(最新整理)概率论和数理统计期末考试题库

(完整)概率论和数理统计期末考试题库
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数理统计练习
一、填空题
1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0。

5,P (B ）=0。

6，P （B
A ）=0。

8，则P (A+B)=__ 0。

7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为
8180，则此射手的命中率3
2。

3、设随机变量X 服从［0，2]上均匀分布，则=2)]
([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次
试验的成功率为p ,进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大,最大值为 25 .
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2
22121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ，则
E (X ）=3
4。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b
为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N （－2，4)，Y ～N (3,9），且X 与Y 相互独立.设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(—2， 25） 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0。

4， P （B ）=0.3, P （A ∪B )=0。

6，则P （B A ）=_0.3__。

2、设X B (2,p ），Y B （3，p )，且P ｛X ≥ 1}=9
5，则P ｛Y ≥ 1}=27
19。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0，2］上的均匀分布，Y =2X +1,则D (Y ）= 4/3 。

5、设随机变量X 的概率密度是：
⎩⎨
⎧<<=其他
103)(2
x x x f ，且{}784
.0=≥αX P ，则α=0.6 。

6、利用正态分布的结论,有
⎰
∞+∞
---=+-dx e x x x 2
)
2(22
)44(21
π
1 。

7、已知随机向量(X ,Y ）的联合密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ，则
E （Y )= 3/4 .
8、设（X ，Y )为二维随机向量，D （X ）、D (Y )均不为零。

若有常数a 〉0与b 使
{}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ—1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2,9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2， 13) .
10、设随机变量X ～N （1/2，2),以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P = 3/8 。

1、设A,B 为随机事件,且P （A)=0。

7，P （A －B ）=0。

3，则=⋃)(B A P 0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为6
1,31,41,51，则密码能被译出的概率是 11/24 .
5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}
423===X P X
P ，则λ= 6 .
6、设随机变量X ～ N (1， 4），已知Φ(0.5）=0。

6915,Φ（1.5)=0。

9332，则{}=<2X P 0.6247 。

7、随机变量X 的概率密度函数1
221)(-+-=
x x e
x f π
，则E （X ）= 1 .
8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑=n
i i X 1
2～)(2n x 。

9、设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=
-<λT P 2
a . 10、已知随机向量（X ,Y ）的联合密度函数⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,
),(y x xy y x f ，则
E (X ）= 4/3 。

1、设A ，B 为随机事件，且P （A)=0.6， P （AB ）= P (B A )， 则P (B ）= 0。

4 .
2、设随机变量X 与Y 相互独立,且5
.05
.011P
X -，
5
.05.01
1P
Y -,则P (X =Y )=_ 0.5_。

3、设随机变量X 服从以n ， p 为参数的二项分布,且EX =15，DX =10，则n = 45 。

4、设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6
4
4261)(+--
=
x x e
x f π
,则μ= 2 .
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX 〉0都存在，令DX
EX X Y
/)(-=,则D Y= 1 。

6、设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布,Y 服从5=λ的指数分布，且X ，Y 相互独立，则(X , Y ）的联合
密度函数f （x , y )= ⎩⎨
⎧≥≤≤-其它
,505y x e y。

7、随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y ）=2,则D (3X －2Y ）＝ 44。

8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ～ N (0， 1）的简单随机样本，则∑=-n
i i X X 1
2)(服从的分布为)1(2-n x 。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3
1
,41,51,则目标能被击中的概率是3/5 。

10、已知随机向量（X ， Y )的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0
,10,4),(2y x xe y x f y ,
则E Y = 1/2 .
1、设A,B 为两个随机事件，且P(A)=0。

7， P(A-B)=0。

3,则P(AB )=__0。

6 __。

2、设随机变量X 的分布律为2
12
110
p
X ，且X 与Y 独立同分布，则随机变量Z ＝max{X ，Y }的分布律为4
34110
P
Z。

3、设随机变量X ~N （2，2σ)，且P ｛2 < X 〈4｝＝0.3，则P {X 〈 0｝＝0。

2 。

4、设随机变量X 服从2=λ泊松分布,则{}1≥X P =21--e 。

5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为
)2
(21y
f X -. 6、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0。

4，则=)(X D 2.4 。

7、X 1，X 2,…，X n 是取自总体()2
,σ
μN 的样本，则
2
1
2
)(σ∑=-n
i i
X X
～)1(2-n x 。

8、已知随机向量（X , Y ）的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0
,10,4),(2y x xe y x f y ,则E X = 2/3 .
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9、称统计量θθ为参数ˆ的 无偏 估计量，如果)(θ
E =θ。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。

1、设A 、B 为两个随机事件,若P （A)=0。

4，P （B ）=0.3，6.0)(=⋃B A P ,则=)(B A P 0.3 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(2X E 18.4 。

3、设随机变量X ~N （1/4，9)，以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“4/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 5/16 。

4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P(X =2）=P （X =4），则λ=32。

5、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ E =θ 。

6、设)(~),1,0(~2n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则
~n Y
X
t(n) 。

7、若随机变量X ～N （3,9)，Y ～N （－1，5），且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －2Y ＋2，则Z ~ N (7，29) 。

8、已知随机向量(X ， Y )的联合概率密度⎩
⎨
⎧>≤≤=-其它
00,10,
6),(3y x xe y x f y ，则
E Y = 1/3 。

9、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212
σμ是来自总体X 的样本，要检验2
2
σσ=：o H ，则采用的统计量是
20
2
)1(σ
S n -。

10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布,若{}αλ=>T P ，则{}=<λT P 2
1a -
. 1、设A 、B 为两个随机事件,P （A)=0.4, P （B ）=0.5，7.0)(=B A P ，则=)(B A P 0。

55 。

2、设随机变量X ～ B （5, 0.1),则D （1－2X )＝ 1.8 。

3、在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为
64
37
，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。

4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望E X = 2。

3。

5、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于－1.
6、设(X , Y ）的联合概率分布列为
－1 0 4
－2 1/9 1/3 2/9
1
1/18
a b
若X 、Y 相互独立,则a = 1/6 ,b = 1/9 。

7、设随机变量X 服从［1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2 。

8、三个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为3
1
,41,51，则密码能被译出的概率是3/5 。

9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则
S
n
X )(μ-～ t （n —1） 。

10、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <,则称1ˆθ比2ˆθ 有效 。

1、已知P （A ）=0。

8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P （B) ＝ 3/8 。

2、设随机变量X ～N (1，4），且P ｛ X
a ｝= P ｛ X
a ｝，则a ＝ 1 。

3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布，21)1()1(=
-==-=Y P X P ，2
1
)1()1(====Y P X P ，则()0.5P X Y ==.4、已知随机向量(X , Y ）的联合分布密度⎩
⎨⎧≤≤≤≤=其它01
0,104),(y x xy y x f ，则EY = 2/3 。

5、设随机变量X ~N (1,4),则{}2>X P ＝ 0.3753 。

（已知
(0.5)=0。

6915，（1。

5)=0。

9332）
6、若随机变量X ～N （0,4)，Y ～N (－1，5）,且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X ＋Y －3,则Z ～ N (－4，9） .
7、设总体X ～N （1，9)，n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本,2 ,S X 分别为样本均值与样本方差，则
∑=-n i i X X 12~)(912(8)χ；；∑=-n i i
X 1
2
~)1(9129χ（）。

8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X P ，则λ= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中,把符合H 0的总体判为不合格H 0加以拒绝,这类错误称为 一错误；把不符合H 0的总体当作符
合H 0而接受.这类错误称为 二 错误。

1、设A 、B 为两个随机事件，P (A ）=0。

8，P (AB)=0。

4,则P （A －B ）= 0。

4 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则=)(X D 2。

4 。

3、设随机变量X 的概率分布为
则{}12≥X P = 0。

7 。

4、设随机变量X 的概率密度函数1
22
1)(-+-=
x x
e x
f π
,则)(X D =
2
1 。

5、袋中有大小相同的黑球7只,白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取,记首次抽到黑球时抽取的次数为X ，
则P {X ＝10｝＝ 0.39＊0。

7 。

6、某人投篮，每次命中率为0。

7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是14453.07.0⨯⨯C .
7、设随机变量X 的密度函数2
)2(2
21
)(+-=
x e x f π
,且{}{}c X P c X P ≤=≥，则c = —2 。

8、已知随机变量U = 4－9X ，V = 8＋3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ＝1,则U 与V 的相关系数UV ρ＝－1。

9、设)(~),1,0(~2n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则
~n Y
X t （n)
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。

1、随机事件A 与B 独立，===)(5.0)(,7.0)(B P A P B A P 则，
0。

4 。

2、设随机变量X 的概率分布为则X 2
的概率分布为
3、设随机变量X 服从[2，6]上的均匀分布，则{}=<<43X P 0。

25 。

4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0。

4，则2EX =_18。

4__.
5、随机变量)4,(~μN X ，则~2
μ
-=
X Y
N(0，1) 。

6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击
中的概率是 59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是
81
80
，则袋中白球的个数是 4 。

8、已知随机变量U = 1＋2X ，V = 2－3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ ＝－1，则U 与V 的相关系数UV ρ ＝ 1 .
9、设随机变量X ～N （2，9)，且P{ X a ｝= P ｛ X
a ｝,则a ＝ 2 。

10、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量,如果)(θ
E = θ
二、选择题
1、设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）.
Ａ. )(1)(B P A P -= B 。

)()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ. 1)(=AB P
2、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A )。

A. 2242
B. 24
1
2C C C. 24!2P D 。

!4!
2
３、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D )。

A. )2(2y f X -
B. )2(y f X -
C. )2
(21y
f X -- D 。

)2(21y f X -
４、设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ B )。

A 。

⎰-=-a
dx x f a F 0
)(1)( B. ⎰-=-a dx x f a F 0
)(21
)( C. )()(a F a F =- D 。

1)(2)(-=-a F a F
５、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则；，
发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A 。

)(y Φ
B ．)4
80
(
-Φy C ．)8016(+Φy D ．)804(+Φy １、设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ,则必有（ A ）。

A 。

)()(A P
B A P =⋃ B. B A ⊃
C 。

)()(B P A P =
D 。

)()(A P AB P =
２、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是
（ C ）.
A 。

34
3）（ B 。

4
14
32⨯）（ C. 4
34
12⨯）（ D. 224
4
1C ）（ 3、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A ）。

A 。

121122X X μ=
+ B 。

121233X X μ=+ C. 121344
X X μ=+ D. 1223
55X X μ=+
4、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则。

，
发生；事件且()0.1P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i
X
Y ，则由中心极限定
理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）.
A 。

)(y Φ
B ．10
(
)3
y -Φ C ．(310)y Φ+ D ．(910)y Φ+ 5、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。

A 。

)(~/21
n t n X -； B. )1,(~)1(4112
n F X n i i ∑=-； C 。

)1,0(~/21N n
X -； D. )(~)1(41212n X n i i χ∑=-； １、已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（A)。

A 。

C
B A B 。

ABC
C 。

A +B +C
D 。

ABC
２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

A 。

∞<<-∞+=x x x F ,11)(2
B 。

⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0
100)(x x
x x x F
C. ∞<<-∞=-x e x F x ,)(
D. ∞<<∞-+=
x arctgx x F ,21
43)(π
3、),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是( D )
A. )()()(Y E X E XY E =
B. )()()(Y D X D Y X D +=+
C. )()()(Y D X D Y X D +=-
D. X 和Y 相互独立
4、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.2P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B )。

A. )(y Φ B ．20
(
)4
y -Φ C ．(1620)y Φ- D ．(420)y Φ- 5、设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ,样本方差为2s ， 则下
列各式中不是统计量的是( C ）.
A. X 2 B 。

22
σ
s
C.
σ
μ
-X D 。

2
2
)1(σs n -
1、若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ B ）。

A 。

)()(
B P A P + B 。

)()()()(B P A P B P A P -+ C. )()(B P A P D. )()(B P A P +
2、设总体X 的数学期望E X ＝μ，方差D X ＝σ2
，X 1，X 2，X 3，X 4是来自总体X 的简单随机样本,则下列μ的估计
量中最有效的是（ D ）
123312312341234
1111111
A.
B. 663333334111111
C.
D. 55554444
X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.3P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．
Φ C ．30
()21y -Φ D ．(30)y Φ-
4、设离散型随机变量的概率分布为10
1
)(+=
=k k X P ，3,2,1,0=k ，则)(X E ＝（ B ）。

A 。

1.8 B. 2 C. 2。

2 D. 2.4
5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A 。

1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。

B 。

1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。

C. 设α=}|{00真拒绝H H P ，β=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β变小。

D. α、β的意义同（C ）,当样本容量一定时,α变大时则β变小。

1、若A 与B 对立事件,则下列错误的为（ A ）。

A 。

)()()(
B P A P AB P = B 。

1)(=+B A P C. )()()(B P A P B A P +=+ D 。

0)(=AB P
2、下列事件运算关系正确的是（ A ）.
A 。

A
B BA B += B 。

A B BA B +=
C 。

A B BA B +=
D 。

B B -=1
3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.4P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极
限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A 。

)(y Φ
B ．
Φ C ．(40)y Φ- D ．40
()24y -Φ
4、若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。

A. X 和Y 相互独立
B 。

X 与Y 不相关
C 。

)()()(Y
D X D XY D = D. )()()(Y D X D Y X D +=+
5、若随机向量(Y X ,)服从二维正态分布,则①Y X ,一定相互独立; ② 若0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X
和Y 都服从一维正态分布;④若Y X ,相互独立,则
Cov (X , Y ） =0。

几种说法中正确的是（ B ）.
A. ① ② ③ ④
B. ② ③ ④
C. ① ③ ④
D. ① ② ④
1、设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(,则)(B A P ＝( C ）.
A. q p )1(-
B. pq
C. q
D.p
2、设A ，B 是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. )()()(B P A P AB P =，其中A ,B 相互独立
B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P
C 。

)()()(B P A P AB P =，其中A ,B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.5P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B )。

A 。

)(y Φ
B ．50(
)5y -Φ C ．(50)y Φ- D ．50
()25
y -Φ 4、设随机变量X 的密度函数为f (x ），则Y = 5 — 2X 的密度函数为（ B )
1515
A. ()
B. ()22221515
C. ()
D. ()
2222
y y f f y y f f ---
--++--- 5、设xx x n
12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

A.
∑=--n
i i x x n 1
2
)(1
1
B 。

∑=--n i i x x n 12
)(11 C 。

∑=-n i i x x n 12)(1 D 。

∑=-n i i x x n 1)(1 1、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。

A. )()()(B P A P B A P =
B. 0)(=AB P
C. )|()|(A B P B A P = D 。

)()|(B P B A P =
2、若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（D ）。

A 。

相互对立 B. 相互独立 C 。

互不相容 D.相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨
⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.6P A =,10021X X X ，，， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（B )。

A. )(y Φ B
．Φ C ．(60)y Φ- D ．60
()24y -Φ
4、设随机变量X ～N （μ，81)，Y ～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。

A 。

p 1<p 2 B. p 1＝p 2 C 。

p 1>p 2 D. p 1与p 2的关系无法确定
5、设随机变量X 的密度函数为f （x )，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B )
1717
A. ()
B. ()55551717
C. ()
D. ()
5555
y y f f y y f f ---
--++--- 1、对任意两个事件A 和B , 若0)(=AB P ， 则( D )。

A 。

φ=AB
B 。

φ=B A
C 。

0)()(=B P A P
D 。

)()(A P B A P =-
2、设A 、B 为两个随机事件，且1)(0<<A P ，1)(0<<B P , )|()|(A B P A B P =， 则必有（ B ）.
A 。

)|()|(
B A P B A P =
B 。

)()()(B P A P AB P = C. )()()(B P A P AB P ≠
D 。

A 、B 互不相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.7P A =,
10021X X X ，，， 相互独立.令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限
定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B ）。

A. )(y Φ B
．Φ C ．(70)y Φ- D ．70
()21y -Φ
4、已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[－1,3]和［2,4］上服从均匀分布，则=)(XY E （ A ）。

A 。

3 B. 6 C. 10 D. 12
5、设随机变量X ～N （μ，9），Y ～N （μ，25），记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）.
A. p 1<p 2 B 。

p 1＝p 2 C. p 1>p 2 D 。

p 1与p 2的关系无法确定
1、设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生,则（ A )。

A. )()(21A P A A P ≤
B. )()(21A P A A P ≥ C 。

)()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P =
2、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。

A. )23(21---
y f X B. )23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )2
3
(21+-y f X 3、两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是( C ）。

A 。

EXEY EXY = B. EY EX Y X E +=+)( C 。

DXDY DXY = D. DY DX Y X D +=+)(
4、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩
⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.9P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．90(
)3y -Φ C ．(90)y Φ- D ．90
()9
y -Φ 5、设总体X 的数学期望E X ＝μ，方差D X ＝σ2
,X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列μ的估计量
中最有效的是（ B ）
123123
123123
111111
A.
B. 424333
342121C. D. 555662
X X X X X X X X X X X X +++++-++ 1、若事件321,,A A A 两两独立,则下列结论成立的是（ B ）.
A 。

321,,A A A 相互独立
B 。

321,,A A A 两两独立
C. )()()()(321321A P A P A P A A A P = D 。

321,,A A A 相互独立
2、连续型随机变量X 的密度函数f （x ）必满足条件（ C )。

A. 0() 1
B.
C. () 1
D. lim ()1
x f x f x dx f x +∞
-∞
→+∞
≤≤==⎰
在定义域内单调不减
3、设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ,分布函数分别为
)(1x F 和)(2x F ，则( B ）。

A. )()(21x f x f +必为密度函数
B. )()(21x F x F ⋅必为分布函数
C 。

)()(21x F x F +必为分布函数 D. )()(21x f x f ⋅必为密度函数
4、设随机变量X ， Y 相互独立,且均服从［0，1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( B ）。

A . X Y
B . （X ， Y ）
C . X — Y
D 。

X + Y
5、设)(x Φ为标准正态分布函数，
, ,2, 1, 0A
,1n i X i =⎩
⎨⎧=否则，发生事件且()P A p =,12n X X X ，，，相互独立.令1n
i i Y X ==∑，则由中心极限定理
知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ).
A 。

)(y Φ B
．Φ C ．()y np Φ- D ．(
)(1)y np np p -Φ-
三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,第二、第三厂家相
等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少?
解 设i A 表示产品由第i 家厂家提供，i =1, 2， 3；B 表示此产品为次品.
则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)(|) ()()(|)()(|)()(|)
P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++＝1
0.0220.41110.020.020.04244
⨯=⨯+⨯+⨯
答:该件商品是第一产家生产的概率为0。

4。

三（6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品,加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0。

01。

现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率;（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？
解：设1A ，2A ,3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。

(1）所求事件的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=
（2)221()(|)0.350.02
(|) = 0.38 ()0.0185
P A P B A P A B P B ⨯=
≈
答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三(7）、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B.加工零件A 时停机的概率是0.3，加工零件A
时停机的概率是0。

4.求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发 生停机的概率。

解：设1C ，2C ，表示机床在加工零件A 或B ，D 表示机床停机。

（1)机床停机夫的概率为
1122()().(|)().(|)P B P C P D C P C P D A =+1211
0.30.43330
=⨯+⨯=
(2）机床停机时正加工零件A 的概率为
1111
0.3
().(|)3
3(|) = 11()1130
P C P D C P C D P D ⨯==
三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的
零件合格率依次为94％，90％，95％.现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解 设1A ,2A ,3A 表示由甲乙丙三机床加工，B 表示此产品为废品。

（2分）
则所求事件的概率为
111131
(|)()(|)(|) ()()(|)i i
i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝1
0.06320.50.060.30.100.20.057
⨯=⨯+⨯+⨯
答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30%、50％，乘
坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。

已知该人误期到达,求他是乘坐火车的概率. （10分)
解:设1A ,2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B 表示误期到达。

则222241
(|)()(|)(|) ()()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==
=∑＝0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1
⨯=⨯+⨯+⨯+⨯
答：此人乘坐火车的概率为0。

209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15％、30%、50％,乘
坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。

求该人如期到达的概率。

解：设1A ，2A ,3A ,4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B 表示如期到达。

则4
1
()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=
答：如期到达的概率为0.785。

四（1)设随机变量X 的概率密度函数为 , 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩，
其它
求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x ）； （3） P (0。

5 < X <2 ）。

解： 1
21001 ()| 1 22
2
A A f x dx Axdx x A +∞
-∞=====⎰⎰（）
2020 ()()0 01 ()()2
1 ()()x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰
⎰⎰（）当时，当时，当时，1022 1 0, 0
(), 0 1
1, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
⎰故
（3) P （1/2<X<2）=F(2)—F(1/2）=3/4
四（2）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
求(1）k ；(2）分布函数F （x ）； （3）P (1.5 <X 〈2.5）
解：2
22
00(1) ()(1)()|22 1 2
1/2
k f x dx kx dx x x k k +∞
-∞=+=+=+==-⎰
⎰ 2
020 ()()0 02 ()()(0.51)
4
2 ()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<==-+=-+≥==⎰
⎰
⎰⎰
（）当时，当时，当时，2 0, 0
(), 02
41, 2
x x
F x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩故
(3） P （1.5〈X 〈2.5）=F （2。

5）—F （1。

5)=1/16
四（3)、已知连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
,010
,)(x x a x f
求（1）a ；(2）X 的分布函数F （x )；（3）P ( X 〉0.25).
⎩⎨
⎧≤≤+=其它
,020
,1)(x kx x f
解：1
02
(1) () 1 3
3/2
f x dx a a +∞
-∞====⎰
⎰
3/2020 ()()0 01 ()()
1 ()() 1 x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰
⎰
⎰
（）当时，当时，当时，3/2 0, 0
(), 01
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
（3） P （X>1/4）=1—F （1/4）=7/8
四(4)、已知连续型随机变量X 的概率密度为 ⎩
⎨
⎧∈=其它 ,0),0(
,2)(A x x x f 求（1）A ；（2）分布函数F （x ）;（3）P （－0。

5 < X 〈1）。

）
解：
20
(1) ()2 1
1
A
f x dx xdx A A +∞
-∞
====⎰
⎰
2020 ()()0 01 ()()2
1 ()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰
⎰⎰
（）当时，当时，当时，2 0, 0
(), 0 1
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
(3) P （-0。

5〈X<1）=F(1)—F(-0。

5）=1
四（5)、已知连续型随即变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-=其它 ,01 ,1)(2
x x c
x f
求(1）c ； （2）分布函数F （x )；（3) P (-0.5 < X < 0。

5）。

解：
1
111
(1) ()
arcsin | 1
1/
f x dx c x c c ππ+∞
--∞
-=====⎰
⎰
121 ()()0 1
11 ()()arcsin |
1
(arcsin 2
x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt t x π
π
π
-∞--∞-<-==-≤<===
=
+
⎰
⎰
⎰
（）当时，当时，)
1 ()() 1
0, 1
1 ()(arcsin ), 12x x F x f t dt x F x x x ππ
-∞
≥==<-=+≤<⎰
当时，故－ 1
1, 1
x ⎧⎪⎪
⎨⎪≥⎪⎩
(3） P （—0.5〈X<0.5）=F(0.5)—F （-0.5)=1/3
四（6）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧
>+=-其它
,00
,)(22
x Be A x F x
求（1）A ,B ； (2）密度函数f (x )；（3）P (1<X 〈2 ）。

解:0
(1) lim () 1
lim ()0 1
x x F x A F x A B B +
→+∞
→===+==-
2
/22, 0
() ()
0, 0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩
（）
（3) P （1<X<2）=F(2)—F （1）=22/1---e e
四（7）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
x B A x F arctan )(+=
求(1）A ，B ； （2)密度函数f (x );（3）P (1<X <2 ）。

解：(1) lim () 1 2
lim ()0
2
A 1/2, 1/
x x F x A B F x A B B π
π
π→+∞
→-∞
=+
==-
===
221
() ()
(1)
f x F x x π'==
+（）
（3) P （0〈X<2）=F(2）—F （0）=
2arctan 1
π
四（8)、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1 ,110 ,0
,0)(x x x A x x F
求（1）A ； （2)密度函数f (x )；(3）P (0< X < 0。

25 ）。

解：
1
(1) lim () 1
1
x F x A A →==
=21 () () 0, x f x F x <<'==⎩
（）
其他 （3) P （0<X 〈0.25）=1/2
四（9）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧
≤>-=2
,02
,1)(2x x x
A x F 求（1）A ； （2）密度函数f （x ）；（3)P （0 ≤ X ≤ 4 ）。

、解:
2
(1) lim ()1/40
4
x F x A A →=-==328, 2
() () 0, 2
x f x F x x x ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩（）
(3） P （0<X 〈4)=3/4
四（10）、已知连续型随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩
⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(
,2)(2
a x x
x f π 求（1）a ； （2）分布函数F (x ）；(3）P （－0。

5 < X < 0.5 ）。

解：202(1) () 1 a x f x dx dx a ππ+∞-∞===⎰⎰222020 ()()0
2 0 ()()
()() 1 x
x
x
x x F x f t dt t x
x F x f t dt dt x F x f t dt πππ
π-∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，22 0, 0
(), 0
1, x x
F x x x πππ
<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故 （3） P （-0.5<X<0。

5)=F （0.5）—F （-0。

5)=
2
41π
五（1）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1，L 2并联而成，且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指
数分布。

求系统L 的寿命Z 的密度函数.
解:令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统L 的寿命Z ＝max (X ， Y )。

显然，当z ≤0时，F Z （z ）＝P （Z ≤z )＝P (max (X , Y ）≤z ）＝0；
当z >0时，F Z (z )＝P （Z ≤z )＝P (max （X , Y ）≤z ）
＝P (X ≤z , Y ≤z )＝P (X ≤z )P (Y ≤z )＝dy e dx e z
y z
x ⎰⎰--0
βαβα＝)1)(1(z z e e βα----.
因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为
f Z (z ）＝⎩⎨⎧≤>+-+=+---0
0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d
z z z Z βαβαβαβα
五（2）、已知随机变量X ～N （0,1），求随机变量Y ＝X 2
的密度函数。

解:当y ≤0时,F Y （y ）＝P （Y ≤y ）＝P （X 2
≤y )＝0；
当y 〉0时，F Y （y ）＝P (Y ≤y ）＝P （X 2
≤y ）＝)(y X y P ≤≤-
＝dx e dx e x
y
x
y
y
2
/0
2
/2
2
21221---⎰
⎰
=π
π
因此,f Y (y ）＝⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-
0. 0,0, , 2)(2
/y y y e y F dy d y Y π
五(3）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1、L 2串联而成,且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数
分布。

求系统L 的寿命Z 的密度函数。

解：令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统L 的寿命Z ＝min （X , Y ).
显然，当z ≤0时,F Z (z ）＝P （Z ≤z )＝P (min （X ， Y )≤z ）＝0；
当z >0时,F Z （z )＝P （Z ≤z ）＝P (min （X ， Y )≤z )＝1－P (min （X ， Y )〉z )
＝1－P （X >z , Y >z )＝1－P （X >z ）P （Y >z ）＝dy e dx e
z
y z x
⎰⎰+∞
-+∞
--βαβα1＝z e )(1βα+--。

因此,系统L 的寿命Z 的密度函数为
f Z （z )＝⎩
⎨⎧≤>+-=+-0 0,0 ,)()()(z z e z F dz d
z Z βαβα
五（4）、已知随机变量X ～N （0，1），求Y ＝|X |的密度函数。

解:当y ≤0时,F Y (y )＝P （Y ≤y ）＝P (|X |≤y )＝0；
当y 〉0时，F Y （y ）＝P (Y ≤y ）＝P (|X ｜≤y )＝)(y X y P ≤≤-
＝dx e dx e
x
y
x y
y
2
/0
2
/2
221221----⎰
⎰
=π
π
因此，f Y (y )＝⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=- 0. 0,0, 2)(2
/2y y e
y F dy d y Y π
五（5）、设随机向量(X ，Y ）联合密度为
f (x , y ）= ⎩⎨⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)32(其它y x Ae y x
（1） 求系数A ;
(2) 判断X ，Y 是否独立,并说明理由；
（3） 求P ｛ 0≤X ≤2,0≤Y ≤1}.
解：（1）由1＝dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰+∞
-+∞-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞
-⋅==0
30
2)32(0
),(＝,6
)3
1)(2
1
(0
30
2A e e A y
x
=
--+∞
-+∞
- 可得A ＝6。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
f X （x ）＝⎩⎨⎧>-.
,0; 0 ,22其它x e x 和 f Y (y )＝ ⎩⎨⎧>-. ,0;
0 ,33其它y e y ，
则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X （x ）＊ f Y （y ），所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤2,0≤Y ≤1}＝dy e dx e dxdy e y x y x ⎰⎰⎰
⎰
--+-⋅=1
320
2)32(20
1
326
＝).1)(1())((341
032
02------=--e e e e y x
五（6）、设随机向量（X ，Y )联合密度为
f (x , y )= ⎩⎨⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)43(其它y x Ae y x
（1) 求系数A ；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由；
（3） 求P { 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}。

解：(1)由1＝dy e dx e
A dxdy e
A dxdy y x f y x
y x ⎰⎰⎰⎰
⎰⎰+∞
-+∞
-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞-⋅==0
40
3)
43(0
),(
＝,12
)4
1)(3
1
(0
40
3A
e e A y
x
=
--+∞
-+∞
- 可得A ＝12。

（2）因(X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
f X （x ）＝⎩⎨⎧>-.
,0;
0 ,33其它x e x 和 f Y (y ）＝ ⎩⎨⎧>-. ,0; 0 ,44其它y e y ，
则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y （y )，所以X 与Y 独立。

（3)P { 0≤X ≤1,0≤Y ≤1｝＝dy e dx e dxdy e
y x y x ⎰⎰⎰
⎰+∞
-+∞
-+-⋅=0
40
3)
43(101
4312 ＝).1)(1())((431
41
3------=--e e e
e y x
五(7）、设随机向量（X ,Y ）联合密度为
f (x , y )= ⎩
⎨⎧≤≤≤. ,0; 10
,6其它y x x
(1） 求（X ，Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ），f Y （y )；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由.
解：（1）当x <0或x 〉1时，f X （x )＝0；
当0≤x ≤1时，f X （x )＝).1(66),(1
x x xdy dy y x f x
-==⎰⎰+∞
∞
-
因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度f X （x )＝⎩⎨⎧≤≤-.
,0,
10 ,662其它x x x
当y 〈0或y >1时，f Y (y )＝0；
当0≤y ≤1时，f Y (y )＝.3|36),(20
20
y x xdx dx y x f y
y
===⎰⎰+∞
∞
- 因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y （y )＝⎩⎨⎧≤≤.
,0,
10 ,32其它y y
（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而f X (1/2） f Y （1/2)＝(3/2）*（3/4)＝9/8≠f （1/2, 1/2），
所以，X 与Y 不独立。

五(8）、设二维随机向量(X ，Y ）的联合概率密度为
f （x , y )=⎩⎨⎧<<-.
,0;
0 ,其它y x e y
（1) 求（X ，Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ）,f Y (y )；
（2） 判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由。

解：(1)当x ≤0时，f X （x ）＝0；
当x 〉0时,f X (x ）＝.),(x x
y e dy e dy y x f -+∞
-+∞
∞
-==⎰⎰
因此，（X ，Y )关于X 的边缘概率密度f X （x ）＝⎩⎨⎧>-.
,0,
0 ,其它x e x
当y ≤0时,f Y (y )＝0;
当y 〉0时，f Y (y ）＝.),(0
y y
y ye dx e dx y x f --+∞
∞
-==⎰⎰
因此，（X ,Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y (y )＝⎩⎨⎧>-.
,0,
0 ,其它y ye y
(2)因为f （1, 2)＝e —2
，而f X (1） f Y （2）＝e -1
＊2e —2
＝2 e —3
≠f (1， 2)，
所以，X 与Y 不独立。

五（9)、设随机变量X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧>=-其它,00
,)(x e x f x
设F （x ）是X 的分布函数，求随机变量Y =F （X )的密度函数。

解：当y <0时，F Y （y ）＝P （Y ≤y )＝P （F （X )≤y ）＝0;
当y 〉1时，F Y （y ）＝P (Y ≤y ）＝P （F （X )≤y ）＝1；
当0≤y ≤1时,F Y （y ）＝P (Y ≤y ）＝P （（F （X )≤y ）＝))((1y F X P -≤
＝y y F F =-))((1
因此，f Y (y )＝⎩
⎨⎧≤≤= . 0,,10 ,1)(其它y y F dy d
Y
五（10）、设随机向量（X ,Y )联合密度为
f (x ， y )= ⎩⎨
⎧≤≤≤.
,0; 10
,8其它y x xy
（1)求（X ,Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ）,f Y （y ）；
（2）判断X ,Y 是否独立，并说明理由。

解：(1）当x 〈0或x 〉1时，f X (x )＝0;
当0≤x ≤1时,f X （x )＝).1(4|48),(2121
x x y x xydy dy y x f x x
-=⋅==⎰⎰+∞
∞
-
因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度f X (x ）＝⎩⎨⎧≤≤-.
,0,
10 ,443其它x x x
当y 〈0或y 〉1时,f Y (y ）＝0；
当0≤y ≤1时，f Y （y ）＝.4|48),(30
20
y x y xydx dx y x f y
y
=⋅==⎰⎰+∞
∞
- 因此，(X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y （y )＝⎩⎨⎧≤≤.
,0,
10 ,43其它y y
（2）因为f (1/2， 1/2）＝2,而f X （1/2) f Y （1/2)＝(3/2）*（1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)，
所以，X 与Y 不独立。

六（1）、已知随机向量（X ，Y )的协方差矩阵V 为7 66 9⎛⎫
⎪⎝⎭
求随机向量(X ＋Y ， X -Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵.
解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov （X ， Y ）=7+9+2*6=28
D （X —Y ）= DX +DY —2Cov （X , Y )=7+9—2*6=4
Cov(X +Y , X —Y ）= DX -DY =7—9= -2
28
14
*282)
()(),(,-=
-=
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X ＋Y ， X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和
⎛ ⎪⎪⎭
六(2）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为9 22 1⎛⎫
⎪⎝⎭
求随机向量(X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X +Y ）= DX +DY +2Cov(X , Y ）=9+1+2＊2=14
D （X —Y ）= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+1-2*2=6
Cov （X +Y ， X —Y ）= DX -DY =9—1=8
21
46
*148)
()(),(,==
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以,（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 14 88 6⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和
⎛ ⎪
⎪⎭
六（3）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 9 66 6⎛⎫
⎪⎝⎭
－－
求随机向量（X —Y , X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D （X -Y )= DX +DY —2Cov(X ， Y )=9+6-2＊（-6）=27
D (X +Y )= DX +DY +2Cov （X ， Y )=9+6+2＊（—6)=3
Cov （X —Y ， X +Y ）= DX —DY =9-6= 3
31
3*273
)
()(),(,==
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以,（X —Y , X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 27 33 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和 11
31 13
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
六（4）、已知随机向量（X ，Y )的协方差矩阵V 为 4 55 9⎛⎫
⎪⎝⎭
－－
求随机向量(X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵.
解：D （X —Y )= DX +DY —2Cov(X ， Y ）=4+9-2*（—5）=23
D （X +Y )= DX +DY +2Cov （X ， Y ）=4+9+2*(-5）=3
Cov(X -Y ， X +Y ）= DX -DY =4—9= -5
69
53
*235)
()(),(,-=-=
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 23 -5-5 13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和
⎛ ⎪
⎪⎭
六(5）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 1 11 4⎛⎫ ⎪⎝⎭
－
－
求随机向量（X —Y , X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X —Y )= DX +DY -2Cov(X ， Y ）=1+4—2*（-1）= 7
D (X +Y ）= DX +DY +2Cov （X ， Y )=1+4+2*(-1)=3
Cov （X —Y , X +Y ）= DX —DY =1-4= -3
21
33
*73)
()(),(,-=-=
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以,（X -Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -3-3 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和
⎛ ⎪
⎪⎭
求随机向量（X ＋Y , X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=5+4+2*2=13
D （X -Y ）= DX +DY -2Cov （X ， Y ）=5+4-2＊2=5
Cov （X +Y , X —Y ）= DX —DY =5—4=1
65
15
*131)
()(),(,==
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
七(1)、设总体X 的概率密度函数是 1, 01
(;)0, x x f x a αα-⎧<<=⎨
⎩其它
其中0α>为未知参数。

12, , , n x x x 是一组样本值，求参数α的最大似然估计。

解：似然函数1
1
1
1
n
n
n
i
i
i i L x x αααα--===∏=∏ 1
ln ln (1)ln n
i i L n x αα==+-∑
1
ln ln 0n
i i d L n x d αα==+=∑ 1
ˆln n
i
i n
x
α==-∑
七(3)、设总体X 的概率密度函数是 22exp{}, 0()0, x x x f x λλ⎧->=⎨⎩其它
λ>0为未知参数,123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计.
解：似然函数2
2
1
1
1
(2exp{})(2exp{})n
n
n
n
n i i i i i i i L x x x x λλλλ====∏-=∏-∑ 21
1
ln ln(2)ln n
n
i i i i L n x x λλ===+-∑∑
2
1
ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 21
ˆn
i
i n
x
α==∑
七(4）、设总体的概率密度函数是。