上海市徐汇区2018-2019学年高一数学上学期期末质量跟踪监视试题

上海市徐汇区2018-2019学年高一数学上学期期末质量跟踪监视试
题
一、选择题
1． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在
335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地
12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．
的是（ ）
A ．这10天中有3天空气质量为一级
B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低
C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55
D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(
)
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
3．在长方体1111ABCD A B C D -中，2
AB BC ==，11
AA =，点E ,O 分别是线段1,D D DB 的中点，111
(0)2
A F A A λλ=<<
,分别记二面角1F OB E --,1F OE B --,1F EB O --的平面角为α，β
，γ，则下列结论正确的是( )
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>>
4．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知点M 的极坐标为π(5,)3
，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( ) A ．π(5,-)3
B ．4π(5,
)3
C ．2π(5,)3
-
D ．5π(5,)3
-
6．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8
C ．15
D ．31
7．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数
之和是（ ）
A ．63
B ．64
C ．65
D ．66 8．若|x ﹣1|≤x|x+1|，则（ ）
A.x ≥
1
B.x≤1
C.x ≤ 1
D.x ≥9．某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
10．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）
A.
1
32e e
+- B.
3
2e e
++ C.4 D.2e 1-
11．若3x = 是函数2()(1)x
f x x ax e =++ 的极值点，则()f x 的极大值为（ ）
A.2e -
B.32e -
C.322e -
D.16e -
12．设函数()y f x =在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数()y f x '=图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13．已知 A 为椭圆 22
195
x y += 上的动点，MN 为圆 22(1)1x y -+= 的一条直径，则 •AM AN 的
最大值为_____．
14．已知(1,4)A -，(3,2)B -，以AB 为直径的圆的标准方程为__________．
15．已知复数11z i =+，22z ai =+（其中i 为虚数单位），若12z z ⋅为实数，则实数a 的值为_______．
16．当双曲线M ：22
2x y 1m m 4
-=+的离心率取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为______．
三、解答题 17．已知函数
,函数
(1)若,求不等式的解集; (2)若对任意,均存在
,使得成立,求实数
的取值范围.
18．在中，角对边分别为
，且
.
（1）求角的大小；
（2）若的外接圆半径为，试求该三角形面积的最大值.
19．已知点和向量
（1）若向量
与向量同向，且
，求点
的坐标；
（2）若向量与向量的夹角是钝角，求实数的取值范围. 20．在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），以原点
为极点，轴
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线
交于
，
两点，求
.
21．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，3）和B （6，0）． （Ⅰ）求线段AB 垂直平分线的方程；
（Ⅱ）若曲线C 上的任意一点P 满足2|PA|＝|PB|，求曲线C 的方程． 22．已知
，且
，设
函数
在
上单调递增；
函数
在
上的最小值大于.
（1）试问是的什么条件？为什么？
（2）若命题为假，命题
为真，求的取值范围.
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一、选择题
13．15
14．2
2
(1)(1)13x y -+-= 15．2- 16．y 2x =± 三、解答题 17．（1），（2）
【解析】
分析：（1）根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式； （2）求出的最小值
，
的最小值
，然后再解不等式
，注意分
类讨论．
详解：（1）依题意得 当时，，或
，
；
当
时，
，无解
所以原不等式的解集为
（2）因为
所以当时，
当时，
所以当时，
在上单调增，在上单调增，在上单调减
当时，，
则在上单调增，在上单调减，在上单调增
当时，的上单调增，
又因为
所以①当时，在上单调增，
②当时，又因为，结合时，的单调性，故，
综上，
，又因为，
所以①当时，；②当时，
综上得：
当时，由得，故
当时，由得，故
当时，由得，故
综上所述：的取值范围是
点睛：不等式恒成立问题的等价转化：
①对任意，，恒成立；
②对任意，存在，使成立；
③存在，对任意，使成立．
18．(1) ;(2)
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化为正弦，求出的值，再根据A的范围，求出角A的大小；（2）由正弦定理有，再用余弦定理和重要不等式求出，再求出三角形ABC面积的最大值。

试题解析：（1）,,
又,.
(2)，
又，
，
，
即
19．(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）根据题意，设B（x，y），易得向量的坐标，分析可得3（x﹣1）=2（y+2）且（x﹣1）2+（y+2）2=52，解可得x、y的值，验证向量与向量是否同向，即可得答案；（2）根据题意，由向量数量积的计算公式可得=﹣6+3k＜0且2k+9≠0，解可得k的取值范围，即可得答案．
详解：
（1）设，则，
若向量与向量同向，则有，
若向量，则，
解可得，或，
当时，，与向量反向，不合题意，舍去；
当时，，与向量同向，
则的坐标为；
（2）若向量与向量的夹角是钝角，
则有且，
解可得且，
故的取值范围是.
点睛：本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．平面向量数量积公式有两
种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）
向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.
20．(1) (2)
【解析】
分析：（1）由参数方程消去参数t即可得直线的普通方程，利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得曲线的直角坐标方程；
（2）由（1）求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，代入弦长公式求出
.
详解：（1）直线：（为参数）的普通方程为.
因为，所以，
所以，
又，，
故曲线的普通方程为.
（2）据（1）求解知，直线的普通方程为，
曲线：为以点为圆心，半径长为的圆，
所以点到直线的距离，
所以直线被曲线截得线段的长为.
点睛：转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用
在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．
21．（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由A，B的坐标求得AB的中点坐标，再求出AB所在直线当斜率，可得AB的垂直平分线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）设P（x，y），运用两点的距离公式，平方化简可得曲线C的方程．
【详解】
（Ⅰ）∵A（0，3），B（6，0），
∴AB的中点坐标为（3，），，
∴线段AB垂直平分线的方程为y，
即4x﹣2y﹣9＝0；
（Ⅱ）设P（x，y），由2|PA|＝|PB|，
可得，
平方可得4x2+4y2﹣24y+36＝x2﹣12x+36+y2，
化简可得x2+y2+4x﹣8y＝0，
则曲线C的方程为圆．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线垂直与斜率的关系，注意运用两点的距离公式，是中档题．22．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出命题和各自对应的的取值范围，即可得出是的必要不充分条件；（2）由命题
为假，命题为真，可知命题和一真一假，分两种情况，真假或假真进行讨论，即可求出答案。

【详解】
（1）对命题，若函数在上单调递增，则，
对命题，若函数在上的最小值大于，则，即，
所以是的必要不充分条件.
（2）若为真，则，
因为，且，所以，，
若为真，则，
因为，且，所以，，且，
又因为“或”为真，“且”为假，
所以真假或假真，
①当真假时，
由，得.
②当假真时，由，得.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
①当p、q同时为假时，“p或q”为假，当p、q至少一个为真时，“p或q”为真，可简称为“一真必真”；
②当p、q同时为真时，“p且q”为真，当p、q至少一个为假时，“p且q”为假，可简称为“一假必假”；
③“非p”与p的真假相反。