2018届河南省开封市高三上学期定位考试数学理

2018 届河南省开封市高三上学期定位考试（
10 月）
数学（理）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 .
1.已知全集 ，
， ，则
（ ）
A. B.
C.
D. （0,1）
2.复数
，则
( )
A. z 的共轭复数为
B. z 的实部为 1
C. D. z 的虚部为
3．以下选项中，说法正确的个数是 ( )
(1) 若命题 p : x 0 R ， x 0 2 x 0 0 ，则 p ： x 0
R ， x 0
2
x 0 0 ”；
(2) 命题“在
ABC 中， A
30 o
，则 sin A
1
”的逆否命题为真命题；
2
(3) 设 a n 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“ a n 为递加数列”的充分必需条件；
(4) 若统计数据
x 1, x 2 , , x n 的方差为 1, 则 2x 1,2x 2 , ,2x n 的方差为 2.
个
个
个
个
4.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 a 5 10， S 4
16 ，则数列 { a n } 的公差为 （
）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
5.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满 足 f ( x )
f ( x 2) ， 当 x (0, 2]
时 ，
f ( x) 2x
log 2 x ，则 f (2015) （
）
A ． 5
B
．
1
C
． 2
D
． -2
2
x y 2 0 ( 1 )
x 2 y
的最大值 6. 已知实数 x, y 满足拘束条件 x 2 y 2 0 ，则 z
x 1
2
是（ ）
A ．
1
B
．
1
C. 32
D
． 64
32
16
7. “欧几里得算法”是有记录的最古老的算法，可追想至公元前 300 年
前， 下边 的程序框图的算法思路就是本源于“欧几里得算法”
. 执行该
程序框图（图中“aMODb
”表示a除以b的余数），若输入的a，b 分别为 675,125 ，则
输出的（）
8.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语一致考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科 . 学生甲要想报考某高校的法学专业，就一定要从物理、
政治、历史三科中最少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（）
A．6B．12C．18D．19
9.某几何体的三视图以以下图，此中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
10. 假如存在正整数ω和实数使得函数 f ( x )sin 2 (x) 的图象如图所
示 (图象经过点(1,0))，那么ω的值
为
()
A．1B．2C．3D．4
11.过双曲线x
2
y 2 1 a0, b0 的左焦点F c,0 作圆x2y2a2的切线，切点a2b2
为 E ，延长 FE 交抛物线 y 24cx 于点 P ，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为（）
A． 5 B.
5
C. 5 1
51 2
D.
2
12. 函数f ( x )x e x， x(, 2) ，函数 g( x )ax1， x[ 2, 2]， x1[ 2,2]，总存在独一 x0(, 2) ，使得 f ( x0 ) g( x1 ) 建立，则实数的取值范围为（）
A．(1
,
1
) B.[ 1 ,1] C. (
e 1
,
e 1
) D. [ e 1 , e 1] 22222e2e2e2e
二、填空题：本大题共4小题，每题 5 分 .
r r r r r r r r r
13.已知平面向量a
，
b
，
c
，
a
( 1,1) ， b(2,3)，
c
( 2,k ) ，若 (a b) / / c ，则实
数k
．
14.在平面地域Ω ={（ x， y）|≤ x≤ ，0≤ y≤ 1}内任取一点P，则点P落在曲线y=cosx
下方的概率是．
15. 在中，角，，的对边分别为，，，b tan B b tan A2c tan B ，且 a 5 ，
的面积为 2 3 ，则的值为 __________．
16. 正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 3 ，此时四面体 ABCD 外接球的表面积为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
已知数列a n满足a1 1 ,且 2na n 12( n 1)a n n(n1) .
（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；
（Ⅱ）若 b n
1
求数列 {b n } 的前n项和 S n.
a n，
18.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角D-ABC 中， AB=2AC=2
BDC ⊥平面 ADC ；
B-AD-C 的余弦值 .
， AD=6， CD=3 ，平面ADC ⊥平面ABC.
19. （本小 分 12 分）
某 品按行 生 准分成 8 个等 ，等 系数
X
挨次
1，2，⋯， 8，此中
X 5 准
A ，
X
3 准
B ，已知甲厂 行 准
A 生 品， 品的零售价 6 元 / 件；乙厂 行
准 B 生 品， 品的零售价
4 元/ 件，假定甲、乙两厂的 品都吻合相 的 行
准.
（Ⅰ）已知甲厂 品的等 系数
X 1 的概率分布列以下所示：
X 1
5
6
7
8
P
a
b
且 X 1 的数学希望 EX 1 6 ，求 a ， b 的 ；
（Ⅱ） 解析乙厂 品的等 系数 X 2 ，从 厂生 的 品中随机抽取
30 件，相 的等
系数 成一个 本，数据以下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8
3 4 3 4 4 7 5 6 7
用 个 本的 率分布估 体分布，将 率 概率，求等 系数
X 2 的数学希望；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比” 判断 准， 哪个工厂的 品更具可 性？ 明原由．
注：① 品的“性价比”
= 品的等 系数的数学希望 / 品的零售价；
②“性价比”大的 品更具可 性．
20．（本小 分
12 分）
已知 E ：
x
2
y 2 1( a b 0) 的一个焦点与抛物 y 2 4 2 x 的焦点重合，且 E
a 2
b 2
截抛物线的准线所得弦长为
2 3 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； 3
（Ⅱ）直线 l 与椭圆 E 订交于 A ， B 两个不一样的点，线段 AB 的中点为 C ， O 为坐标原点， 若△OAB 的面积为
3
，求 | AB | |OC |的最大值．
2
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) a x
x 2 x ln a a
0, a 1 ．
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的极小值；
（Ⅱ）若存在 x 1, x 2 1,1 ，使得 f (x 1) f (x 2 ) e 1（ e 是自然对数的底数） ，务实数 a
的取值范围 .
22.（本小题满分 10 分）选修 4— 4：极坐标与参数方程
x t cos ，圆 C 2：
在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1 的参数方程为 :
t 为参数
y t sin
2
4 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .
x 2y 2
（Ⅰ）求 C 1 ， C 2 的极坐标方程和交点坐标 A (非坐标原点 )；
（Ⅱ）若直线 C 3 的极坐标方程为
R ，设 C 2 与 C 3 的交点为 B (非坐标原点 ),求△
4
OAB 的最大面积 (O 为坐标原点 ) .
23. （本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知函数 f （x ） =|x ﹣m|， m ＜ 0．
（Ⅰ）当 m=-1 时，求解不等式 f （x ）+f （-x ）≥2-x ；
（Ⅱ）若不等式 f （ x ） +f （2x ）<1 的解集非空，求 m 的取值范围．
高三数学试题（理科）参照答案
一、选择题（每题 5 分，共60 分）
题号123456789101112答案C D A B D C B D D B D B 二、填空题（每题 5 分，共20 分）
13. -8 14.15. 716. 7
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由已知可得a n 1a n 1 ，
n1n2
∴数列 { a
n } 是以1为首项，
1
为公差的等差数列，．．．．．．．．．．．． 3 分n2
∴ a n n( n1)
．．．．．．．．．．．． 6 分2
.
（Ⅱ）
b n
2
2
11
．．．．．．．．．．．． 8 分
n( n1)
(
n
) ，
n1
1)(
11
) ⋯⋯(
1
1
．．．．．．．．．．．． 10 分
S n2[(1)]
223n n1
12n ．．．．．．．．．．．． 12 分
2(1)
n1n1
18.解：（Ⅰ）由已知可得BC=3，∴ BC ⊥AC ，．．．．．．．．．．．． 2 分∵平面 ADC ⊥平面 ABC ，平面 ADC ∩平面 ABC=AC ，∴ BC ⊥平面 ADC ，．．．．．．．．．4 分又∵ BC平面 BDC ，∴平面 BDC ⊥ADC.．．．．．．．．．．．．5 分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
∵平面 ADC ⊥平面 ABC ，过 D 作DD 'CA 的延长线于 D ' ，∴DD '平面 ABC ，
由余弦定理可得 cos ACD 2
，∴ sin ACD 5 ，33
∴DD'CD sin ACD5，CD'CD cos ACD 2，
C（ 0,0,0）， A （ 1,0,0）， B （0,3
， 0）， D（ 2,0，5），
∵BC ⊥平面 ADC ，∴n uuur
(0, 3,0)为平面 ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7 分CB
设 m( x, y, z) 为平面ADB的一个法向量，uuur uuur
( 1, 3,0) AD(1,0, 5) ， AB
m uuur 0
AD
5, 3) ，．．．．．．．．．．．． 9 分
∴ uuur
，可取 m ( 15, m AB
cos m, n
m n 115
，∴二面角 B-AD-C 的余弦值为
115 . ．．．．．． 12 分 |m | | n |
23
23
19.解：（ Ⅰ ）
a
；．．．．．．．．．．．． 3 分
b
（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布预计整体分布，将频率视为概率，
可得等级系数 X 2 的概率分布列以下：
X 2 3
4
5
6
7
8
P
．．．．．．．．．．．． 4 分
∴ EX 2
4
7 0.1 8
0.1 4.8 ，即乙厂产品的等级系数
的数学希望等于 ；．．．．．．．．．．．． 6 分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，原由以下：
∵甲厂产品的等级系数的数学希望等于
6，价格为 6 元 / 件，∴其性价比为
6 1 ，．．．．8 分
6
∵乙厂产品的等级系数的希望等于
4.8 ，价格为 4 元/ 件， ∴其性价比为
1.2 ，．．10 分
4
据此，乙厂的产品更具可购买性 .
．．．．．．．．．．．．12 分
20.解：（Ⅰ）由题意得 c
b 2 3 ，∴ a
3, b 1.
2 ，又∵
3
a
∴椭圆 E 的方程为
x 2
y 2
1．
·4 分
3
（Ⅱ）设 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2 )，
(1) 当 l 的斜率不存在时， A ，B 两点关于 x 轴对称，
由△OAB 面积 S OAB
1 |AB | |OC |
3
，可得 |AB| |OC| 3 ； ·············5 分
2 2
(2) 当 l 的斜率存在时，设直线 l ： y kx m ， y kx m, 2
2
2
联立方程组
x 2 消去 y ，得 3k 1 x 3
0 ，
y 2
6kmx 3m
3 1,
由
12(3k 2 m 2 1) 0 得 m 2 3k 2 1 ，
则 x 1 6km 3m 2 3
，（* ）
·6 分
x 2 2 1 ， x 1 x 2 2
1
3k 3k
|AB| 1 k
2
( x 1 x 2 ) 2
4x 1x 2
1 k
2 2
3 3k 2 m 2
1
，
3k 2
1
原点 O 到直线 l 的距离 d
| m | ，
1
k
2
因此 △OAB 的面积 S 1
1
1
k 2
2 3 3k 2
m 2 1
| m |
3 ，
|AB| d
2
3k 2
1
1 k 2
2
2
整理得 4m 2 (3k 2 1 m 2 ) (3k 2 1)2 ，即 (3k 2 1)2
4m 2 (3k 2 1) (2 m 2 )2
因此 (3k 2
1 2m
2 )2 0 ，即 3k 2
1 2m 2
，满足
12(3k 2 m 2 1) 0 ，·······8 分
结合（ * ）得 x 1
x 2
3k
， y 1 y 2 k( x 1
x 2 ) 2m
3k 2 2m (2 m 2 1) 2m
1 ，
m
m m m
则 C 3k , 1
)
2
9k 2 1 3(2m 2 1) 1
3 1 2
，
(
，因此 |OC | 4m 2 4m 2 2 2m
2m 2m
2
12(1 2 ) 3k 2 m 2 1 12(1 k 2 ) 2m 2 m 2
(3 3k 2
) 1 2m 2 2 2(1 1 |AB|
k (3k 2 2 (2m 2 ) 2 m 2 m 2 m 2 ) ，
1)
·······················································10 分
1
1
2
2
2
1
1
[(3 m 2 )(1
m 2 )]
4 ，
因此 |AB|
|OC|
(3 m 2 )(1 m 2
)
4
当且仅当 (3
1
(1 1
) ，即 m ＝±1 时，等号建立，故
|AB||OC| 2
，
m
2 )
m 2
综上 |AB | | OC |的最大值为 2
．．．．．．．．．．．． 12 分
21. 解：（Ⅰ） f ( x) a x ln a + 2x ln a 2x + (a x 1)ln a ．
∵当 a 1时， ln a 0 ， a x 1 ln a 在 R 上是增函数，
∵当
0 a
时，
ln a
0 ，
a x
1 ln a 在 R 上也是增函数，
1
a 1
0 a 1
R
2
∴当
或
，总有 f ( x) 在
上是增函数，
．．．．．．．．．．．． 分
又 f (0) 0 ，因此 f ( x) 0 的解集为 (0, +
) ， f ' x
0的解集为 ,0 ，
故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,+ ) ，单调减区间为
,0 ，
∴函数 f ( x) 在 x=0 处获得极小值为 1．
．．．．．．．．．．．． 4 分
（Ⅱ）∵存在 x 1, x 2 [ 1,1]，使得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ≥ e 1 建立，
而当 x
[ 1,1]时， f (x 1 ) f ( x 2 ) ≤ f ( x)max
f ( x)min ，
∴只要 f ( x)max
f ( x)min ≥ e 1即
可．
．．．．．．．．．．．． 5 分
又∵ x ， f ( x) ， f ( x) 的变化状况以下表所示：
x
(
,0)
(0, + )
f ( x)
+
f ( x)
减函数
极小
增函数
∴ f (x) 在 [ 1,0] 上是减函数，在 [0,1] 上是增函数，因此当 x [ 1,1] ， f x 的最小
f x
min
f 0
1， f
x 的最大 f x max f
1 和 f
1 中的最大 ．．．．．．．．．7 分
∵ f (1)
f ( 1) (a + 1 1
+ 1 + ln a) a
1
2ln a ，
ln a) (
a
a
令 g( a)
a 1 2ln a( a
0) ，因 g ( a) 1+ 1
2 2 (1 1) 2
0 ，
a a a
a
∴ g( a)
a 1
2ln a 在 a 0, 上是增函数．
a
而 g(1) 0 ，故当 a 1 ， g a 0 ，即 f (1) f ( 1) ；
当 0 a 1 ， g a
0 ，即 f (1)
f ( 1) ．
．．．．．．．．．．．．9 分
∴当 a 1 ， f (1) f (0)≥ e 1，即 a ln a ≥ e 1 ，
函数 y a ln a 在 a (1, ) 上是增函数，解得 a ≥ e ； 当 0 a
1 ， f ( 1)
f (0) ≥ e 1，即
1
ln a ≥ e 1 ，
a
y
1 ln a 在
a
(0,1)
上是减函数，解得 0
a ≤
1
函数
a
e ．
．．．．．．．．．．．． 11 分
a (0, 1
] U[e, + )
．．．．．．．．．．． 12 分
上可知，所求 a
的取 范
e
．
22.解：（Ⅰ） C 1 : = （
R ） ；
C
2：
=4cos ； 交点坐 A
4cos ,
.（写出直
角坐 同 分）
⋯⋯⋯⋯⋯5 分
（Ⅱ） B
2 2，
4
S
V OAB
1 2 4cos
sin
= 2 2 sin
2
2
2 4
4
2
故△ OAB 的最大面 是
2 2+2.
⋯⋯⋯⋯⋯10 分
2x( x1)
23. 解：（Ⅰ） F x x 1 x 12( 1x 1)G（x) 2 x
2 x( x1)
可解得 x x2或x0⋯⋯⋯⋯⋯5分
（Ⅱ） f（ x） +f （ 2x ） =|x m|+|2x m| ， m ＜ 0 ．
当 x ≤m ， f （x） =m x+m 2x=2m3x ， f（ x）≥ m ；
当 m ＜ x＜m m
， f （ x）=x m+m2x= x，＜ f （ x）＜ m ；22
当 x m m ， f（ x） =x m+2x m=3x 2m ， f （x）≥- ．
22
f （ x）的域 [-m
， +∞），2
不等式 f（ x） +f （ 2x ） <1 的解集非空，即 1 ＞ - m
，解得， m ＞-2 ，2
由于 m ＜ 0 ， m 的取范是（ -2 ， 0 ）．⋯⋯⋯⋯⋯10 分。