高中数学第3章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定aa高一数学

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『规律方法』 两直线垂直与斜率的关系
对应 关系
l1 与 l2 的斜率都存在，分别为 k1，l1 与 l2 中的一条直线斜率不存
k2，则 l1⊥l2⇔斜截式：k1·k2＝－ 在，另一条直线斜率为零，则 l1
1；一般式：A1A2＋B1B2＝0.
⊥l2.
图示
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(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；
(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2．
其中正确说法的个数是
( B)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合，
(112/)8/(23021)正确．
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互动探究 学案 (tànjiū)
〔跟踪练习2〕
已知四点A(－4,2)、B(6，－4)、C(12,6)、D(2,12)，则下面(xià mian)四个结
论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号B 为
()
A．①③
B．①④
[
C．②③ 解析] 直线
AB、CD、BD、AC
D．②④ 的斜率都存62＝－35，kAC＝12－6－－2 4＝14，kBD＝12－2－－6 4＝－4，所以 kAB＝kCD，kACkBD
＝－1，即 AB∥CD，AC⊥BD．
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分类(fēn lèi)讨论思想
当直线上的点的坐标中含有未知参数时，参数取值的变化会导致直线位置 关系的变化，处理(chǔlǐ)问题时要根据参数的取值作分类讨论，分别考虑直线斜率 存在与不存在两种情况．
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命题(mìng tí)方向1 ⇨两直线平行关系的判断与应用
典例 1
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)、B(－3,5)，l2经过C(3，－3)、D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；
(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)、Q(0,5)；
对应关系 l1∥l2⇔斜截式：k1＝k2；一般式：A1B2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存
－A2B1＝0.
在．
图示
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〔跟踪练习1〕 已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试 判断直线l1与l2的位置(wèi zhi)关系．
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典例 3
0．
已知两条直线(zhíxiàn)l1：x＋(1＋a)y＋a－1＝0，l2：ax＋2y＋6＝
(1)若l1∥l2，求a的值． [解(析2)]若ll(⊥1)当l2，a求＝a－的1值时．，直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为12，l1 与 l2
( A)
②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直
线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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[解析] 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，故①不正确；当l1∥l2时，也可能 两直线的斜率均不存在，故②不正确；两直线的倾斜角不相等，则一定(yīdìng)相 交，故③正确；两直线也可能重合，故④不正确，故选A．
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1．已知直线 l1∥l2，直线 l2 的斜率 k2＝3，则直线 l1 的斜率 k1 等于
A．可能不存在
B．3
C．13
D．－13
[解析] ∵直线l1∥l2，且l1、l2的斜率(xiélǜ)存在，∴k1＝k2＝3．
( B)
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2．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
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新课标导学
数学
必修② ·人教A版
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第三章
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直线 与方程 (zhíxiàn) 3.1 直线(zhíxiàn)的倾斜角与斜率
3.1.2 两条直线平行(píngxíng)与垂直的判定
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)；
(2)l1经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)；
(3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)．
[解析] (1)直线 l1 的斜率 k1＝21－ －－ －21＝2，直线 l2 的斜率 k2＝12－ －－ －12＝12，因为 k1·k2＝1，所以 l1 与 l2 不垂直．
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2．两条直线垂直 如果两条直线都有斜率(xiélǜ)，且它们互相垂直，那么它们的斜率(xiélǜ)之积等 于－__1_____；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互__相__(h_ù x_iā_ng_)垂__直__． [归纳总结] 当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－ 1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是 等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同； (2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同； (4)垂直：倾斜角相差90°．
A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
[解析] ∵k1＝2，k2＝－12，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．
( B)
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3．若l1与l2为两条直线，它们(tā men)的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为
k1、k2，有下列说法：
(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；
(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
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『规律方法』 判定两条直线平行的常用方法
在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，然后再进行判断，
同时注意不要漏掉两直线重合的情况．
设两条斜率存在且不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，则对应关系如 下：
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
(3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2．
(4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，需进 一步研究 A、B、C、D 四点是否共线．
kFG＝43－ －－ －12＝1，∴A、B、C、D 四点共线． 故 l1 与 l2 不平行．
既不平行，也不垂直，
当 a≠－1 时，直线 l1 的斜率为－1＋1 a，直线 l2 的斜率为－a2，
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因为 l1∥l2， 所以－1＋1 a＝－a2，解得 a＝1 或 a＝－2． 当 a＝1 时，直线 l1：x＋2y＝0，l2：x＋2y＋6＝0，l1 与 l2 平行， 当 a＝－2 时，直线 l1 与 l2 的方程都是 x－y－3＝0，此时两直线重合， 故 a＝1．
得 12/8/2021 m＝－72.故答案为 1 或－72．
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考虑问题不周到，忽略(hūlüè)特殊情形致误
典例 4
已 知 直 线 ( z h íx i àn ) l1 经 过 点 A(3 ， a) 、 B(a － 2,3) ， 直 线 l2 经 过 点
C(2,3)、D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
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(2)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率 k2＝52－0－－205＝0，所以 l1⊥l2． (3)直线 l1 的斜率 k1＝－1＋1－32＝－43，直线 l2 的斜率 k2＝2－4－－01＝34，因为 k1·k2 ＝－1，所以 l1⊥l2．
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课时作业学案
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自主 预习学案 (zìzhǔ)
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过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令 不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学(shùxué)、物理学原理，人们在设 计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你 能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？
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2．已知直线 l1 的斜率为 a，l2⊥l1，则 l2 的斜率为
A．1a
B．－1a
C．a
D．－1a或不存在
[解析] 当 a＝0 时，l2 斜率不存在， 当 a≠0 时，l2 斜率为－1a，故选 D．
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( D)
[错解] 由 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，k1＝3a－ －a5，k2＝a－－35，得3a－ －a5·a－－35＝－1，解
得 a＝0．
[错因分析] 只有在两条直线斜率都存在(cúnzài)的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，还有 一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．
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(4)l1经过E(0,1)、F(－2，－1)，l2经过G(3,4)、H(2,3)．
[思路分析] 根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行
(jìnxíng)判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．
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第十二页，共三十八页。
[解析] (1)由题意知，k1＝－5－ 3－12＝－45，k2＝－87－＋33＝－45，所以 l1 与 l2 重合 或平行．
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第二十三页，共三十八页。
(2)因为 l1⊥l2， 所以(－1＋1 a)×(－a2)＝－1，解得 a＝－23． 经检验 a＝－23符合题意， 故 a＝－23．
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〔跟踪练习 3〕 已知 A(2,1)、B(－1，m)、C(－1,3)，若△ABC 为直角三角形，则 m 的值为
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[正解] 由题意知l2的斜率(xiélǜ)一定存在，l2的斜率则可能为0，下面对a进 行讨论．
当k2＝0时，a＝5，此时k1不存在，所以两直线垂直． 当k2≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝0． 所以a的值为0或5．
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第二十七页，共三十八页。
1．下列说法(shuōfǎ)正确的有 ①若两直线斜率相等，则两直线平行；
__1__或__－__72_____． [解析] 画出 A，C 两点，由于 B，C 两点横坐标都是－1，所以 C 不可能为
直角． 当∠B 为直角时，由于 B、C 两点横坐标相同，故 A、B 两点纵坐标相等，可
得 m＝1； 当∠A 为直角时，由 kAC·kAB＝－3－ 1－12·－m1－－12＝29(m－1)＝－1．
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1．两条直线平行 对于两条不．重．合．的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2．
[归纳总结] (1)当直线l1∥直线l2时，可能它们的斜率(xiélǜ)都存在且相等， 也可能斜率(xiélǜ)都不存在．
(2)直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合． (3)对于不重合的直线l1、l2，其倾斜角分别为α、β，有l1∥l2⇔α＝β．
需进一步研究 A、B、C、D 四点是否共线． kBC＝5－－3－－33＝－43≠－45， ∴A、B、C、D 四点不共线．∴l1∥l2． (2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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[解析] 直线 l1 的斜率 k1＝－－12－＋11＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－02－－10＝2，k1＝k2， ∵kAC＝－1－1－01＝－12，所以 l1∥l2．
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第十六页，共三十八页。
命题方向2 ⇨两条直线垂直(chuízhí)关系的判断与应用
典例 2
判断下列各题中的直线l1、l2是否(shìfǒu)垂直：