构造三阶行列式,研究抽水应用题

构造三阶行列式,研究抽水应用题
【摘要】本文应用“三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零”的定理，通过构造三阶行列式，对一类“抽水应用问题”进行巧思妙解，供高中数学教师参考。

【关键词】构造三阶行列式研究应用题
例1、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等。

如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。

如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？
解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，每台抽水机每分钟可抽水c立方米（c≠0），由此再设x台抽水机抽完水需t分钟，则依题意，得a+40b=2×40ca+16b=4×16ca+tb=xtc 即a+40b-80c=0a+16b-64c=0a+tb-xtc=0
这是一个关于a、b、c为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D＝1 40 -801 16 -641 t -xt=0展开，得t=■∵t≤10，∴■≤10，解之得x≥6，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台。

例2、山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌。

现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机，则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机，则20分钟正好把池塘中水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？
解：设泉水每分钟流进池塘里的水为x米3，每台抽水机每分钟抽水y米3，池塘里原有水Z米3，三台抽水机抽完池塘里的水需要t分钟。

则根据题意得
６０y-６0x=z20x+20y-20x=z3ty-tx=z 即６０x-６0y+z=020x-40y+z=0tx-3ty+z=0
这是一个关于x、y、z为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D＝６０－６０１２０－４０１t -３t １=0展开，得t=9.6，即三台A型抽水机同时抽，9.6分钟把池塘中水抽完。

例3、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干池水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至少多用几部A型抽水机抽水。

解：设满池水容量为a，池底泉水每天向外流量为b，每部抽水机每天抽量
为c，y部抽水机x天可抽完，则依题意，得a+6b=24×6ca+8b=21×8ca+xb=yxc 即a+6b-144c=0a+8b-168c=0a+xb-yxc=0，这是一个关于a、b、c为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系列行列式。

D＝1 ６-1441 ８-1681 x -xy=0展开，得y=■+12可见，要使水抽不干，至多用12部A型抽水机。

例4、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时。

问要在2小时内抽干，至少需要几台水泵？
解：设开始抽水时，满池水的水量为x，泉水每小时涌出的水量为y，每台水泵每小时抽水量为z，2小时抽干满池的水需要n台水泵，则依题意，得
x＋５y=５×１２zx+７y=７×１０zx＋２y=２nz 即x＋５y-60z=0x+７y-70z=0x＋２y-２nz=0，这是一个关于x、y、z为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D＝1 5 -601 7 -701 2 -2n=0，展开得n=22.5，因为n是正整数，∴n=23。

可见，至少需要23台水泵，才能在2小时内抽干。

例5、防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵的排水能力也相同，若开1台水泵，10小时可排完积水；开2台水泵，3小时排完积水；现开3台水泵排完积水需要多少小时？
解：设原来积水量为x米3，每小时因降雨而增加的积水量为y米3，每台水泵每小时排水z米3，开3台水泵t小时可排完积水，则依题意，得x＋10y=10zx+3y=3×2zx＋ty=t×3z 即x＋10y-10z=0x+3y-6z=0x＋ty-3ty=0，这是一个关于x、y、z为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D＝1 10 -101 3 -61 t -3y=0，展开，得t=1■小时。

故开三台水泵排完积水需要1■小时。

综上所述可见，应用上述“定理”解“抽水问题”，其关键在于按下列三步骤进行：①根据题设条件列出三个未知数的三元线性方程组；②根据方程组有非零解，列出三阶行列式D=0。

③展开三阶行列式求得结果。

总之，笔者认为，依据新课程改革的理念要求，平时在数学教学过程中，认真学习和研究这类专题内容，对帮助学生理解课本内容、提高解题水平、启迪思维、拓宽视野，颇有益处，我们相信，只要每位教师研究方法恰当、研究措施得力、研究计划到位，就能有效地提高教师的素质，使课程改革中关于对试题的研究理念得到进一步升华。

由于此法新颖别致，颇有规律，简捷明快，故笔者认为，加强这类专题研究，很有必要。

参考文献
1 于志洪.构造三阶行列式巧解数学竞赛题.数学.通讯，2008（15）
2 于志洪等.构造行列式解牛顿公牛吃草问题.数学教育（香港数学
教育学会主办），2006（22）
３肖维松.构造三阶行列式研究国内外试题.数学教学通讯，2009 （3）。