近代数学基础I总结
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n →∞ n →∞
+∞ +∞ +∞
● Fubini 定理（积分次序可交换条件） ：
赋范空间 定义： X 是线性空间，如果存在 X 上面的函数 （1） x ≥ 0且 x = 0 ⇔ x = 0 （2） αx = α x （3） x + y ≤ x + y
• 满足 （正定性） （齐次行） （三角不等式）
则 • 为 X 上的一个范数。X 是以d ( x , y ) = x − y 为距离的赋范空间，记作 X , • 。 相关：
（加法交换律） （加法结合律）
拓扑空间 定义： ①定义 1： P ( X )是集合X的幂集，τ ⊂ P ( X ) 如果满足 （1）∅ , X ∊ τ
k
（2）∩A i ∊ τ , A i ∊ τ ( i = 1, 2,…, k )
i =1
+∞
（3）∪A i ∊ τ , A i ∊ τ ( i = 1, 2,…)
0 , 1 。注意L1 0 , 1 里面的函数不一定是连续函数。积分的时候需要用雷贝克积 分，而不能用黎曼积分。 ● { x | f ( x )≠ 0 }为f ( x ) 的支撑集。当f ( x ) 的支撑集有界时，{ x | f ( x )≠ 0} 为f ( x )的 紧 支集，记作supp { f ( x )}（因为如果支撑集本身是有界的，在加上闭包的限制。那么得 到的集合就是有界闭区间， 也就是紧的。所以叫做紧支集。 注意无限支撑函数没有紧支 集。 ） ● C 0 D 为 D 上所有紧支集上的连续函数空间。 ●
● 如果距离空间( X , d ) 中的每一个 Cauchy 列都收敛于X中的某一个点，则( X , d ) 是完 1 n ∞ ) } n =1是 Cauchy 列。列中的每个元素都是有理数，而其 n 收敛于 e。是一个无理数。所以此 Cauchy 列在( ℚ, d ) 中没有极限，由于ℚ不是完备 的。在( ℝ , d )有极限，由于ℝ是完备的。 ） ● 有覆盖的集合是紧集，或者称为紧的。由有限覆盖定理（Heine-Borel Theorem） ：有 备距离空间。 （例如{( 1 + 界闭合子集都可由有限个开集所覆盖（表示为∀ [ a , b ], ∃ ∪( a i , bi )使[ a , b ] ⊂
Banach 空间 定义： 完备的赋范空间称为 Banach 空间。 内积空间 定义： X 是线性空间，如果在 X 上面的内积函数< • , • >满足 （1）< αx + βy , z > = α < x , z > + β < y , z >或者 < x , αy + βz > = α < x , y > + β < x , z > （共轭双线性） （2）< x , y > = < y , x > （共轭对称性） （3）< x , x > ≥ 0且< x , x > = 0 ⇔ x = 0 （正定性） 则 X 是以d ( x , y ) = < x , y >为距离的内积空间，记作 X ,< • , •> 。 相关： ● Cauchy-Schwarz 不等式： < x , y > ≤ x
n
1 p
● ●
x p范数为 x x
∞
p=
∑ xj p
j=1 j
，(1≤p<+∞) 。 （ • p也记作 •
Lp
）
范数为 x
∞
=max xj 。
m≤
● 如 果 ∃ C 1 , C 2 对∀ x , y ∊ X有C 1 x
x
n ≤C2
x
m
，则 称 • m和 • n等 价 。
X, •
m
和 X, •
n
有相同的拓扑结构。
i=1
则称τ是集合 X 上的拓扑结构。
Байду номын сангаас
如果集合 X 上存在拓扑结构τ，则 X 是拓扑空间。
A i | A i ∊ τ 中的每个元素叫做 X 里的开集。 X － A i | A i ∊ τ 中的每个元素叫做 X 里的闭集。
∅和（全空间）X 即是开集又是闭集。 ②定义 2： 集合 X | d ( X , X0 )< ε , X ∊ ℤ 叫做X 0 的开球。 如果存在X的开球在集合A 的内侧，则X是集合A 的内点。 如果集合A中的每个点都为A 的内点，则集合A 是开集。 开集相对于全空间的补集叫做闭集。 相关： ● 任何空间都是拓扑空间。 距离空间也叫度量空间 定义： X是非空集合，如果对于x , y , z ∊ X满足 （1）d ( x , y )≥ 0且d ( x , y )= 0 ⇔ x = y （非负性） （2）d ( x , y )= d ( y , x ) （对称性） （3）d ( x , y )≤ d ( x , z )+ d ( z , y ) （三角不等式，又叫明可夫斯基不等式） 则称 d 为 X 上的一个距离。X 是以 d 为距离的距离空间，记作 X , d 。如果Y ⊂ X，则称 Y , d 是 X , d 的诱导空间。 相关： ● 超三角不等式也叫强三角不等式为d ( x , y ) = max { d ( x , z ), d ( z , y )}。 1 ● 最平凡距离为d ( x , y )= 0
∞
n =1
是正函数序列，
如果lim fn ( t ) = f ( t ) a . e . ，
n →∞
+∞
则∫ −∞ lim fn ( t ) dt = ∫ −∞ f ( t ) dt ≤ lim ∫ −∞ fn ( t ) dt。
n →∞ n →∞
+∞
+∞
● Lebesgue 收敛定理（Fatou 等号条件） ：
y 。由此可得
< x, y > ≤ 1，即内积 x y
空间的任意两个向量的夹角在 0 到 90 度之间。这个性质叫正相关性。 Hilbert 空间 定义： 完备的内积空间称为 Hilbert 空间。 相关： ● 有扰动点的连续函数序列都有一个极限函数为不连续函数。定义在 0 , 1 上的连续函 数表示为C 0, 1 。它是内积空间，但是不是 Hilbert 空间。其完备化空间为L 1
● L 1 ([ a , b ]) 上的两个函数 f1 ( t ) 和f2 ( t )如果满足∫ −∞ | f1 ( t )− f2 ( t )| dt = 0，则 称
+∞
f1 ( t ) 和f2 ( t ) 相等或者几乎处处相等，记作 almost everywhere 或者 a.e.。 （注意这 1 里定义的是L ([ a , b ])空间上的相等。f1 ( t )和f2 ( t )仅仅在一个零测度集上不同，即 f1 ( t ) 和f2 ( t ) 可以有无限个点有不同的函数值。 ） ● Fatou 引理（极限进入积分的不等式关系） ： fn
i ∈I
∪( a i , bi )） ，可以重新定义紧集，即所有有界闭区间都是紧的。另外无限区域是非紧
i ∈I
●
● ●
● ● ●
的。用K ( ℝ 2 )表示ℝ 2上的所有紧集组成的集合。 （例如ℤ不是紧的，因为不是有界的。 [ 0 , 1 )不是闭合的。 ） ( X , d )是距离空间，且集合A ⊂ X 。如果∀ x0 ∊ X ，都存在序列{ xn } ∞ n =1⊂A 使x n → x0 (n→∞) 。那么称 A 是 X 的稠密集。如果 A 是可数的，那么称 X 是可分的。 （例如 ℚ在ℝ中稠密，并且ℚ可数，所以ℝ可分；ℚ在ℝ-ℚ中也稠密，因为ℝ-ℚ不可数，所以 ℝ-ℚ不可分。 ） 最小完备空间叫完备化空间。 （例如ℚ的完备化空间是ℝ ，虽然ℝ 2也是ℚ的完备空间， 但是不是完备化空间。 ） 如果距离空间 X , d ，对于子空间 A 中的{ x | d ( x , A ): = inf{ d ( x , y )| y ∈ A } = 0} 为 闭包点。A 的闭包是所有 A 的闭包点组成的集合，记作A 。注意闭包特指一种对子空 间操作，而不是全空间的操作。完备化特指全空间进行的操作。 如果 A , d 的完备化空间是 B , d 。那么 A 在 B 中稠密。 （例如ℚ在ℝ中稠密。 ） 如果距离空间 X , d ，存在子空间A，使A = X。则 A 在 X 中稠密。 如果距离空间 X , d ，存在子空间A , B ⊂ X，且A ⊃ B 。则 A 在 B 中稠密。
n
x≠y
。
x=y
1 p
● d p 距离为 dp ( x , y )=
∑ xj − yj
j =1
p
, ( 1 ≤ p < + ∞ )，注p < 1时由于不符合三
角不等式，所以不是距离。 ● d ∞ 距离为d ∞ ( x , y ) = max x j − yj 。
j
● 如果∃ C 1 , C 2 对∀ x , y ∊ X有C 1 d1 ( x , y ) ≤ d2 ( x , y )≤ C 2 d 1 ( x , y ) ，则称d1 ( x , y )与d2 ( x , y )等价。( X , d 1 ) 和( X , d 2 ) 有相同的拓扑结构。 ● 如果( X , d )是距离空间，对于序列{ xn } ∞ ⊂X，如果d ( x n , x 0 )→ 0 ( n → ∞ )， 那 n =1 么称该序列收敛于x0 。 ● 如果d 1 ( x , y ) 与d 2 ( x , y ) 等价，那么d 1 ( xn , x 0 ) → 0 ( n → ∞ )⇔ d 2 ( x n , x0 )→ 0 ( n →∞) 。 ● 如果( X , d )是距离空间，对于序列{ xn } ∞ n =1⊂X，如果d ( x m , x n ) → 0 ( m , n → ∞ )。 ∞ 则称{ xn } n =1为 Cauchy 列也叫基本列。 （注意 Cauchy 列不一定有极限，如果( X , d ) 是完备的，才有极限存在。 ）
fn
∞
n =1
⊂ L 1 ( R )是正函数序列，且lim fn ( x ) = f ( x ) a.e.。
n→∞
如果∃ F ∈ L 1 ( R )满足| fn ( x ) |≤ F ( x ), n = 1, 2,…, a . e . ， 则∫ −∞ lim fn ( t ) dt = ∫ −∞ f ( t ) dt = lim ∫ −∞ fn ( t ) dt。
第一章 基本空间结构 阿贝尔群（Abelian Group）也叫交换群 定义： 对于任意x , y , z ∊ X如果满足 （1）x + y = y + x （2）( x + y )+ z = x + ( y + z ) （3）X中存在零元 （4）对任何x ∊ X，存在加法逆元 则 X 是ℂ上的阿贝尔群，记作 X , + 。 线性空间 定义： 对于阿贝尔群 X，如果对于任意x , y ∊ X，α , β ∊ ℂ如果满足 （1）1 ⋅ x = x，0 ⋅ x = 0 （乘法幺元和零元） （2）α ( βx )= ( αβ ) x （乘法结合律） （3）( α + β ) x = αx + βx （乘法左分配律） （4）α ( x + y ) = αx + αy （乘法右分配律） 则 X 是复线性空间，记作 X ,{ + ,× } 。
L1 ( R ) 空间 定义：
[a,b] 上的一个函数f ( t ) 如果满足∫a | f ( t )| dt < ∞，f ( t )称为绝对可积函数。
b
L 1 ([ a , b ]) 表示[a,b]上的所有绝对可积函数所构成的空间。 相关： ● 高维空间中的测度为 0 的低维子空间称为零测度集。 （比如，ℚ是ℝ 上的零测度集。[a, 2 b]在ℝ 上是零测度集。 ）
X , d 是 距 离 空 间 ， 存 在 映 射 T : X → X。 如 果 存 在 系 数 θ（ 0≤θ<1）， 使d ( Tx , Ty )≤ θd ( x , y ),∀ x , y ∊ X，则称 T 是 X 上的一个压缩映射，θ为 T 的压缩 系数。 ● Banach 压缩映射原理：①②⇒③ ① X , d 是完备的距离空间。 ②T : X → X是压缩映射。 ③T 在 X 上存在唯一的不动点，即存在唯一x * ∈ X满足Tx * = x *。 （因为| f ( x )− f ( y )|= f '( ξ )| x − y |, ξ ∈ [ x , y ]，所以如果 f '( ξ )< 1则f ( ⋅ )是压 缩 映射。 ）
+∞ +∞ +∞
● Fubini 定理（积分次序可交换条件） ：
赋范空间 定义： X 是线性空间，如果存在 X 上面的函数 （1） x ≥ 0且 x = 0 ⇔ x = 0 （2） αx = α x （3） x + y ≤ x + y
• 满足 （正定性） （齐次行） （三角不等式）
则 • 为 X 上的一个范数。X 是以d ( x , y ) = x − y 为距离的赋范空间，记作 X , • 。 相关：
（加法交换律） （加法结合律）
拓扑空间 定义： ①定义 1： P ( X )是集合X的幂集，τ ⊂ P ( X ) 如果满足 （1）∅ , X ∊ τ
k
（2）∩A i ∊ τ , A i ∊ τ ( i = 1, 2,…, k )
i =1
+∞
（3）∪A i ∊ τ , A i ∊ τ ( i = 1, 2,…)
0 , 1 。注意L1 0 , 1 里面的函数不一定是连续函数。积分的时候需要用雷贝克积 分，而不能用黎曼积分。 ● { x | f ( x )≠ 0 }为f ( x ) 的支撑集。当f ( x ) 的支撑集有界时，{ x | f ( x )≠ 0} 为f ( x )的 紧 支集，记作supp { f ( x )}（因为如果支撑集本身是有界的，在加上闭包的限制。那么得 到的集合就是有界闭区间， 也就是紧的。所以叫做紧支集。 注意无限支撑函数没有紧支 集。 ） ● C 0 D 为 D 上所有紧支集上的连续函数空间。 ●
● 如果距离空间( X , d ) 中的每一个 Cauchy 列都收敛于X中的某一个点，则( X , d ) 是完 1 n ∞ ) } n =1是 Cauchy 列。列中的每个元素都是有理数，而其 n 收敛于 e。是一个无理数。所以此 Cauchy 列在( ℚ, d ) 中没有极限，由于ℚ不是完备 的。在( ℝ , d )有极限，由于ℝ是完备的。 ） ● 有覆盖的集合是紧集，或者称为紧的。由有限覆盖定理（Heine-Borel Theorem） ：有 备距离空间。 （例如{( 1 + 界闭合子集都可由有限个开集所覆盖（表示为∀ [ a , b ], ∃ ∪( a i , bi )使[ a , b ] ⊂
Banach 空间 定义： 完备的赋范空间称为 Banach 空间。 内积空间 定义： X 是线性空间，如果在 X 上面的内积函数< • , • >满足 （1）< αx + βy , z > = α < x , z > + β < y , z >或者 < x , αy + βz > = α < x , y > + β < x , z > （共轭双线性） （2）< x , y > = < y , x > （共轭对称性） （3）< x , x > ≥ 0且< x , x > = 0 ⇔ x = 0 （正定性） 则 X 是以d ( x , y ) = < x , y >为距离的内积空间，记作 X ,< • , •> 。 相关： ● Cauchy-Schwarz 不等式： < x , y > ≤ x
n
1 p
● ●
x p范数为 x x
∞
p=
∑ xj p
j=1 j
，(1≤p<+∞) 。 （ • p也记作 •
Lp
）
范数为 x
∞
=max xj 。
m≤
● 如 果 ∃ C 1 , C 2 对∀ x , y ∊ X有C 1 x
x
n ≤C2
x
m
，则 称 • m和 • n等 价 。
X, •
m
和 X, •
n
有相同的拓扑结构。
i=1
则称τ是集合 X 上的拓扑结构。
Байду номын сангаас
如果集合 X 上存在拓扑结构τ，则 X 是拓扑空间。
A i | A i ∊ τ 中的每个元素叫做 X 里的开集。 X － A i | A i ∊ τ 中的每个元素叫做 X 里的闭集。
∅和（全空间）X 即是开集又是闭集。 ②定义 2： 集合 X | d ( X , X0 )< ε , X ∊ ℤ 叫做X 0 的开球。 如果存在X的开球在集合A 的内侧，则X是集合A 的内点。 如果集合A中的每个点都为A 的内点，则集合A 是开集。 开集相对于全空间的补集叫做闭集。 相关： ● 任何空间都是拓扑空间。 距离空间也叫度量空间 定义： X是非空集合，如果对于x , y , z ∊ X满足 （1）d ( x , y )≥ 0且d ( x , y )= 0 ⇔ x = y （非负性） （2）d ( x , y )= d ( y , x ) （对称性） （3）d ( x , y )≤ d ( x , z )+ d ( z , y ) （三角不等式，又叫明可夫斯基不等式） 则称 d 为 X 上的一个距离。X 是以 d 为距离的距离空间，记作 X , d 。如果Y ⊂ X，则称 Y , d 是 X , d 的诱导空间。 相关： ● 超三角不等式也叫强三角不等式为d ( x , y ) = max { d ( x , z ), d ( z , y )}。 1 ● 最平凡距离为d ( x , y )= 0
∞
n =1
是正函数序列，
如果lim fn ( t ) = f ( t ) a . e . ，
n →∞
+∞
则∫ −∞ lim fn ( t ) dt = ∫ −∞ f ( t ) dt ≤ lim ∫ −∞ fn ( t ) dt。
n →∞ n →∞
+∞
+∞
● Lebesgue 收敛定理（Fatou 等号条件） ：
y 。由此可得
< x, y > ≤ 1，即内积 x y
空间的任意两个向量的夹角在 0 到 90 度之间。这个性质叫正相关性。 Hilbert 空间 定义： 完备的内积空间称为 Hilbert 空间。 相关： ● 有扰动点的连续函数序列都有一个极限函数为不连续函数。定义在 0 , 1 上的连续函 数表示为C 0, 1 。它是内积空间，但是不是 Hilbert 空间。其完备化空间为L 1
● L 1 ([ a , b ]) 上的两个函数 f1 ( t ) 和f2 ( t )如果满足∫ −∞ | f1 ( t )− f2 ( t )| dt = 0，则 称
+∞
f1 ( t ) 和f2 ( t ) 相等或者几乎处处相等，记作 almost everywhere 或者 a.e.。 （注意这 1 里定义的是L ([ a , b ])空间上的相等。f1 ( t )和f2 ( t )仅仅在一个零测度集上不同，即 f1 ( t ) 和f2 ( t ) 可以有无限个点有不同的函数值。 ） ● Fatou 引理（极限进入积分的不等式关系） ： fn
i ∈I
∪( a i , bi )） ，可以重新定义紧集，即所有有界闭区间都是紧的。另外无限区域是非紧
i ∈I
●
● ●
● ● ●
的。用K ( ℝ 2 )表示ℝ 2上的所有紧集组成的集合。 （例如ℤ不是紧的，因为不是有界的。 [ 0 , 1 )不是闭合的。 ） ( X , d )是距离空间，且集合A ⊂ X 。如果∀ x0 ∊ X ，都存在序列{ xn } ∞ n =1⊂A 使x n → x0 (n→∞) 。那么称 A 是 X 的稠密集。如果 A 是可数的，那么称 X 是可分的。 （例如 ℚ在ℝ中稠密，并且ℚ可数，所以ℝ可分；ℚ在ℝ-ℚ中也稠密，因为ℝ-ℚ不可数，所以 ℝ-ℚ不可分。 ） 最小完备空间叫完备化空间。 （例如ℚ的完备化空间是ℝ ，虽然ℝ 2也是ℚ的完备空间， 但是不是完备化空间。 ） 如果距离空间 X , d ，对于子空间 A 中的{ x | d ( x , A ): = inf{ d ( x , y )| y ∈ A } = 0} 为 闭包点。A 的闭包是所有 A 的闭包点组成的集合，记作A 。注意闭包特指一种对子空 间操作，而不是全空间的操作。完备化特指全空间进行的操作。 如果 A , d 的完备化空间是 B , d 。那么 A 在 B 中稠密。 （例如ℚ在ℝ中稠密。 ） 如果距离空间 X , d ，存在子空间A，使A = X。则 A 在 X 中稠密。 如果距离空间 X , d ，存在子空间A , B ⊂ X，且A ⊃ B 。则 A 在 B 中稠密。
n
x≠y
。
x=y
1 p
● d p 距离为 dp ( x , y )=
∑ xj − yj
j =1
p
, ( 1 ≤ p < + ∞ )，注p < 1时由于不符合三
角不等式，所以不是距离。 ● d ∞ 距离为d ∞ ( x , y ) = max x j − yj 。
j
● 如果∃ C 1 , C 2 对∀ x , y ∊ X有C 1 d1 ( x , y ) ≤ d2 ( x , y )≤ C 2 d 1 ( x , y ) ，则称d1 ( x , y )与d2 ( x , y )等价。( X , d 1 ) 和( X , d 2 ) 有相同的拓扑结构。 ● 如果( X , d )是距离空间，对于序列{ xn } ∞ ⊂X，如果d ( x n , x 0 )→ 0 ( n → ∞ )， 那 n =1 么称该序列收敛于x0 。 ● 如果d 1 ( x , y ) 与d 2 ( x , y ) 等价，那么d 1 ( xn , x 0 ) → 0 ( n → ∞ )⇔ d 2 ( x n , x0 )→ 0 ( n →∞) 。 ● 如果( X , d )是距离空间，对于序列{ xn } ∞ n =1⊂X，如果d ( x m , x n ) → 0 ( m , n → ∞ )。 ∞ 则称{ xn } n =1为 Cauchy 列也叫基本列。 （注意 Cauchy 列不一定有极限，如果( X , d ) 是完备的，才有极限存在。 ）
fn
∞
n =1
⊂ L 1 ( R )是正函数序列，且lim fn ( x ) = f ( x ) a.e.。
n→∞
如果∃ F ∈ L 1 ( R )满足| fn ( x ) |≤ F ( x ), n = 1, 2,…, a . e . ， 则∫ −∞ lim fn ( t ) dt = ∫ −∞ f ( t ) dt = lim ∫ −∞ fn ( t ) dt。
第一章 基本空间结构 阿贝尔群（Abelian Group）也叫交换群 定义： 对于任意x , y , z ∊ X如果满足 （1）x + y = y + x （2）( x + y )+ z = x + ( y + z ) （3）X中存在零元 （4）对任何x ∊ X，存在加法逆元 则 X 是ℂ上的阿贝尔群，记作 X , + 。 线性空间 定义： 对于阿贝尔群 X，如果对于任意x , y ∊ X，α , β ∊ ℂ如果满足 （1）1 ⋅ x = x，0 ⋅ x = 0 （乘法幺元和零元） （2）α ( βx )= ( αβ ) x （乘法结合律） （3）( α + β ) x = αx + βx （乘法左分配律） （4）α ( x + y ) = αx + αy （乘法右分配律） 则 X 是复线性空间，记作 X ,{ + ,× } 。
L1 ( R ) 空间 定义：
[a,b] 上的一个函数f ( t ) 如果满足∫a | f ( t )| dt < ∞，f ( t )称为绝对可积函数。
b
L 1 ([ a , b ]) 表示[a,b]上的所有绝对可积函数所构成的空间。 相关： ● 高维空间中的测度为 0 的低维子空间称为零测度集。 （比如，ℚ是ℝ 上的零测度集。[a, 2 b]在ℝ 上是零测度集。 ）
X , d 是 距 离 空 间 ， 存 在 映 射 T : X → X。 如 果 存 在 系 数 θ（ 0≤θ<1）， 使d ( Tx , Ty )≤ θd ( x , y ),∀ x , y ∊ X，则称 T 是 X 上的一个压缩映射，θ为 T 的压缩 系数。 ● Banach 压缩映射原理：①②⇒③ ① X , d 是完备的距离空间。 ②T : X → X是压缩映射。 ③T 在 X 上存在唯一的不动点，即存在唯一x * ∈ X满足Tx * = x *。 （因为| f ( x )− f ( y )|= f '( ξ )| x − y |, ξ ∈ [ x , y ]，所以如果 f '( ξ )< 1则f ( ⋅ )是压 缩 映射。 ）