山东省菏泽市民喜中学高二数学理测试题含解析

山东省菏泽市民喜中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合M={x|（x+2）（x﹣3）≤0}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，1} D．{﹣1，1，3}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【分析】先化简集合M，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来．
【解答】解：∵M={x|（x+2）（x﹣3）≤0}={x|﹣2≤x≤3} N={﹣3，﹣1，1，3，5}，
∴M∩N={﹣1，1，3}，
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，求解的关键是化简集合及正确理解交集的定义．
2. 已知则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
4. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．[1，+∞） D．
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：f′（x）=4x2﹣3x﹣1=（4x+1）（x﹣1），
令f′（x）≥0，解得：x≥1或x≤﹣，
故选：D．
5. 圆上的点到直线的距离的最小值为( )
A.6
B.2
C.3
D.4
参考答案：
D
6. 观察下列各式：，则（）（A）28 （B）76 （C）123 （D）199
参考答案：
C
7. 已知变量满足则的最小值是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5参考答案：
A
8. 如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则
＝( )
A. B. C.
D.
参考答案：
A
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
参考答案：
A
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．
【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，
所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，
因为A、B、C是三角形内角，
所以B=C．
三角形是等腰三角形．
故选：A．
10. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且，可归纳猜想出S n的表达式为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
所以a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，所以a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝1，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想S n＝.
故答案为A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写
方法共有种。

参考答案：
12
12. 设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上，以2为周期的周期函数，且f（x）为偶函数，在区间[2，3]上，f（x）=﹣2（x﹣3）2+4，则x∈[0，2]时，f（x）= ．
参考答案：
﹣2（x﹣1）2+4
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】当x∈[﹣3，﹣2]时﹣x∈[2，3]，利用偶函数的性质求出f（x），再利用函数的周期性求
出x∈[1，2]的f（x）解析式，同理求出x∈[0，1]的f（x）解析式，即可得出结论．
【解答】解：当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x∈[2，3]，
∵f（x）是偶函数，在区间[2，3]上，f（x）=﹣2（x﹣3）2+4，
∴f（x）=f（﹣x）=﹣2（﹣x﹣3）2+4=﹣2（x+3）2+4．
当x∈[1，2]时，﹣3≤x﹣4≤﹣2，∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f（x）=f（x﹣4）=﹣2[（x﹣4）+3]2+4=﹣2（x﹣1）2+4．
∴f（x）=﹣2（x﹣1）2+4（1≤x≤2）；
当x∈[0，1]时，2≤x+2≤3，∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f（x）=f（x+2）=﹣2[（x+2）﹣3]2+4=﹣2（x﹣1）2+4．
∴f（x）=﹣2（x﹣1）2+4（0≤x≤1）；
∴f（x）=﹣2（x﹣1）2+4（0≤x≤2）．
故答案为﹣2（x﹣1）2+4．
13. 过点、的直线的斜率为______________．
参考答案：
2 略
14. 已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图，令a n =f （
），
则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=
．
参考答案： 0
【考点】HK ：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；8E ：数列的求和．
【分析】先根据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f （x ）的解析式，然后分别写出数列a n 的各项，注意到各项的取值周期为6，从而可求a 1+a 2+a 3+…+a 2014的值．
【解答】解：由图象可知， T=，解得
T=π，故有．
函数的图象过点（，1）故有1=sin （2×+φ），｜φ｜＜，故可解得φ=，从而有f （x ）=sin （2x+
）．
a 1=sin （2×+）=1
a 2=sin （2×+）=
a 3=sin （2×+）=﹣
a 4=sin （2×+）=﹣1
a 5=sin （2×+）=﹣
a 6=sin （2×+）=
a 7=sin （2×
+
）=1
a 8=sin （2×
+
）=
…
观察规律可知a n 的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，
所以有：a 2014=sin （2×+）=﹣1．
则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=a 2011+a 2012+a 2013+a 2014=1+=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考察了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式和数列的求和，其中找出各项的取值规律是关键，属于中档题．
15. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．
参考答案：
6π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l ）可得答案． 【解答】解：∵圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，
故圆柱的母线l=2，
故圆柱的表面积S=2πr（r+l ）=6π，
故答案为：6π
【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式，是解答的关键．
16. 曲线在处的切线方程为_▲_．
参考答案：
17. 双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）
命题p：对任意实数都有恒成立；命题q ：关于的方程有实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：
若为真命题，则，即
若为真命题，则，即
“p或q”为真命题，“p且q”为假命题
为真命题或为真命题
略
19. 命题：；命题：对任意实数x不等式恒成立；命题：方程
表示双曲线。

（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围。

参考答案：
20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF
的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得?又，
所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而??
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，
设，则t＞0，，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…
21. 某茶馆为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
（2）若具有线性相关关系，求出销售量y（杯）与气温x（℃）的线性回归方程；（3）预测当气温为20℃时，热茶约能销售多少杯？
（回归系数=， =﹣精确到0.1）
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）作出散点图，根据散点图判断是否线性相关；
（2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（3）把x=20代入回归方程计算．
【解答】解：（1）作出散点图，
从散点图可以看出，销售量y（杯）与气温x（℃）有比较好的线性相关关系，∴可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
（2）=×（18+13+10﹣1）=10， =×（24+34+38+64）=40．
=18×24+13×34+10×38﹣1×64=1190， =182+132+102+1=594．
==﹣≈﹣2.1， =40﹣（﹣2.1）×10=61，
∴线性回归方程为=﹣2.1x+61．
（3）当x=20时， =﹣2.1×20+61=19．
∴当气温为20℃时，热茶约能销售19杯．
22. 设函数.
（1）当，时，恒成立，求b的范围；
（2）若在处的切线为，求a、b的值.并证明当时，. 参考答案：
（1）（2）见解析
【试题分析】（1）当时，由于，故函数单调递增，最小值为.（2）利用切点和斜率为建立方程组，解方程组求得的值.利用导数证得先证，进一步利用导数证，从而证明原不等式成立.
【试题解析】
解：由，
当时，得.
当时，，且当时，，此时.
所以，即在上单调递増，
所以，
由恒成立，得，所以.
（2）由得
，且.
由题意得，所以.
又切线上.
所以.所以
.
所以.
先证，即，
令，
则，
所以在是增函数.
所以，即.①
再证，即，
令，
则，
时，，时，，时，.
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以.
即，所以.②
由①②得，即在上成立.
【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于a题目给出，并且导函数没有含有b，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得b的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.。