2018全国高中数学联赛模拟试题4
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2018年全国高中数学联赛模拟试题（四） 第3页（共4页）
3. （50分）设质数》2 7,证明：存在正整数m、m其中m<n<7p,使得p-n2>l9 且》一必| p —
7712.
m.
4. （50分）设M = （1, 2,…，65}, A是M的子集.若丨A | = 33,且存在J；, > G A, 工 ◎ % I弘则称 A为“好集"•求最大的a G M,使含a的任意33元子集为“好集”.
求证t丄+丄+…+丄2 -~~ . di % a” 物十Z
11. (20 分)已知椭圆 G：弓+¥ = 1，抛物线 C2： (>-m)2 = 2炉3>0),且 C］、C2 的公共弦AB 过椭圆G的右焦点.问是否存在m、/>,使抛物线C2的焦点恰好在直线AB上? 若存在，求出符合 条件的 2 的值;若不存在,请说明理由.
2018年全国高中数学联赛模拟试题(四) 第2页(共4页)
第二试
1.（40分）圆内接四边形ABCD中存在一点F,使得 ZPAB = ZPBC = ZPCD = ZPDA.
证明：AB ・CD = BC・AD.
2. （40分）已知正实数a、b、c满足abc = 1,证明:
&+3 | 3+3Ic+3> Q G 辛 1)2 十。+1)2 十(C+1)2^
______
求志+靛的最小值.
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四） 第1页（共4页）
10. (20分)设函数> =3，⑦，w £ N*满足： (1)对任意。品 £ N* , a>b,都有 a/U) +bf(b) > af(b)+bf(a)； ⑵ 对任 意的nEN*，都有/(/(n)) = 3丄令么=/(3n).
若在左准线上存在点R，使得三角形PQR为正三角形,则直线PQ的斜率为 ____. 8. 将1-16这16个正整数随机地填入4X4的棋盘的16个格子中（每个格子填写一个 数），则
使每行、每列所填数之和均为偶数的概率是 ____・
二、解答题（共56分）
--► A
ห้องสมุดไป่ตู้»A
"AA
9. （16分）已知三角形ABC的外心为。，且AO・BC + 2BO・CA + 3CO・AB=0.
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）
一、填空题（每题8分，共64分）
第_试
1. 首项为1的数列侬”｝各项不全为正，若对任意正整数戎有：
,1 , 1 丄 1
Q-n \--=
\--=《讦2 \-->
Qn+1
&麻2 J
贝!| &018 = _________• 2. 已知=狎一3^+1,若存在实数m以及二1 V互V為，使得
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四） 第4页（共4页）
fCxy） = r（Z2）= f（x3） = m, 贝U ~m = ________.
3. 关于z的不等式丨loggsinz |>丨loggcosz |的解集为 ____.
4. 已知复数旳、初，满足丨Ni | = | zi + z2 |=3, I zi — z2 I = 3^3 ,则丨zi五I =
是 ___
____ ___ __
5. 若关于工的不等式匸能三“”昌总有非零实数解，则实数。的取值范围
6. 在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD中心的连结线段为MN,棱CD的中 点和面ABC 中心的连结线段为FQ,则异面直线MN与PQ所成的角为 ____.
7. 设一个离心率为奇的椭圆的焦点在尤轴上，线段PQ是过左焦点F且不与h轴垂直 的弦.
3. （50分）设质数》2 7,证明：存在正整数m、m其中m<n<7p,使得p-n2>l9 且》一必| p —
7712.
m.
4. （50分）设M = （1, 2,…，65}, A是M的子集.若丨A | = 33,且存在J；, > G A, 工 ◎ % I弘则称 A为“好集"•求最大的a G M,使含a的任意33元子集为“好集”.
求证t丄+丄+…+丄2 -~~ . di % a” 物十Z
11. (20 分)已知椭圆 G：弓+¥ = 1，抛物线 C2： (>-m)2 = 2炉3>0),且 C］、C2 的公共弦AB 过椭圆G的右焦点.问是否存在m、/>,使抛物线C2的焦点恰好在直线AB上? 若存在，求出符合 条件的 2 的值;若不存在,请说明理由.
2018年全国高中数学联赛模拟试题(四) 第2页(共4页)
第二试
1.（40分）圆内接四边形ABCD中存在一点F,使得 ZPAB = ZPBC = ZPCD = ZPDA.
证明：AB ・CD = BC・AD.
2. （40分）已知正实数a、b、c满足abc = 1,证明:
&+3 | 3+3Ic+3> Q G 辛 1)2 十。+1)2 十(C+1)2^
______
求志+靛的最小值.
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四） 第1页（共4页）
10. (20分)设函数> =3，⑦，w £ N*满足： (1)对任意。品 £ N* , a>b,都有 a/U) +bf(b) > af(b)+bf(a)； ⑵ 对任 意的nEN*，都有/(/(n)) = 3丄令么=/(3n).
若在左准线上存在点R，使得三角形PQR为正三角形,则直线PQ的斜率为 ____. 8. 将1-16这16个正整数随机地填入4X4的棋盘的16个格子中（每个格子填写一个 数），则
使每行、每列所填数之和均为偶数的概率是 ____・
二、解答题（共56分）
--► A
ห้องสมุดไป่ตู้»A
"AA
9. （16分）已知三角形ABC的外心为。，且AO・BC + 2BO・CA + 3CO・AB=0.
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）
一、填空题（每题8分，共64分）
第_试
1. 首项为1的数列侬”｝各项不全为正，若对任意正整数戎有：
,1 , 1 丄 1
Q-n \--=
\--=《讦2 \-->
Qn+1
&麻2 J
贝!| &018 = _________• 2. 已知=狎一3^+1,若存在实数m以及二1 V互V為，使得
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四） 第4页（共4页）
fCxy） = r（Z2）= f（x3） = m, 贝U ~m = ________.
3. 关于z的不等式丨loggsinz |>丨loggcosz |的解集为 ____.
4. 已知复数旳、初，满足丨Ni | = | zi + z2 |=3, I zi — z2 I = 3^3 ,则丨zi五I =
是 ___
____ ___ __
5. 若关于工的不等式匸能三“”昌总有非零实数解，则实数。的取值范围
6. 在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD中心的连结线段为MN,棱CD的中 点和面ABC 中心的连结线段为FQ,则异面直线MN与PQ所成的角为 ____.
7. 设一个离心率为奇的椭圆的焦点在尤轴上，线段PQ是过左焦点F且不与h轴垂直 的弦.