x y +=上的一点，1F 和2F 是核心，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等 A. )32(16+ B.)32(4- C.
3
3
16 D. 16
8．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知F 1、F 2是椭圆的两个核心，知足21MF MF •＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，12]
C ．(0，2
2
)
D ．[
2
2
，1) 10. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3
11．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 别离是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．135°
12．已知直线y ＝k (x —2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的核心．若|F A |＝2|FB |，则k ＝
B. 22
D.
2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分）
13. 设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π
3
，则l 与α所成的角为
14. 已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>的左、右核心为1F 、2F ，离心率为3
，过2F 的直线l 交C 于A 、B
两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为 15.设F 为抛物线y 2＝8x 的核心，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →
＝0， 则|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|=
16. 过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 2
12＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是
三、解答题
17、（10分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数 f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．
1八、（10分）若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，求该弦所在直线的方程。

1九、（12分）．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1
＝5，E 、F 别离
为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.
(1)求证：BE ⊥平面ACF ；
(2)求点E 到平面ACF 的距离．
20、（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 别离是11,BC A D 的中点，,M N 别离是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角P AE D --的余弦值。

2一、（12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右核心为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l
的倾斜角为60°，AF →＝2FB →
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若是|AB |＝15
4
，求椭圆C 的方程．
梅河五中2016—2017学年度上学期期中试题
高二数学 （理）
本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共120分，考试时刻100分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共12小题。

每小题4分，每一个小题只有一个正确选项） 1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] B
2．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )
A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0
B ．不存在x ∈Z ，使 x 2＋2x ＋m >0
C ．关于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0
D ．关于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0
[答案] D
3．设l 1的方向向量为＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1
解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2. 答案 B
4． “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示核心在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而没必要要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
[答案] C
[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示核心在y 轴上的椭圆⇔
1
n
>1
m
>0⇔m >n >0.故选C. 5．平行四边形ABCD 的极点A ，C 的坐标别离为(3，－1)，(2，－3)，极点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则极点B 的轨迹方程为( )
A ．3x －y －20＝0
B ．3x －y －10＝0
C ．3x －y －12＝0
D ．3x －y －9＝0
[答案] A
[解析] 设AC 、BD 交于点O ∵A 、C 别离为(3，－1)(2，－3) ∴O 为 (5
2，－2)，设B 为(x ，y )
∴D 为(5－x ，－4－y )
∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0 即3x －y －20＝0，选A.
6.已知O 为空间中的任意一点，是任意角，下列不等式必然能够判定A,B,C 三点共线的是B
A.sin cos OC OA OB αα=+
B. 22sin cos OC OA OB αα=+
C. sin cos OC OA OB αα=-
D. 2
2sin
cos OC OA OB αα=-
7．P 是椭圆
22
12516
x y +=上的一点，1F 和2F 是核心，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等 A. )32(16+ B.)32(4- C.
3
3
16 D. 16 C
8．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为
__________．C
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知F 1、F 2是椭圆的两个核心，知足21MF MF •＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，12]
C ．(0，2
2
)
D ．[
2
2
，1) [答案] C[，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <2
2，故选C.
10，已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3
[答案] A
[解析] 如图|P A |＋|PB |＝|PF |＋|PB |
∴所求最小值为点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4×1－0＋6|
5
＝2，故选A.
11．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 别离是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．135°
[答案] C
[解析] OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12
(OB →＋OC →)，
∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →
)＝－14|OA →|2.
又|OE →|＝|OF →
|＝22
|OA →|，
∴cos 〈OE →，OF →
〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.
∴∠EOF ＝120°，故选C.
12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的核心．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ B
B. 22
D.
2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分）
13. 设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为 .π
6
14. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右核心为1F 、2F ，离心率为3
，过2F 的直线l 交C 于A 、B
两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为 22
132
x y += 15.设F 为抛物线y 2＝8x 的核心，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →
＝0， 则|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|等于 12
16．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 2
12＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是 |k |> 3
三、解答题
17、（10分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数 f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．
解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口
向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2
－16＜0.
∴－2＜a ＜2，∴命题p ：－2＜a ＜2.
∵函数f (x )＝－(5－2a )x
是减函数，
则有5－2a ＞1，即a ＜2，∴命题q ：a ＜2.
又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＜a ＜2，
a ≥2，此不等式组无解．
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤－2或a ≥2，a ＜2，
∴a ≤－2.
综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}． 1八、（10分）若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，求该弦所在直线的方程。

是____[答案] x ＋2y
－4＝0
1九、（12分）如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1
＝5，E 、F 别离
为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.
(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．
[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线别离为x 、y 、z 轴成立如图所
示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，
F (2,2,4)．
∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →
＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，
∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .
(2)解：由(1)知，BE →
为平面ACF 的一个法向量， ∴向量AE →在BE →
上的射影长，
即为点E 到平面ACF 的距离，设为d . 于是d ＝|AE →||cos 〈AE →，BE →
〉| ＝|AE →·BE →||BE →
|
＝53.
故点E 到平面ACF 的距离为5
3
.
20、（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 别离是11,BC A D 的中点，,M N 别离是1,AE CD 的中点，11,2AD AA AB ===
（Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ；
（Ⅱ）求二面角P AE D --的余弦值。

221
21
2一、（12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的右核心为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直
线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若是|AB |＝15
4
，求椭圆C 的方程．
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝
a 2－
b 2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1
得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.
因为AF →＝2FB →
，因此－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b
2
.
得离心率e ＝c a ＝2
3.
(2)因为|AB |＝
1＋13|y 2－y 1|，因此23·43ab 23a 2＋b
2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .因此54a ＝15
4，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1.
理科答案
1—12 BDBCAB CCCACB
13， π
6 14，
22
132
x y += 15， 12 16 ，|k |> 3 17，解：设g (x )＝x 2
＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图
象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2
－16＜0.
∴－2＜a ＜2，∴命题p ：－2＜a ＜2.
∵函数f (x )＝－(5－2a )x
是减函数，
则有5－2a ＞1，即a ＜2，∴命题q ：a ＜2.
又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＜a ＜2，
a ≥2，此不等式组无解．
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤－2或a ≥2，
a ＜2，
∴a ≤－2.
综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}．
18， x ＋2y －4＝0
19， (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线别离为x 、y 、z 轴成立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．
∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →
＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，
∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .
(2)解：由(1)知，BE →
为平面ACF 的一个法向量， ∴向量AE →在BE →
上的射影长， 即为点E 到平面ACF 的距离，设为d . 于是d ＝|AE →||cos 〈AE →，BE →
〉| ＝|AE →·BE →||BE →
|
＝53.
故点E 到平面ACF 的距离为5
3
.
20，（1） （2 21， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝
a 2－
b 2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1
得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2
. 因为AF →＝2FB →
，因此－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.
得离心率e ＝c a ＝23.
(2)因为|AB |＝
1＋13|y 2－y 1|，因此23·43ab 23a 2＋b
2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .因此54a ＝15
4，得a ＝3，b ＝ 5.
椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1.。