江苏省木渎高级中学2010-2011学年考试高二理科数学答案73

江苏省木渎高级中学2010—2011学年度第二学期期中考试
高二数学理科试卷（正题）参考答案
一、填空题（每小题5分，共70分，将正确答案填在答卷相应的地方.）
1. 充分不必要
2. 2y x =±
3. 3
2
-
4. 72
5. 516
6. 81
7. ①④ 8. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
9. 2 10. 2 11. 14 12. 12+
13. 4
1
3()i i V
iH K ==∑ 14. 4
二、解答题（本大题共6小题，共90分，将答案写在答卷相应地方.）
15. （本题满分14分） 证明：（I ）G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE 的中点， ∴EAB ∆中，AB GH //， ------------------------3分 CD AB //，∴//GH CD ，
又∵,CD CDE GH CDE ⊂⊄平面平面
∴//GH 平面CDE -----------------------7分 (II)平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∵AD ED ⊥，ED ADEF ⊂平面
∴ED ⊥平面ABCD ， --------------------10分 ∴BD ED ⊥，
又∵CD BD ⊥，CD ED D ⋂=
∴CDE BD 平面⊥ --------------------14分 16.（本题满分14分）
解：(I)由已知3(1)
1
123()1211t t t t f t t t t ----==--+，
1
1
1
32232112212
t s t t s t t t -++--===---，左边=右边，原等式成
立；--------------------------------------------------------------------------------7分
（II ）3(1)
1
123()1211s s s s f s s s s
+-++==+++，11t as b t as b -+-=
+，二者相等得： 211121s as b
+=-++，化简得(22)120a s b +++=
所以11,2a b =-=-.1
()2
t s s ϕ==--故------------------------------------------------------------14分
17. （本题满分14分）
解：（I ）曲线C 的方程可变行为2
2
20(4220)0.x y x y a +-+-++=
2220042200.x y x y +-=-++=且得曲线C 过定点（4，-2）-----------------------5分 （II ）原方程配方得
2
2
2
)()5(2)x a y a a -++=-（， 2a ≠，25(2)0a ->，所以曲线C 的方程表示圆心是(2,)a a -半径为5|2|a -的圆。

设圆心坐标为(,)x y ，则2,x a y a ==-，消去1
2
a y x =-得，
故圆心在直线1
2
y x =-上。

----------------------------------------------10分
（III ）由题意得5|2|a -=|a |，解得55
2
a ±=-----------------------14分 18. （本题满分16分）
解：(I)乙方的实际年利润为：st t w -=2000 0≥t ．
s
s t s st t w 2
21000)1000(2000+
--=-=，当2
1000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 时，w 取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量2
1000⎪⎭
⎫
⎝⎛=s t (吨)． ………………7分 (II)设甲方净收入为v 元，则2
002.0t st v -=．
将2
1000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：4
32100021000s s v ⨯-
=． 又
令0='v ，得20=s ．
当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入．
………………16分
19. （本题满分16分）
解：（I ）由题意22c a =,又椭圆过点61(,)22，带入方程得2226122
1a b
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，与222a b c =+联立得2,1a b c ===，所以椭圆方程2
212
x y +=……………………………………………7分 (II)右焦点(1,0)F ，以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-= 设00(,)N x y ，则0000(2)()0x x y y t -+-=
直线NF 的方程为2
(1)y x t
=--，点N 在直线NF 上得0022x ty +=
所以220022ON x y x ty =
+=+=为定值…………………………………………16分
20. 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x
f x a a x a x a a '=+-=+-……………………………3分
由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x
a a >->，所以()0f x '>，
故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，
故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：
x
(,0)-∞
(0,)+∞
()f x ' － 0 ＋ ()f x 递减 极小值 递增
又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，
而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………11分
（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，
所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，
5
325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='
所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，
而11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为2
2121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），
所以1
()2ln g t t t t
=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，
所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，
也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-…………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，
②当01a <<时，由11
(1)(0)1ln 10f f e a e a a e
--≥-⇒+≥-⇒<≤，
综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤
∈+∞ ⎥⎝⎦
……………………………16分
高二数学理科试卷（加试题）参考答案
21. （本题满分10分）解：T 1+r =91839(1)r
r
r r
C a
x
--- （r=0，1，2，…9） 2分
令1830r -=得6r =………………………………… 5分 所以6
3
984C a =得1a =…………………………… 7分 令1x =得系数之和为0…………………………………… 10分 22. （本题满分10分）证明：令111
()123
f n n
=++++
①当3n =时，左边=111223
+
+>，不等式成立；………………………………3分 ②假设当(3,)n k k k N *
=≥∈时，()1f k k >
+，………………………………4分
那么，当1n k =+时，12(1)111k f k k k k ++>++=++2
22
k k k +>=++
即1n k =+时，不等式也成立。

……………………………………………………8分
由①②知， 对,2,n N n *
∈>111
1123
n n
+
+++
>+……………10分 23. （本题满分10分） 解：（I ）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有A （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，0）． 2 0 00 1 02 1 00 2 1EB AC =-=-=-（，，）（，，）（，，），（，，），……2分
cos<,EB AC >22
555
-=
=-⋅． ………………4分 由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦
值是
2
5
．………………5分 （II ）(2 0 1)AB =-，，
，(0 1 1)AE =-，，，设平面ABE 的法向量
为1()x y z =，，n ，
则由1AB ⊥n ，1AE ⊥n ，得20,
0.x z y z -=⎧⎨-=⎩
目 取n ＝（1，
2，2），
平面BEC 的一个法向量为n 2＝（0，0，1），………………………………7分
12121222
cos ||||3
144⋅<>=
==⋅++，n n n n n n ．……9分
由于二面角A －BE －C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是－
2
3
．…… 10分
24. （本题满分10分）
解：设甲面试合格为事件A ，乙面试合格为时间B ，丙面试合格为时间C, 则（I ）至少有1人面试合格的概率为
()()()
1227
1()112339
P ABC P A B C -=-=-⨯⨯=………………………………4分
（II ）ζ的可能取值为0,1,2,3.
()()()()0P P ABC P ABC P ABC ζ==++=1121211224
2332332339⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()()()()
1P P ABC P ABC P ABC ζ==++=1211121224
2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()()
1111
223318P P ABC ζ===⨯⨯=
()()1111
323318
P P ABC ζ===⨯⨯=
所以ζ的分布列是
ζ
0 1 2 3 P 49 49 118 1
18 所以ζ的期望441113
012399181818
E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分。