陕西省蓝田县高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值最小值问题教案 北师大版选修1-1

4.2.2 最大值最小值问题
教学目标
1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3.会利用导数解决某些实际问题.
教学重点
1. 考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题．
2. 结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点，难点。

学时难点
1. 考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题．
2. 结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点，教学活动活动1 【讲授】导数的应用知识梳理：（1）如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，那么f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值．函数的最值是函数在整个定义域上的性质.
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值______________．
最大值或者____________取得，或者____________取得．
问题探究一函数的最值
问题 1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像，它的极大值、极小值吗？
问题2 观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？
问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比较即可．
例1． (2020·镇海中学模拟)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
[解题指导](1)已知：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(2)分析：①由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行可知f′(1)＝0即可求出k 的值；②由函数解析式，求导进而求出函数的单调区间．③构造函数证明不等式．
训练1 求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．
解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f (x)在[－1,1]上为增函数
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
问题探究二含参数的最值问题
问题1 若函数f(x)已知最值，且函数关系式中含有参数，怎样根据函数最值确定参数？答案根据函数在哪一点处取得最值，采用待定系数法，利用导数列方程可以解出参数值．问题的关键在于确定函数的极值或端点处的函数值以及它们的大小．
问题2 含参数的函数，怎样求函数的最值？
答案由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，因此解决这类问题往往需要分类讨论，参数分界标准是根据导函数为零时自变量的大小或通过函数值的大小等方面确定的．
例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－ .
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.
故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数的大致图象如图所示，故实数k的取值范围是.
小结含参数的函数，已知最值可考虑使用待定系数法确定参数；求含参数的最值要分类讨论，注意导数为0的点的大小及是否在函数定义域内．
训练2 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在( ，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值．解(1)f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)⊆(，＋∞)使得f′(x)>0.由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，f′(x)在区间[，＋∞)上单调递减，则只需f′()>0即可．由f′()＝＋2a>0解得a>－，所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)<f(1)，
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝，得a＝1，x2＝2，从而f(x)
在[1,4]上的最大值为f(2)＝
问题探究三函数最值的应用
问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答案解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．对含参不等式恒成立，求参数范围问题，可先分离参数．
例3 已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．
解∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，∴x＝1或x＝－.
当x∈(－1，－)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x∈(－，1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
∴当x＝－时，f(x)取得极大值f(－)＝5＋；
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝ .
又f(－1)＝，f(2)＝7，
∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.
∴要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7.
∴所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．
小结“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
训练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，
∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
练习
1．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是 ( ) A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
2．函数f(x)＝x－2在[0,4]上的最大值为 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．4
3．函数f(x)＝xex的最小值为________．
课堂小结
(1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值；(2)含参数的函数最值，可确定参数或分类讨论；(3)“恒成立”问题可转化为函数最值问题.。