维纳过程

因为W(t)服从均值为0，方差为t的正态分布，于是可以得 出ln[S(t)]服从均值为ln[S(0)]+mt，方差为 的正态分布。 因此，我们说S(t)服从对数正态分布，称 为价格S(t)的 波动率(volatility)。
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Ito 公式
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维纳过程
• 对特殊的情形， 时，维纳过程称为标 准维纳过程（或者，标准布朗运动）。 • 标准维纳过程继承了对称随机漫步的许多性质，例如：
. .
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维纳过程
• W(t)和wN(t)的一个重要差别是，W(t)适用于所有的t≥0, 而wN(t)中的时间是离散的，i.e., • 如果W(t)为标准维纳过程，则它有如下性质： (a) E[ W(t)2 ]=Var[ W(t) ] + E[ W(t) ] 2 = t ; (b) E[ W(t) W(s)] = min(t, s) ; (c) 如果t>s, W(t)和W(s)的相关系数 = .
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时，
的极限。
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连续时间极限
• 令
对每一个n=1,2,…, 它是独立同分布的随机变量序列，序 列中的每一个随机变量的期望为0，方差为1。由中心极限 定理可知，当 时，
X为标准正态分布随机变量。
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连续时间极限
• 由k(n)的定义，我们可以得到， E(k(n)) =(1/2) ln(1+u) + (1/2) ln(1+d)
(4.1)
Var(k(n)) = E[(k(n))2]- [E(k(n))]2 = (1/4) ln2(1+u) + (1/4) ln2(1+d) - (1/2) ln(1+u) ln(1+d)
1.每一个增量W(t+s)-W(s)都为正态分布，且均值为 方差为 ，其中μ和σ为固定的参数； 2.对任意的 ，增量W(t2)-W(t1),…, W(tn)-W(tn-1) 独立并服从1中定义的正态分布； 3.W(0)=0并且W(t)的路径连续。
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股票价格的动态表示
所以，可得到
因为 我们得到描述股价动态变动的近似方程为
其中
仍然假定
，当
时，
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股票价格的动态表示
上式中， 和 表示无穷小的时间区间dt上的增量。它为一个随机微分方 程(stochastic differential equation)。 随机微分方程的求解是随机分析(stochastic calculus)研究 的主要内容之一。我们在这里直接给出其解：
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连续时间极限
• 对称的随机漫步(symmetric random walk)
– w(n)为一随机变量序列，满足w(0)=0, 且 则w(n)称为对称的随机漫步。显然， 可以认为 是w(n)的增量。
• 仍然考虑具有时段长度为 的二叉树模型。用记号 表示相应的对称随机漫步，其增量 ，其中t=n/N为n时段以后的时间。 我们将利用中心极限定理得到当
(4.5) (4.6)
(4.3) (4.4)
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连续时间极限
• 引入一个相互独立的随机变量序列 取两个值，即 ，每一个随机变量
• 由k(n)的定义
及(4.5)-(4.6), 我们可以证明
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二次变分(Quadratic Variation)
• 在数学领域，二次变分被用来分析随机过程，如布朗运动 和鞅。二次变分是过程的变分中的一种。 • 假定X(t)是一个定义于概率空间(Ω,F,P) 上的实值随机过 程，且t≥0, 那么它的二次变分[X]t为一个过程，定义为
其中， 易证上述表达式的期望为T，只需证明当划分的模趋近于0 时，上述表达式的方差趋近于0即可（证明略）。
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二次变分(Quadratic Variation)
• 由于维纳过程（布朗运动）的二次变分不等于零，所以它 不是时间的连续可微函数。 • 布朗运动的名字来源于植物学家Robert Brown对流体中悬 浮微粒怪异运动的观察。很长时间，它也被看作为一个合 理的模型来模拟股票的价格。 • 布朗运动是一个关于时间的处处连续，处处不可微的函 数，即函数处处不光滑。
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• 假定St为一个随机过程可表述为如下的形式， dSt = u dt + v dWt， g(t,x)为定义在[0, ] X R上的一个二阶连续可微函数，那 么Yt=g(t,St)可表述为如下的微分形式，
其中，(dSt)2=(dSt)·(dSt)的计算依据如下法则， dt·dt=dt·dWt=dWt·dt=0, dWt·dWt=dt.
其中
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维纳过程
• 由式 ，可知 服从均值为零，方差为t 的正态分布。我们仅用中心极限定理证明了对任意固定的 时间t>0有 ，这个结论可以扩展到对所有的 时间 同时成立。 • 这个极限W(t)称为维纳过程(Wiener process)，也称为布 朗运动(Brownian motion)。其定义如下：随机过程 { W(t): t 0 }为维纳过程，如果它满足以下三个性质：
维纳过程(布朗运动)
贺方毅 四川大学经济学院
连续时间极限
• 离散时间和离散价格模型有显而易见的缺陷，明显地限制 了资产价格的变动范围，而且会限制这些变动发生的时间 的集合。 • 我们考虑时段 的二叉树模型序列。当 ，对 于所有逼近序列中的二叉树模型，假设每一时段股票价格 向上变动和向下变动的概率都是 。 • 相应的对数收益率为
因为任意的连续可微函数在每个点的领域附近都是近似线 性的，所以类似上面例子的证明可得任意连续可微函数的 二次变分都为0。
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二次变分(Quadratic Variation)
• 对一个标准维纳过程W(t), 其在区间[0, T]上的二次变分以 概率为1等于T。 • 证明步骤如下：考虑在[0, T]上的一个划分， W(t)的二次变分定义为如下表达式的极限，
• 由二叉树模型的定义，对数收益率k(1), k(2), …, k(N)是独 立同分布的。因此可以得到，对每一个n=1, 2, …, N,
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连续时间极限
m = N E(k(n)) = N Var(k(n)) 所以我们可得， E(k(n)) = m/N = Var(k(n)) = /N = 由(4.1)-(4.4), 可得
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一个布朗运动的模拟
Brownian Motion 12 10 8 6 Return 4 2 0 -2 -4 Time
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0
20
40
60
80
100
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股票价格的动态表示
• 仍然先考虑离散的情形，股票在时刻 证明如下： 的价格为
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连续时间极限
• 固定每个t>0, 因为随机漫步 只是针对定义在时段 的整数倍上的离散时间，所以我们考虑这样的 其 中tN是1/N的整数倍，且tN最接近于t。 • 显然，N tN是整数(因为 N tN = tN /(1/N) )，且对每一个N都 成立，我们可以记
当
时，我们有
及
所以， （依分布收敛）
其中P为区间[0, t]的划分，||P||定义为划分的模，即
极限定义为依概率收敛。
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二次变分(Quad果X(t)是一个时间的连续可微函数（对世界的每一个状 态而言），那么X(t)的二次变分等于0。 • 一个简单的例子，线性函数：X(t)=at. 对每个i, 考虑 ，则当 时，
(4.2)
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连续时间极限
• 在单时段上的无风险收益率可以用等价的连续复合利率r 代替，于是在长度为 的时段的收益将是 . • 从时刻0到时刻1的单位时间区间，包含N个长度为 的时 段( =1/N )。假设m为在单位时间区间上的对数收益率 k(1)+k(2)+…+k(N)的期望； 为标准差，则
证明中用到了如下事实： （注：对 常用 和 代替 和 ）
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，我们
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股票价格的动态表示
• 为了取连续时间的极限，对于很小的x，利用近似表达式
可得
而 这里我们略去了所有的 的幂次高于1的项。所以，
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