福建省三明第一中学2020届高三下学期周考(一)数学(文)试题 Word版含答案

三明一中2019-2020学年度第二学期周考
高三数学(文) 试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．
2．本试卷包括必考．．和选考．．两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U 是实数集R ，已知集合2{|2}A x x x =>，2{|log (1)0}B x x =-≤，则()U C A B =I A. {|12}x x <<
B. {|12}x x <≤
C. {|12}x x <≤
D.
{|12}x x ≤≤
2.设i 为虚数单位，复数(2i)1i z -=+，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则“0＜q ＜1”是“{a n }为递减数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知下表所示数据的回归直线方程为y 44x =-，则实数a 的值为
x 2 3 4 5 6 y 3
7
11
a
21
A . 16
B . 18
C . 20
D . 22
5.若(
)
1
ln ln 1
,1,ln ,(),2
x
x x e a x b c e -∈===则,,a b c 的大小关系是
A. c b a >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D. b a c >>
6.将函数3sin(2)3
y x π=+
图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间7[,]1212ππ
上单调递减 B. 在区间7[
,]1212ππ
上单调递增 C. 在区间[,]63
ππ
-上单调递减
D. 在区间[,]63
ππ
-上单调递增
7.若点A 的坐标为（3，1），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则|PA |+|PF |取最小值时点P 的坐标为 A. （0，0）
B. （1，1）
C. （2，2）
D. （
1
2
，1） 8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的
表面积为 A . 82+π B . 162+π
C . 202+π
D . 16+π
9.已知函数f （x ）()314,1,1
x
a x a x a x ⎧-+=⎨
⎩≥＜是（﹣∞，+∞）上的减函数，
那么a 的取值范围是 A. （0，1）
B. （0，
13
） C. [
16，13
） D. （
16，13
） 10.若cos 2sin 5,αα+=-则tan α= A . 12
-
B . 2
C .
12
D . -2
11.设x ，y 满足约束条件8401040x y x y x y --⎧⎪
++⎨⎪-⎩
≤≥≥，目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，
则
11
a b
+的最小值为 A. 5
B.
52
C.
92
D. 9
12.已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为 A.
35
B.
25
C. 25
D. 35
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米 斛．
14.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B +sin A （sin C ﹣cos C ）＝0，a ＝2，c 2=
则C ＝ .
15.在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =u u u r u u u r
, 则AB 的长为 .
16.设A ，B 是椭圆C ：223x y m
+=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°
，则m 的取值范围是 .
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线 x ﹣y +2＝0上. （1）求数列{a n }，{b n }的
通项公式；
（2）设c n n
n
b a =，求数列{
c n }的前n 项和T n .
18. （本小题满分12分）
某校某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.
（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高；
（2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.
19. （本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（2）若PA ∥平面BDE ，求三棱锥E-BCD 的体积．
20. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为3
，短轴长为2，直线l 与圆O ：
x 2+y 24
5
=
相切，且与椭圆C 相交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）证明：OM u u u u r •ON u u u r
为定值.
21. （本小题满分12分）
已知函数1ln ()x
f x x
+=
. （1）若函数在区间1
(,)2
a a +上存在极值，其中a >0，求实数a 的取值范围；
（2）如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围．
22. （本小题满分10分，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答）
（A ）4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相
同．圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩
（α为参数），点Q 的极坐标为7(2,
)4π
． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若点P 是圆C 上的任意一点，求,P Q 两点间距离的最小值．
（B ）4－5：不等式选讲
已知函数()|||21|f x x a x =---. （1）当a ＝2时，求()30f x +≥的解集；
（2）当x ∈[1,3]时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．
三明一中2019-2020学年度第二学期周考试卷
高三数学 (文科)参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.【答案】C 【解析】{
}
2
2{|02},{|02},U A x x
x x x x C A x x ==∴=≤≤或
()()2{|log 10}{|12},{|12}.U B x x x x C A B x x =-≤=<≤∴⋂=<≤本题选择C 选项.
2.【答案】D
【解析】复数()()()()()13i
2i 1i,2i 2i 2i 1+i ,5
z z z +-=+∴+-=+∴=，则z 的共轭平面复数13i 55z =
-在复平面中对应的点13,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第四象限，故选D. 3.【答案】D
【解析】【分析】分别举出反例证明既不充分也不必要即可. 【详解】当11a =-,1
2
q =
时,满足01q <<,但{}n a 是递增数列.当11a =-,2q =时满足{}n a 是递减数列,但不满足01q <<.故“0＜q ＜1”是“{a n }为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选：D 4.【答案】B
【解析】4x =，代入回归直线方程得12y =，所以()1
123711215
m =++++，则18a =，故选择B. 5.【答案】B
【解析】【分析】由对数函数与指数函数的性质即可求得. 【详解】∵(
)
1
,1x e -∈ ∴ln 0a x =<
∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数 ∴ln 112x
b ⎛⎫=> ⎪
⎝⎭
∵ln 1(,1)x
c e
x e -==∈ ∴b c a >> 故选B.
6.【答案】B
【解析】试题分析：将函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度，得
23sin(2())3sin(2)233
y x x πππ
=-+=-，
∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212
ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性． 7.【答案】D
【解析】【分析】根据抛物线的定义转换求解即可.
【详解】过P 作PD 垂直准线于D ,则PD PF =,故PA PF PA PD +=+当
,,A P D 三点共线的时候取得最小值,此时P 的纵坐标为1,故
21122p p x x =⇒=
.故1,12P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：D 8.【答案】D
【解析】【
分析】由三视图可知，直观图是正方体挖去两个1
4
圆柱，即可求出表面积． 【详解】解：由三视图可知，直观图是正方体挖去两个
1
4
圆柱． 该几何体的表面积为122241222121624πππ⎛
⎫⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ ⎪
⎝
⎭，故选D ． 9.【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的递减性可知两个函数段上的函数为减函数,且交界处也满足
递减的关系列式即可. 【详解】由分段函数为减函数可知()310
1101
63314a a a a a a
⎧-<⎪
<<⇒≤<⎨⎪-+≥⎩
. 故选：C 10.【答案】B 11.【答案】C
【解析】【分析】根据线性规划的方法,确定目标函数的最大值的最优解,进而求得,a b 满
足的关系式再利用基本不等式求解
11
a b
+的最小值即可. 【详解】画图可得,z ax by =+取得最大值时的最优解在点A 处,
此时8401
404x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩
,故()1,4A .故42a b +=, 故()111111441422b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭149
5222
b a a b ⎛≥⋅+⋅= ⎝, 当且仅当
4b a
a b
=时取等号.故选：C 12.【答案】B
【解析】【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为
P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可.
【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1
'1y x
=+
.设()00,Q x y ,则00
1
121x x +
=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q .此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离22
2115
22515
d -+=
=
=+.故选：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】2700
【解析】2πr=54,r 9≈,圆柱形容器体积为22π3918r h ≈⨯⨯ ,所以此容器能装
23918
27001.62
⨯⨯=斛米．
14.【答案】
6
π 【解析】【分析】根据和差角公式化简可得34
A π
=
,再根据正弦定理求解C 即可. 【详解】sinB ＝sin （A +C ）＝sinAcosC +cosAsinC ,
∵sinB +sinA （sinC ﹣cosC ）＝0,∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC ﹣sinAcosC ＝0,∴cosAsinC +sinAsinC ＝0,
∵sinC ≠0,∴cosA ＝﹣sinA ,∴tanA ＝﹣1, ∵0＜A ＜π,∴A 34
π=
,
∵a ＝2,c 2=,∴由正弦定理可得c a
sinC sinA
=,可得：sinC 2
21222
c sinA
a
⨯
⋅===, ∵a ＞c ,∴C 6
π=.故答案为：
6
π
15.【答案】
12
【解析】设AB 的长为x ，因为AC =u u u r AB BC +u u u r u u u r ，BE =u u u r BC CE +u u u
r u u u r ，所以·AC BE =u u u r u u u r
()AB BC +⋅u u u r u u u r ()BC CE +u u u r u u u r =2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1cos18022
x x x +⋅o
+1+
1cos1202
x
⋅o =1， 解得12
x =，所以AB 的长为1
2.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.
16.【答案】（0，1]∪[9，+∞）
【解析】【
分析】分焦点在,x y 轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点M 在椭圆的短轴端点上,进而求解m 的临界值,进而求得取值范围即可.
【详解】假设椭圆的焦点在x 轴上,则0＜m ＜3时,
假设M 位于短轴的端点时,∠AMB 取最大值,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB
＝120°,∠AMB ≥120°,∠AMO ≥60°,tan ∠AMO 3
m
=≥tan 60°3=,解得：
0＜m ≤1； 当椭圆的焦点在y 轴上时,m ＞3,
假设M 位于短轴的端点时,∠AMB 取最大值,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝
120°,∠AMB ≥120°,∠AMO ≥60°,tan ∠AMO 3
m
=
≥tan 60°3=,解得：m ≥9, ∴m 的取值范围是（0,1]∪[9,+∞）故答案为：(][)0,19,+∞U
三、解答题：
17.【解析】【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可.(2)利用错位相减求和即可.
【详解】（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13,
可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13
=
, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ；
P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2,且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n n
n b a =
=（2n ﹣1）•（13
）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•13+5•
1
9++L （2n ﹣1）•（13
）n ﹣1,
13T n ＝1•13+3•19+5•
1
27++L （2n ﹣1）•（13
）n , 相减可得23T n ＝1+2（11
39+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13
）n
＝1+2•
111133113
n -⎛⎫
- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n ,化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1. 18.【解析】【分析】(1)先根据频数计算在[50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据[70,80）之间的人数求得[70,80）之间的频率与高即可.(2)根据题意求得[50,60）中的人数与[90,100）分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即可.
【详解】（1）由茎叶图知分数在[50,60）上的频数为4,频率为0.008×10＝0.08, 故全班的学生人数为
4
0.08
=50人, ∵分数在[70,80）间的频数为：50﹣（4+14+8+4）＝20, ∴频率是
200.450
=,∴矩形的高是0.4
10=0.04. （2）成绩在[50,60）分数段内的人数有4人,记为甲、A 、B 、C ,成绩在[90,100）分数段内的人数有4人,记为乙、a ,b ,c ,则“二帮一”小组有以下24种分组办法： 甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,甲ab ,甲ac ,甲bc ,A 乙a ,A 乙b , A 乙c ,Aab ,Aac ,Abc ,B 乙a ,B 乙b ,B 乙c ,Bab , Bac ,Bbc ,C 乙a ,C 乙b ,C 乙c ,Cab ,Cac ,Cbc ,
其中,甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c , ∴甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P 31248
==. 19. 【解析】【分析】
（1）要证平面BDE ⊥平面PAC ，可证BD ⊥平面PAC ，PA ⊥平面ABC ，运用面面垂直的判定定理可得平面PAC ⊥平面ABC ，再由等腰三角形的性质可得BD AC ⊥，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（2）由线面平行的性质定理可得//PA DE ，运用中位线定理，可得DE 的长，以及DE ⊥平面ABC ，求得三角形BCD 的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
【详解】(1)证明：由已知得PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC .
(2) //PA 平面BDE ，又平面PAC I 平面BDE DE =，PA ⊂平面PAC ，∴//PA DE ，D 是AC 中点，∴E 为PC 的中点，∴1DE =，∴111221222
BDE ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=，111111333
E BCD V DE -=⨯⨯=⨯⨯=. 20.【解析】【分析】(1)根据椭圆中基本量的关系列式求解即可.(2)由题可设直线:l my x t =-,再根据直线与圆2245
x y +=相切可得22544t m =+,再联立直线与椭圆的方程求得OM ON ⋅u u u u r u u u r 的解析式,再代入22544t m =+化简求值即可.
【详解】（1）解：由题意可得：3c a =2b ＝2,a 2＝b 2+c 2,联立解得a ＝2,b ＝1,c 3=∴椭圆C 的方程为224
+=x y 1. （2）证明：设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）,
直线l 的斜率不为0时,设直线l 的方程为：my ＝x ﹣t ,
∵直线l 与圆O ：x 2+y 2
45=相切,251t m =+,化为：5t 2＝4m 2+4. 联立2214
my x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：（m 2+4）y 2+2mty +t 2﹣4＝0,△＞0. ∴y 1+y 2224mt m =-+,y 1•y 22244
t m -=+, x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2.
∴OM
u u u u r
•ON=
u u u r
x1x2+y1y2＝（m2+1）y1•y2+mt（y1+y2）+t2
＝（m2+1）•
2
2
4
4
t
m
-
+
+
mt（
2
2
4
mt
m
-
+
）+t2
22
2
544
4
t m
m
--
==
+
0,
直线l的斜率为0时,上式也成立.因此OM
u u u u r
•ON=
u u u r
0为定值.
21.【解析】
（2）不等式(),
1
k
f x
x
≥
+
即为
(1)(1ln)
,
x x
k
x
++
≥记
(1)(1ln)
(),
x x
g x
x
++
=
所以
[]
2
(1)(1ln)(1)(1ln)
()
x x x x x
g x
x
'
++-++
=
'2
ln
x x
x
-
=
令()ln
h x x x
=-，则
1
()1
h x
x
'=-，1
x≥
Q，()0,
h x
∴≥
'()
h x
∴在[1,)
+∞上单调递增，
[]
min
()(1)10
h x h
∴==>，从而()0
g x
'>，故()
g x在[1,)
+∞上也单调递增，
所以[]min
()(1)2
g x g
==，所以k2
≤
22.【解析】分析】（1）先利用关系22
cos sin1
αα
+=消去参数得到曲线C的普通方程，再利用互化公式得到其极坐标方程.（2）由于该定点为圆内的点，则圆上动点到定点的最小距离为半径减去圆心到定点距离，利用该结论即可求出距离最小值.
【详解】解：（1）圆C的直角坐标方程为()()
22
114
x y
-++=，
展开得222220
x y x y
+-+-=，化为极坐标方程22cos2sin20
ρρθρθ
-+-=
（2）点Q的直角坐标为2,2
-，且点Q在圆C内，由（1）知点C的直角坐标为()
1,1-，所以22
QC=,P Q两点间距离的最小值为(2222
PQ=-=
23.【解析】【分析】（1）当2a =时，由()3f x ≥-，得到2233x x ---≥-，分类讨论，即可求解．
（2）若当[1,3]x ∈时，()3f x ≤成立，得到32122x a x x -≤+-=+，根据绝对值的定义，去掉绝对值，即可求解．
【详解】（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-，
①122213x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≥-⎩或②1222213
x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+≥-⎩或③22213x x x ≥⎧⎨--+≥-⎩， 解①得：142x -≤<，解②得：122
x ≤<，解③得：2x =， 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤．
（2）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立，
即32122x a x x -≤+-=+，故2222x x a x --≤-≤+，即322x a x --≤-≤+， 232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时成立，故[]3,5a ∈-．。