高考数学二轮复习多选题知识点及练习题附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
()1a <的实根
个数可能为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令
1
2t x x =+
-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥
，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<
或32t <<+合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<
或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =
或2t =+0t =有一个1x =与其对
应，2t =x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1
解，且2t >1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
2．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+
<≤⎪
⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()(
)sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x
x f x e
e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e π
ππ⎛⎫=+>⨯=
⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
3．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：
1,()0,R x Q D x x Q
∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）
A ．()D x 是偶函数
B ．,(())1x R D D x ∀∈=
C ．对于任意的有理数t ，都有()()
D x t D x +=
D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】
利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】
A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则R
x Q -∈，
即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；
B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；
C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()
D x t D x +=，当R x Q ∈时，
R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；
D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1
，所以当((0,1),A B C 时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】
关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.
4．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一
切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A ．()x
f x e =
B ．()f x =
C ．()()2
sin f x x
=
D ．()sin f x x x =⋅
【答案】BCD 【分析】
假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】
对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为
22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+
0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，
所以2
()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，
b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.
又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.
2
0,2a b b b
->≥ ，当220a b -≤时，
b ≤恒成立，
()f x ∴=“控制增长函数”；
对于C.
()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，
2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；
对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，
()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，
则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，
当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，
()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.
故选：BCD 【点睛】
本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.
5．设函数(){}
2
2,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说
法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数
B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤
C ．当x ∈R 时，()()()f
f x f x ≤
D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】
解：画出()f x 的图象如图所示：
对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；
当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；
对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故
()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；
对D ，取3
2x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：一般地，若()()(){}
min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．
6．已知函数22,0
()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数
B ．(2020)(2021)1f f +=
C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝
⎭ D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(
)*
8,i x i i N ≤∈，则8
1
16i i x ==∑
【答案】BCD 【分析】
对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程
()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5
个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】
由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，
对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则
(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；
对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线
1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知
AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，故
C 正确；
对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则
8
1
4416i
i x
==⨯=∑，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.
7．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨
⎩
为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{0,1}
C ．方程(())f f x x =的解为1x =
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
【答案】ABC 【分析】
逐项分析判断即可.【详解】
当x
-为有理数时，x也为有理数
∴()1
f x
-=
当x
-为无理数时，x也为无理数
∴()0
f x-=
∴
1()
()
0()
x
f x
x
⎧
-=⎨
⎩
为有理数
为无理数
∴()()
f x f x
-=
()
f x
∴是偶函数，A对；
易知B对；
1
x=时，()
((1))11
f f f
==
∴C对
(())()
f f x f x
=的解为全体有理数
∴D错
故选：ABC.
【点睛】
本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.
8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）
A．对于圆O：221
x y
+=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B．函数()sin1
f x x
=+是圆O：()2
211
x y
+-=的一个太极函数
C．存在圆O，使得()1
1
x
x
e
f x
e
-
=
+
是圆O的一个太极函数
D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：
()()
()22
2210x y R R -+-=>的太极函数
【答案】BCD 【分析】
利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】
对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACE
PCO
POD
DFB
S S
S
S
===，所以该函
数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；
对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数
()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；
对于C ，()()
+1212
1+1+1+1
x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()1
1
111+11++1x
x
x x x
x
e e e
f x f x e e e ------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：2
2
1x y +=使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故
C 正确；
对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为
()()210m x y x y -+--=，
令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩
，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平
分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.
9．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．122
e x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=， 设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2
211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，
12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D
，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
10．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=
+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
11．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．函数在x e =
12e
B ．函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．()f x 有两个不同的零点
D ．(2)()(3)f f f π<
<
【答案】ABD 【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导
2
43
1ln 212ln ()x x x
x x f x x x ⋅-⋅-'==
， 令()0f x '=，解得：x e = x
()0,e
e
(
)
,e +∞ ()'f x
+
-
()f x
极大值
所以当x e =
时，函数有极大值()
2f
e e
=
，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >
作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在
)
,e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D
正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才
能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()22212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则
()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t
-=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
13．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2
x x a
a
x e e
f x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
，其中a 为非零常
数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()
00,T x f x ，则
x a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值可能
为（ ）（注：[]
x 表示不大于x 的最大整数）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AC 【分析】
求出导数，表示出切线，令0x t a
=
，可得()()110t t
t e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在
性定理可得021x a -<<-或012x
a
<<，即可求出. 【详解】
()2
x x
a
a
e e
f x a -+=⋅
，()
2
x x a
a
e e
f x --'∴=，
∴切线斜率
002
x x a
a
e e
k -
-=
，
()0
002
x x a
a
e e
f x a -+=⋅，
则切线方程为()000002
2x x x x a
a
a
a
e
e e e
y a x x --+--⋅=
-，
直线过原点，()0000022
x x x x a
a
a a
e e e e
a x --+-∴-⋅=
⋅-
令0x t a
=
，则可得()()110t t
t e t e --++=， 令()()()11x
x
h x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，
()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，
()()x x h x x e e -'=-+，
当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，
()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，
()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，
且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，
021x a ∴-<
<-或012x
a
<<， 02x a ⎡⎤
∴=-⎢⎥⎣⎦
或1. 故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令
0x t a
=
，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x x
h x x e x e -=-++的零点问题.
14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2y
x 上两个不同点,A B 横坐标
分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）
A ．若A
B 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上
B ．若阿基米德三角形PAB
C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值
14
D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积2
12||4
x x S -=
【答案】ABC 【分析】
设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方
程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A ：把抛物线焦点的坐标代入直线A
B 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】
由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，
由题意可知：点22
1122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，
由2'2y
x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：
22
1112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，
两方程联立得：21112
2222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩
， 解得：12
12
2x x x y x x +⎧
=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，
直线AB 的方程与抛物线方程联立得：
212122
0,y kx m
x kx m x x k x x m y x
=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 1
4y =-，
因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而121
4
x x m =-=-，
显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，
= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，
此时2
2
1111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：2
1(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，
112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB
， 所以正三角形PAB
的面积为11sin 6022︒==
， 故本选项说法正确；
C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以121212
1222
121122122114
PA
PB
x x x x
x x k
k x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：1
4
y kx =+
所以P 点坐标为：1(,)24
k -，点 P 到直线AB 的距离为：
=
||AB ==
=，
因为12121
,4
x x k x x +==-
，所以
21AB k =+， 因此直角PAB
的面积为：
2111(1)224
k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值1
4
，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以
1||AB x x ===-，
点P 到直线AB 的距离为：
212=
= 所以阿基米德三角形PAB
的面积3
2121211224x x S x x -=⋅-=
， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
15．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'
f x 在
(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ
∈-
-，使
0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.
【详解】
由已知()sin ,(,)x
f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，
(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，
()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，
又3423()0,()0,(0)2042
f e f e f ππππ--'''-=<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ
∈-
-，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，
所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，
又()00f e
π
π--=+>，000000()sin sin cos )04
x f x e x x x x π
=+=-=-<，
(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.
故选：ABD. 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
16．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=，
当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
17．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4
C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-
的导数，检验在x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+，
当x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-
在x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；
对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x ，当
x >()0G x '
>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所
以
()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()
g x
之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
18．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以2
2
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三
个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可
∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
19．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()22
12122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，
将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2
ln 2
m g x x x x =-，用
导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+==
=
、， ()2
ln x
g x x -'=
， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；
令()0g x '<，得()1
x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故()g x 的图象如下所示：
数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，故正确；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数
()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；
对C ，若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，
即()2
ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，
要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，
有两根， 也即()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102
a <<. 故要满足题意，则1
02
a <<
，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()
()()2
212122
m x x f x f x ->-恒成立， 即
22
111222ln ln 22
m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2
ln 2
m g x x x x =
-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，
单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即
ln 1
x m x
+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.
故选：AD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.
20．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x
-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；。