第02讲两条直线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

则点P的坐标是 13,0 .
−2+3
5−1
−1 ，
题型三：有关距离的最值问题
【对点训练5】（2023·全国·高二专题练习）过定点A的动直线 + = 0和过定点B的动直线 − − 2 + 1 = 0交于
点M，则 + 的最大值是（
A．2 2
B．3
）
C． 10
D． 15
2
题型四：点点对称
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 , 6 ， −2, ，点 2,3 是线段的中点，则 + =
【答案】6
【解析】由中点坐标公式知：2 =
−2
，3
2
解得： = 6， = 0，∴ + = 6.
故答案为：6.
+6
，
= ��
2
.
题型四：点点对称
0平行，则1 与2 间的距离是
【答案】
.
5
5
5
故答案为： .
5
【解析】∵两条直线1 : + 2 − 6 = 0与
【解题方法总结】
2 : + − 5 = 0平行,
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的
∴ − 2 × 1 = 0解得 = 2，
经检验 = 2时，2 : + 2 − 5 = 0,两直线不重合；
2+3
2+3
3 3+6
>0
2+3
6−2 3
>0
2+3
，
3
，
3
设直线l的倾斜角为θ，则tan >
π π
所以 ∈ ( 6 , 2 ).
3
，又
3
∈ [0, π)，
题型二：两直线的交点与距离问题
【对点训练2】（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点(, )在直线2 + − 5 = 0上，O是
+
2
【答案】C
则
= 5，
【解析】由题意知 + = 0过定点(0,0),
所以( + )2 =
动直线 − − 2 + 1 = 0即( − 2) − + 1 = 0过定点
≤ 2( 2 + 2 ) = 10，
(2,1)，
对于直线 + = 0和动直线 − − 2 + 1 = 0
B．2 2 + 1
A．3
−
C．2 3
D． 13
最小值为, ′间的距离 22 + 32 = 13.
故选：D.
【解析】 2 + 1 + 2 − 4 + 8
−0
+ − 2 可以转化为点 , 到点 , 的距离，则
）．
【答案】D
=
2
2
+ 0−1
2
+
−2
2
+ 0 − 2 2,
l3，l4满足的条件
A1B2－A2B1＝0且
___________________
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
______________
垂直
v1⊥v2
___________
k1·k2＝－1
______________
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2不共线
________
k1≠k2
______________
所以 = 2，
则1 与2 间的距离
−6+5
1+4
=
5
,
5
距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
【例3】（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很
多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
2 + 1 + 2 − 4 + 8的最小值为（
1
−
1+
⋅
1
−
2
= −1，
3
解之得 = − 2，所以B正确；
对C，1 : �� + 1 + = 1 − 过定点 2, −1 ，该定点在2
上，但是当 = 1时，1 与2 重合，所以C错误；
0 +0 +
2 +2
=
1−
12 + 1+ 2
故选：B.
【解题方法总结】
解之得 = 1，此时1 与2 重合，选项A错误；
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋
C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝ (A1，B1) ，
l4的法向量v2＝ (A2，B2) 的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件
3−
又由(0,0)，(3,0)，(0,3)，则△ 的重心为(1,1)，
由光的反射原理可知1 ，，，2 四点共成直线的斜率 = 3+，
设(, 0)，其中0 < < 3，点关于直线 的对称点1 (, )，
2025
高考一轮复习讲练测
第02讲 两条直线的位置关系
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考情分析
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂
高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内
直．
容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交
可以看作点 , 0 到点 0,1 , 2,2 的距离之和，
作点关于轴的对称点′ 0, −1 ，显然当, , ′ 三点共
线时，取到最小值，
题型三：有关距离的最值问题
【对点训练4】（2023·高二课时练习）已知点 1,3 , 5, −2 ，点P在x轴上使 − 最大，求点P的坐标．
当且仅当 = =
2
+
+ 2
10
时等号成立，
2
满足1 × + × (−1) = 0，
故 + 的最大值为 10，
故两直线垂直，
故选：C
因此点M在以为直径的圆上，|| = 22 + 12 = 5，
2
【解题方法总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
原点，则OP的最小值为（
A．2 2
B．2
）
C． 5
【答案】C
【解析】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线
2 + − 5 = 0的距离，
则 =
−5
22 +12
的交点与距离问题
【对点训练3】（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线1 : + 2 − 6 = 0与2 : + − 5 =
两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别
点坐标．
要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到
这两个考点．
稿定PPT
直线的距离公式，会求两条平行直线间的距
离．
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02
网络构建
03
知识梳理
题型归纳
1.两条直线的位置关系
0），则：
当1 2 − 2 1 ≠ 0时，直线1 , 2 相交；
当1 2 = 2 1 时，1 , 2 直线平行或重合，代回检验；
当1 2 − 1 2 = 0时，1 , 2 直线垂直，与向量的平行与
垂直类比记忆．
题型二：两直线的交点与距离问题
【例2】（2023·全国·高三专题练习）若直线: = − 3与直线2 + 3 − 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l的倾
常用结论
2.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为
(－y，－x).
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点
A1B2－A2B1≠0
A1C2－A2C1≠0
_________
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
2
2
x
－x

＋y
－y

2
1
2
1
②结论：|P1P2|＝____________________.
2
2
x
＋y
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝_________.


A．−10
B．−2
【答案】A
4−
【解析】因为1 //2 ，所以 = +2 = −2，
解得 = −8，又2 ⊥ 3 ，
1
所以 − × −2 = −1，
解得 = −2.所以 + = −10.
故选：A.
C．0
D．8
）
题型一：两直线位置关系的判定
1
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）直线1 : + 1 + = 1 − ∈ ，直线2 : = − 2 ，下列说法正确的是（
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且
m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系
方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
从点出发，经､反射后又回到点，如图，若光线经过△ 的重心，则 =（
3
3
A．2
B．4
C．1
D．2
【答案】C
解得
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得(3,0)，(0,3)，
故直线的方程为 + = 3，
）
=3
，即1 (3,3 − )，
= 3−
易得关于 轴的对称点2 (−, 0)，
故答案为：2 5
【解题方法总结】
求点(1 , 1 )关于点(0 , 0 )中心对称的点′(2 , 2 )，
= 20 − 1
由中点坐标公式得 2
2 = 20 − 1
题型五：点线对称
【例5】（2023·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形中， = = 3，点是边上异于、的一点，光线
A．∃ ∈ R，使得1 ∥ 2
B．∃ ∈ R，使得1 ⊥ 2
C．∀ ∈ R，1 与2 都相交
D．∃ ∈ R，使得原点到1 的距离为3
【答案】B
以D错误.
1
1
【解析】对A，要使1 ∥ 2 ，则1 ∥ 2 ，所以− 1+ = − 2，
对B，要使1 ⊥ 2 ，1 ⋅ 2 = −1，
【解析】点 1,3 关于x轴的对称点为′ 1, −3 ,
如图所示，若点不在直线′上
则 ′ − < ′ ,
连接′并延长交x轴于点P，
− = ′ − = ′
即为 − 最大值．
直线′的方程是 + 3 =
1
即 = 4 −
13
.
4
令 = 0，得 = 13．
为(x，2b－y).
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
题型一：两直线位置关系的判定
【例1】（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点(−2, )和点(, 4)的直线为l1，
1
1
2 : = −2 + 1, 3 : = − − . 若1 //2 , 2 ⊥ 3 ，则 + 的值为（
斜角的取值范围是（
A．
π π
,
6 3
）
B．
π π
,
6 2
π π
,
3 2
C．
D．
π π
,
6 2
【答案】D
= �� − 3
【解析】联立两直线方程，得
，
2 + 3 − 6 = 0
解得
3 3+6
= 2+3
6−2 3
= 2+3
因为两直线的交点在第一象限，所以
解得 >
，
所以两直线的交点坐标为(3 3+6 , 6−2 3).
【对点训练6】（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为 2, −1 ，
则线段的长度为
.
【答案】2 5
【解析】在平面直角坐标系中， ⊥ ，
则△ 为直角三角形，且为斜边，
故 = 2 = 2 22 + −1
2
= 2 5.
(2)点到直线的距离
|Ax0＋By0＋C|
2
2
A
＋B
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________.
(3)两条平行直线间的距离
|C1－C2|
2
2
A
＋B
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_______.
常用结论
1.直线系方程
对D， =
）
= 3，
化简得82 − 20 + 17 = 0，此方程Δ < 0，无实数解，所
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也
可以按照以下方法判断：一般地，设1 : 1 + 1 + 1 = 0
（1 , 1 不全为0），2 : 2 + 2 + 2 = 0（2 , 2 不全为