类周期函数

类周期函数
例1：利用类周期性求值
1、若函数)(x f 对于任意x 都有)()1()2(x f x f x f -+=+，且2lg 3lg )1(-=f ，
5lg 3lg )2(+=f ，则 f(2019)=（ ）A
A 、1
B 、-2
C 、2lg 3lg -
D 、-1
2.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，当x ∈[1,2)时，f(x)=x 2
，则f(10)=______.25
2
变式训练
1.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：对一切正数x 均匀)(3)3(x f x f =成立，且当
31<≤x 时，21)(--=x x f ，则=)100(f 。

19
2、定义在R 上的函数)(x f 满足)(3)2(x f x f =+，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2
-=，则
)(x f 在[]2,4--∈x 上的最小值为（ ） A
A 、91-
B 、91
C 、31-
D 、3
1 小结：)(x f 满足)()(x f a x f λ=+
处理方法：将)(x f 平移a 个单位，再将纵坐标扩大为原来的λ倍。

例2：类周期函数与零点的结合
1、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]1,1-∈x 时，x x f 2
cos
)(π
=，则方程x x f 4log )(=在区间[]10,10-内的解的个数是（ ） C
A 、20
B 、12
C 、11
D 、10
2、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]2,0∈x 时，222)(--=x x f ，记[])8,8(,)()(-∈-=x x x f x g 。

根据以上信息，可以得到函
数)(x g 的零点个数为（ ） B
A 、15
B 、10
C 、9
D 、8
例3：类周期性求解析式
1. 定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，
则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的解析式_______________．
例4:类周期函数相关的求参数取值范围
1.若集合M 满足下列性质的函数)(x f 的全体，存在非零实数T ，对任意的R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立，
若函数M kx x f ∈=sin )(，则实数k 的取值范围是 。

2. 设f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R),若存在T(T<0),使恒f(x+T)=Tf(x)成立,则ω的范围为
解:取x 1,使得f(x 1)=1,则f(x 1+T)=Tf(x 1)=T ⇒|T|=|f(x 1+T)|≤1;取x 2,使得f(x 2+T)=1,则f(x 2+T)=Tf(x 2)=1
⇒1=
|Tf(x 2)|≤|T|⇒|T|=1(T<0)⇒T=-1⇒f(x-1)=-f(x)⇒f(x+1)=-f(x)⇒f(x+2)=f(x)⇒2是函数f(x)的周期,又因f(x)的最小正周期=ω
π
2,所以存在正整数k,使得k ×
ω
π
2=2⇒ω=k π,但当k=2n 时,f(x)=sin(2n
πx+φ)⇒f(x+1)=sin(2n π+
2n πx+φ)=sin(2n πx+φ)=f(x),不满足f(x+1)=-f(x),故ω=(2n+1)π(n ∈N).
3. 若函数y=f(x),x ∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M 内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T 为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M 上的a 级类周期函数。

若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期
函数,且T=2,当x ∈[0,2)时,f(x)=
函数g(x)=1
2x 2-x+m.若
∃x 1∈[6,8],∃x 2∈[0,+∞),使g(x 2)−f(x 1)⩽0成立,则实数m 的取值范围是
例5：类周期函数与数列的结合
1、【2011四川理，11】已知定义在
[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当
[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
= ( )．
（A ）3 （B ）52
（C ）2 （D ）3
2
答案：D
解析：由题意1
(2)()3
f x f x +=
,在[22,2]n n -上， 2
11
1()11
1331,()1,2,(),3,()()()lim 133
3213
n
n n n n
n f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-
例6：其它类周期函数
1、已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；①当(1,2]
x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是 .
⋅
2、【2011福建理】已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，）
，恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。

给出如下结论：
①对任意m Z ∈，有m
f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）
；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得 1(,)(2,2)k k a b +⊆”。

其中所有正确结论的序号是 。

【答案】①②④
【解析】○10)2(2)2(2)2
2()2(111
====⋅=---f f f f m m m m
，正确；○2取
]2,2(1+∈m m x
，则
]2,1(2∈m x ；m
m x
x f 22)2(-=，从而 x x
f x f x f m m m -====+12)2
(2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ，正
确；○3122)12(1
--=++n m n
f ，假设存在n 使9)12(=+n f ，即存在.
.,,21t s x x 102221=-x x ，又，x 2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；○4
根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4.
⋅
3、已知定义在[)+∞,1上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--=2),2
(2121,2
384)(x x f x x x f ，给出下列结论，其中正确的
有 。

①函数)(x f 的值域为[]4,0；
②关于x 的方程)(,)2
1
()(*
N n x f n ∈=有42+n 个不等实根； ③当[
]
n n x 2,2
1
-∈时，函数)(x f 的图像与x 轴围成的面积2=S ；
④存在[]8,10∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立。

7.(2010年广东高考试题)已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)=kf(x+2).其中常数k 为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). (Ⅰ)求f(-1),f(2.5)的取值;
(Ⅱ)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;
(Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 这道题类周期函数问题,
解:(Ⅰ)由f(x)=kf(x+2)⇒f(-1)=kf(1)=-k;又由f(x)=kf(x+2)⇒f(x+2)=
k 1f(x)⇒f(2.5)=k
1
f(0.5)=-k
43; (Ⅱ)①当x ∈[0,2]时,f(x)=x(x-2);②当x ∈[-2,0]时,x+2∈[0,2]⇒f(x)=kf(x+2)=k(x+2)x=kx(x+2);③当x ∈[-3,-2]时,x+2∈[-1,0]⇒f(x)=kf(x+2)=k ×k(x+2)(x+4)=k 2
(x+2)(x+4);④当x ∈[2,3]时,x-2∈[0,1]⇒f(x)=
k 1f(x-2)=k
1
×(x-2)(x-4);由k<0知,f(x)在[-3,-2]、[-2,-1]、[1,2]和[2,3]上为增函数,在[-1,0]和[0,1]上为减函数;
(Ⅲ)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f min (x)=min{f(-3),f(1)}={-k 2
,-1};f max (x)=max{f(-1),f(3)}=max{-k,-k
1
};①当k=-1时,f min (x)=f(-3)=f(1)=-1;f max (x)=f(-1)=f(3)=1;②当k<-1时,f min (x)=f(-3)=-k 2
;f max (x)=f(-1)=-k;③当-1<k< 0时,f min (x)=f(1)=-1;f max (x)=f(3)=-k
1.。