数列易错题带答案

1．若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ⋅-=+2007)1(，n
b n n 2008
)1(2+-+=，且n n b a <，对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是（）
A.[)1,2-
B.[)+∞-,2
C.[]1,2-
D.()1,∞-
2．已知等差数列{a n }的前n 项和是n a n S n 2
2182--=，则使2006-<n a 成立的最小正整数n 为（）
A.2009
B.2010
C.2011
D.2012
3．在数列{}n a 中，233,1411+==+n n a a a ，则使02<+n n a a 成立的n 值是（）
A.21
B.22
C.23
D.24
4．已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,
n =，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，且当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=（） A ．(21)n n - B ．2(1)n + C ．2n D ．2(1)n -
5．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
6．已知数列{}n a 的通项公式是32122-+-=n n a n ,其前n 项和是n S ,则对任意的m n >（其中*∈N n m ,*），m n S S -的最大值是.
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=。

8．设等比数列{}n a 的公比12
q =，前n 项和为n S ，则44S a =． 9．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩
当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所
有可能的取值为__________。

10．如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在
地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8410⨯米)
11
．已知(n x 的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n 的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
12．已知数列{n a }的前n 项和22n S n n =+,
（1）求数列的通项公式n a ；
（2）设21n n b a =-,且1223341
1111n n n T b b b b b b b b +=+++，求n T . 13．设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）设n
n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T 。

14．数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n n a x
b =，求证：对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e
＝2．71828⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T <2；
（3）正数数列{}n c 中，())(,*1
1N n c a n n n ∈=++．求数列{}n c 中的最大项。

15．数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3
n n a a s +==。

（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。

16．等差数列{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。

问n 为何值时n s 最大? 17．数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列。

（Ⅰ）求使32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；
（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2． 18．求=n S ++++++321121111…n
+++++ 3211． 19．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n
.
(Ⅰ)若首项132a =，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立
20．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j
i a a 两数中至少有一个属于A .
（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112n n n
a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列..
参考答案
1．A
【解析】
【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及n 是偶数时，要从2开始。

【正解】当n 是奇数时，由n n b a <得12a n
<-，1a <； 当n 是偶数时，由n n b a <得12a n
-<+，2,2a a -≤≥-， 因此常数a 的取值范围是[)1 ,2-.
2．B
【解析】
【错解分析】此题容易错选为A ，C ，D ，错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出1-=d 且21=a 。

【正解】设数列{}n a 的公差是d ，则n d a n d d n n na S n )2
(22)1(121-+=-+= n a n 2
2182--=，212-=d 且27221
81d a a d a +-=-=-，1-=d 且21=a ， 因此使2006-<n a 成立的最小正整数n =2010，选B.
3．A
【解析】
【错解分析】此题容易错选为B ，错误原因是没有理解该数列为等差数列。

【正解】由已知得321-=-+n n a a ，3
244)32)(1(14n n a n -=--+=，2+n n a a =3244n -·3
240n -<0，2220,0)22)(20(<<<--n n n ，因此21=n ，选A.
4．C
【解析】由25252(3)n
n a a n -⋅=≥得：6518532,2.a a a a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩再由0n a >得：33442,2.a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：12,2a q ==，所以2n n a =，221log 21n a n -==-，
22123221(121)log log log 2
n n n a a a n -+-+++== 5．B
【解析】由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即
433a =，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由100
n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =，选B
6．10
【解析】
【错解分析】此题容易错选认为求最大项。

【正解】由0)8)(4(32122>---=-+-=n n n n a n 得84<<n ，即在数列{}n a 中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且084==a a ，因此m n S S -的最大值是10343765=++=++a a a .
7．24
【解析】
{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
8．15 【解析】对于44
31444134(1)1,,151(1)
a q s q s a a q q a q q --==∴==-- 9．4532
【解析】（1）若1a m =为偶数，则
12a 为偶,故223 a 224
a m m a === ①当4m 仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=故13232
m m =⇒= ②当4m 为奇数时，4333114a a m =+=+63144m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=故31414
m +=得m=4。

（2）若1a m =为奇数，则213131a a m =+=+为偶数，故3312
m a +=必为偶数 63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以3116
m +=1可得m=5 10．可建一座桥
【解析】
【错解分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。

【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列n a ，则数列n a 是以31a =0.0510⨯米为首项，公比为2的等比数列。

从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a 51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为
4×108<5.63×1010故可建一座桥。

11．（1）8（2）537T x =，92
47T x =
【解析】
【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。

【正解】（1）由题设，得021
11C C 2C 42
n n n
+⨯=⨯⨯，即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．
（2）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22r r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥解得r ＝2或r ＝3．
所以系数最大的项为537T x =，92
47T x =． 12．（1）*,12N n n a n ∈+=（2）111
n T n =-+ 【解析】
【错解分析】（1）在求通项公式时容易漏掉对n=1的验证。

（2）在裂项相消求数列的和时，务必细心。

【正解】解:（1）∵S n =n 2+2n∴当2≥n 时，121+=-=-n S S a n n n
当n=1时，a 1=S 1=3，3112=+⨯=n a ,满足上式.
故*,12N n n a n ∈+=
（2）∵21n n b a =+,∴11(1)(211)22
n n b a n n =-=+-= ∴11111(1)1
n n b b n n n n +==-++ ∴12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++ 13．（1）42n a n =-124
n n b -= （2）1[(65)45]9
n n T n =-+ 【解析】
【错解分析】（1）求数列{}n a 的通项公式时，容易遗忘对n=1情况的检验。

（2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。

【正解】解：（1）当111,2;n a S ===时
故}{n a 的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.
设}{n b 的通项公式为.4
1,4,,11=∴==q d b qd b q 则
故.4
2}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 （2）,4)12(42
2411
---=-==n n n n n n n b a c 两式相减得：
14．（1）n a n =．（*
N n ∈）（2）见解析（3）323=c 【解析】
【错解分析】（1）对22n n n S a a =+的转化，要借助于n n a s 与的关系。

（2）放缩法是此题的难点。

【正解】解：(1)由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+①成立
∴21112n n n S a a ---=+（n ≥2）②
①--②得21122----+=n n n n n a a a a a
∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a
∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥2）
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列
又n =1时，21112S a a =+，解得1a =1∴n a n =．（*N n ∈）
（2）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2ln n n n a x b =≤21n ． ∴()n n n T n 113212*********
22-++⋅+⋅+<+++≤ （3）解：由已知221212=⇒==c c a ，
易得12234,...c c c c c <>>>
猜想n ≥2时，{}n c 是递减数列．令()()22ln 1ln 1,ln x
x x x x x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，
∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数．
由()1
1ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知． ∴n ≥2时，{}n c ln 是递减数列．即{}n c 是递减数列．
又12c c <，∴数列{}n c 中的最大项为323=c ．
15．2341416,,3927a a a ===()()2
1114233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩ 【解析】
【错解分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。

易得出数列{}n a 为等比数列的错误结论。

【正解】易求得2341416,,3927a a a ===。

由1111,3n n a a s +==得()1123
n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213
a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩。

16．故若l m +为偶数，当2
l m n +=
时，n s 最大。

当l m +为奇数时，当12
l m n +±=时n s 最大 【解析】
【错解分析】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。

【正解】由题意知n s =()()2111222n n d d f n na d n a n -⎛⎫=+
=+- ⎪⎝⎭此函数是以n 为变量的二次函数，因为1
0a >，当l m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当2l m x +=
时()f x 取得最大值，但由于n N +∈，故若l m +为偶数，当2
l m n +=时，n s 最大。

当l m +为奇数时，当12l m n +±=时n s 最大。

17．（Ⅰ）2510+<
<q （Ⅱ）23n S n =
【解析】
【错解分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。

再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。

使思维受阻。

【正解】解：（I ）∵数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，由32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 得
221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+⇒>++++，即012<--q q （0>q ），解得25
10+<<q ．
（II ）由数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，得q a a q a a a a n n n n n n =⇒=++++2121，这表明数列}{n a 的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又11=a ，22=a ，∴当1≠q 时，n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=-
)
()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= q
q q q a q q a n n n --=--+--=1)1(31)1(1)1(21， 当1=q 时，
21234212n n n
S a a a a a a -=++++++)
()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ．
18．21
n n S n =+ 【解析】
【错解分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。

【正解】由等差数列的前n 项和公式得2
)1(321+=++++n n n ，∴)1
11(2)1(23211+-=+=++++n n n n n ，n 取1，2，3，…，就分别得到3211,211,11+++，…，∴=n S )111(2)4131(2)3121(2)211(2+-++-+-+-n n
1
2)111(2+=+-=n n n ． 19．(Ⅰ)4k =(Ⅱ)见解析
【解析】
【错解分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。

还应进一步的由特殊到一般。

【正解】解：（I ）当1,231==
d a 时n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)2
1(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以. （II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S
=中分别取k=1,2,得 由（1）得.1011
==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时 若21
)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 , 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所 数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得
代入时 若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====
若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{a n }:a n =0，即0，0，0，…；②{a n }:a n =1，即1，1，1，…； ③{a n }:a n =2n －1，即1，3，5，…，
20．（1）该数集不具有性质P （2）见解析（3）见解析
【解析】
【错解分析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
【正解】（Ⅰ）由于34⨯与43
均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236
⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与n n
a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1n n a A a =∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<<，∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.
由A 具有性质P 可知
()1,2,3,,n k a A k n a ∈=.又∵121n n n n n n a a a a a a a a -<<<<， ∴211
211,,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a --====， 从而121121n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --=+++=++++，∴1211112n n n a a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有552343
,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，∵1251a a a =<<<，∴34245aa aa a >=，∴34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈.由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232
a a a a a ==，∴534224321
a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.。