2023年人教版七7年级下册数学期末解答题压轴题题(及答案)

2023年人教版七7年级下册数学期末解答题压轴题题（及答案）
一、解答题
1．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是 ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为
4:3，且面积为2360cm ？
2．如图，在99⨯网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形ABCD 的顶点都在网格的格点上．
（1）求正方形ABCD 的面积和边长；
（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标．
3．已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a 和宽度b （单位：米）的取值范围分别是100110a ≤≤，6475b ≤≤．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．
4．小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片,沿着边的方向裁处一块面积为300cm 2的长方形纸片.
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能,请帮小丽设计一种裁剪方案,若不能，请简要说明理由. 5．求下图44⨯的方格中阴影部分正方形面积与边长．
二、解答题
6．如图1，点A 在直线MN 上，点B 在直线ST 上，点C 在MN ，ST 之间，且满足
MAC ACB SBC ∠+∠+∠360=︒．
（1）证明：//MN ST ；
（2）如图2，若60ACB ∠=︒，//AD CB ，点E 在线段BC 上，连接AE ，且
2DAE CBT ∠=∠，试判断CAE ∠与CAN ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若180ACB n
︒
∠=
（n 为大于等于2的整数），点E 在线段BC 上，连接AE ，若MAE n CBT ∠=∠，则:CAE CAN ∠∠=______．
7．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若
116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．
（1）AOB ∠= ︒；
（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；
（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结FA 、FB ，E 是射线FA 上的一点，若MAE ∠=
n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．
8．已知点C 在射线OA 上．
（1）如图①，CD //OE ，若∠AOB ＝90°，∠OCD ＝120°，求∠BOE 的度数；
（2）在①中，将射线OE 沿射线OB 平移得O ′E '（如图②），若∠AOB ＝α，探究∠OCD 与∠BO ′E ′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O ′作OB 的垂线，与∠OCD 的平分线交于点P （如图③），若∠CPO ′＝90°，探究∠AOB 与∠BO ′E ′的关系．
9．阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整． 证明：过点E 作EF //AB ， 则有∠BEF ＝ ． ∵AB //CD ， ∴ // ， ∴∠FED ＝ ．
∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
①如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； ②如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
10．已知//AB CD ，点E 在AB 与CD 之间． （1）图1中，试说明：BED ABE CDE ∠=∠+∠；
（2）图2中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请利用（1）的结论说明：
2BED BFD ∠=∠．
（3）图3中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请直接写出BED ∠与
BFD ∠之间的数量关系．
三、解答题
11．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 满足220a b b -+-=．
（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2，设运动时间为
()0t t >．问：是否存在这样的t ，使ODP
ODQ
S
S
=？若存在，请求出t 的值：若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，过O 作//OG AC ，作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ，点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE
OEC
∠+∠∠的值是否会
发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 12．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．
（1）求证：//AB CD
（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数．
（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作
//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．
13．已知//PQ MN ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，
90ACB EDF ∠=∠=︒，45ABC BAC ∠=∠=︒，30DFE ∠=︒，60DEF ∠=︒．
（1）若三角板如图1摆放时，则α∠=______，β∠=______．
（2）现固定ABC 的位置不变，将DEF 沿AC 方向平移至点E 正好落在PQ 上，如图2所示，DF 与PQ 交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线交于点H ，求GHF ∠的度数； （3）现固定DEF ，将ABC 绕点A 顺时针旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，请直接写出BAM ∠的度数．
14．已知直线//AB CD ，M ，N 分别为直线AB ，CD 上的两点且70MND ∠=︒，P 为直线
CD 上的一个动点．类似于平面镜成像，点N 关于镜面MP 所成的镜像为点Q ，此时
,,NMP QMP NPM QPM MNP MQP ∠=∠∠=∠∠=∠．
（1）当点P 在N 右侧时：
①若镜像Q 点刚好落在直线AB 上（如图1），判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，并说明理由；
②若镜像Q 点落在直线AB 与CD 之间（如图2），直接写出BMQ ∠与DPQ ∠之间的数量关系；
（2）若镜像PQ CD ⊥，求BMQ ∠的度数．
15．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．
（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，1
2
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN
∠与ADB ∠的度数；
（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠，则
ADB =∠_________︒；
（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠”改为
“FAC ACB m ∠=∠=︒，1
CAD FAC n
∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠”，则
ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）
四、解答题
16．如图，直线m 与直线n 互相垂直，垂足为O 、A 、B 两点同时从点O 出发，点A 沿直线m 向左运动，点B 沿直线n 向上运动．
(1)若∠BAO 和∠ABO 的平分线相交于点Q ，在点A ，B 的运动过程中，∠AQB 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．
(2)若AP 是∠BAO 的邻补角的平分线，BP 是∠ABO 的邻补角的平分线，AP 、BP 相交于点P ，AQ 的延长线交PB 的延长线于点C ，在点A ，B 的运动过程中，∠P 和∠C 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P 和∠C 的度数；若发生变化，请说明理由．
17．如图，△ABC 和△ADE 有公共顶点A ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC =45°，∠DAE =30°． （1）若DE //AB ，则∠EAC ＝ ；
（2）如图1，过AC 上一点O 作OG ⊥AC ，分别交A B 、A D 、AE 于点G 、H 、F ． ①若AO ＝2，S △AGH ＝4，S △AHF ＝1，求线段OF 的长；
②如图2，∠AFO 的平分线和∠AOF 的平分线交于点M ，∠FHD 的平分线和∠OGB 的平分线交于点N ，∠N +∠M 的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理
由．
18．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形ABC ，点D 是三角形ABC 内一点，连接BD ，CD ，试探究
BDC ∠与A ∠，1∠，2∠之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵180BDC DBC BCD ∠+∠+∠=︒，（______） ∴180BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠，（等式性质） ∵12180A DBC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=︒， ∴12180A DBC BCD ∠+∠+∠=︒-∠-∠， ∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程； （3）利用探究的结果，解决下列问题：
①如图①，在凹四边形ABCD 中，135BDC ∠=︒，25B C ∠=∠=︒，求A ∠=______； ②如图②，在凹四边形ABCD 中，ABD ∠与ACD ∠的角平分线交于点E ，60A ∠=︒，
140BDC ∠=︒，则E ∠=______；
③如图③，ABD ∠，ACD ∠的十等分线相交于点、1F 、2F 、…、9F ，若120BDC ∠=︒，364BF C ∠=︒，则A ∠的度数为______；
④如图④，BAC ∠，BDC ∠的角平分线交于点E ，则B ，C ∠与E ∠之间的数量关系是______；
⑤如图⑤，ABD ∠，BAC ∠的角平分线交于点E ，40C ∠=︒，140BDC ∠=︒，求AEB ∠的度数．
19．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．
①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．
（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452
E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．
20．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．
（1）如图1，写出EAF ∠、AED ∠、EDG ∠之间的数量关系并证明； （2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，求证：EAF AED EDG ∠=∠+∠；
（3）如图3，AI 平分BAE ∠，DI 交AI 于点I ，交AE 于点K ，且EDI ∠：2:1CDI ∠=，
20AED ∠=︒，30I ∠=︒，求EKD ∠的度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）；（2）无法裁出这样的长方形． 【分析】
（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解； （2）设长方形长为cm ，宽为cm ，根据题意列出方程，解方程比较4x 与20的大小 解析：（1）20；（2）无法裁出这样的长方形． 【分析】
（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；
（2）设长方形长为4x cm ，宽为3x cm ，根据题意列出方程，解方程比较4x 与20的大小即可． 【详解】
解：（1）由题意得，大正方形的面积为200+200=400cm 2， ∴cm ；
()2根据题意设长方形长为4x cm ，宽为3x cm ，
由题:
43360x x ⋅= 则230x =
0x
x ∴=
∴长为43020>
∴无法裁出这样的长方形.
【点睛】
本题考查了算术平方根，根据题意列出算式（方程）是解决此题的关键.
2．（1）面积为29，边长为；（2），，，，图见解析． 【分析】
（1）面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标
解析：（1）面积为292）(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ，图见解析． 【分析】
（1）面积等于一个77⨯大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可． 【详解】
解：（1）正方形的面积21
7425292
ABCD S =-⨯⨯⨯=正方形，
（2）建立如图平面直角坐标系， 则(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ．
【点睛】
本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键．
3．符合，理由见解析
【分析】
根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．
【详解】
解：符合，理由如下：
设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，
1.5b×b
解析：符合，理由见解析
【分析】
根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．【详解】
解：符合，理由如下：
设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，
1.5b×b=7350，
∴b=70，或b=-70（舍去），
即宽为70米，长为1.5×70=105米，
∵100≤105≤110，64≤70≤75，
∴符合国际标准球场的长宽标准．
【点睛】
本题考查算术平方根的意义，列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提．
4．（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴
解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴a2=400
又∵a＞0
∴a=20
又∵要裁出的长方形面积为300cm2
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：300÷20=15（cm）
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形
（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2
∴设长方形纸片的长为3x cm，则宽为2x cm
∴6x 2=300
∴x 2=50
又∵x＞0
∴x
=
∴长方形纸片的长为
又∵(2=450＞202
即：＞20
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片
5．8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边
解析：8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
×2×2=8；
解：正方形面积=4×4-4×1
2
正方形的边长
【点睛】
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．记为a ．
二、解答题
6．（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF ∥ST ，设∠CBT=α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）n -1
【分析】
（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB +∠SBA =180°，即可得证；
（2）作CF ∥ST ，设∠CBT =α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据AD ∥BC ，得到∠DAC =120°，求出∠CAE 即可得到结论；
（3）作CF ∥ST ，设∠CBT =β，得到∠CBT =∠BCF =β，分别表示出∠CAN 和∠CAE ，即可得到比值．
【详解】
解：（1）如图，连接AB ，
，
360MAC ACB SBC ∠+∠+∠=︒，
180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，
180MAB SBA ∴∠+∠=︒，
//MN ST ∴
（2）2CAE CAN ∠=∠，
理由：作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，
设CBT α∠=，则2DAE α∠=．
BCF CBT α∠=∠=，60CAN ACF α∠=∠=︒-，
//AD BC ，180120DAC ACB ∠=︒-∠=︒，
12012022(60)2CAE DAE CAN αα∴∠=︒-∠=︒-=︒-=∠．
即2CAE CAN ∠=∠．
（3）作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT β∠=，则MAE n β∠=．
//CF ST ，
CBT BCF β∴∠=∠=，
180180n ACF CAN n n
ββ︒︒-∠=∠=-=， 1801180180(180)n CAE MAE CAN n n n n βββ︒-∠=︒-∠-∠=︒--
+=︒-， 11::1n CAE CAN n n n
-∠∠==-， 故答案为1n -．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式． 7．（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】
（1）如图：过O 作OP//MN ，由MN//OP//GH 得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB
解析：（1）100；（2）75°；（3）n =3．
【分析】
（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，
∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；
（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =
641n n ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =
1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠FAK ，得
144606411
n n n n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 【详解】
解：（1）如图：过O 作OP //MN ，
∵MN //GHl
∴MN //OP //GH
∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°
∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°
∵∠NAO =116°，∠OBH =144°
∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，
∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒，
∴58NAC ∠=︒，
又∵MN //GH ，
∴58CEF ∠=︒；
∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒
∵BD 平分OBG ∠，
∴18DBF ∠=︒，
又∵,CDB ∠=︒35
∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒；
∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（3）设FB 交MN 于K ，
∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641
n MAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=
⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△FAK 中，64601
n BKA FKA F n ∠=∠+∠=
⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．
n 是原方程的根，且符合题意.
经检验：3
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
8．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）
解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出
∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出
∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，
解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣11 22 aβ
+
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；
②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B；EF；CD；∠D；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ．
∴∠FED ＝∠EDC ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝30°，∠EDC ＝1
2∠ADC ＝35°，
∴∠BED ＝∠EBA +∠EDC ＝65°．
答：∠BED 的度数为65°；
②如图2，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF +∠EBA ＝180°．
∴∠BEF ＝180°﹣∠EBA ，
∵AB ∥CD ， ∴EF ∥CD ． ∴∠FED ＝∠EDC ． ∴∠BEF +∠FED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝12α，∠EDC ＝12∠ADC ＝12
β， ∴∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ＝180°﹣1122
a β+． 答：∠BED 的度数为180°﹣1122
a β+． 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 10．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD ．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，
解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以
CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，
所以CD ∥EG ，
所以∠DEG +∠CDE =180°，
所以∠BEG +∠DEG =360°-（∠ABE +∠CDE ），
即∠BED =360°-（∠ABE +∠CDE ），
因为BF 平分∠ABE ，
所以∠ABE =2∠ABF ，
因为DF 平分∠CDE ，
所以∠CDE =2∠CDF ，
∠BED =360°-2（∠ABF +∠CDF ），
由（1）得：因为AB ∥CD ，
所以∠BFD =∠ABF +∠CDF ，
所以∠BED =360°-2∠BFD ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
三、解答题
11．（1），；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t ，OP=2-t ，OQ=2t ，AQ=4-
解析：（1）()2,0C ，()0,4A ；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，再根据S △ODP =S △ODQ ，列出关于t 的方程，求得t 的值即可；
（3）过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，先判定OG ∥AC ，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入
OHC ACE OEC
∠+∠∠进行计算即可． 【详解】
解：（1）∵2a b -+|b -2|=0，
∴a -2b =0，b -2=0， 解得a =4，b =2，
∴A （0，4），C （2，0）．
（2）存在， 理由：如图1中，D （1，2），
由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒，Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒， ∴0＜t ≤2时，点Q 在线段AO 上， 即 CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，
∴S △DOP =12•OP •y D =12（2-t ）×2=2-t ，S △DOQ =12•OQ •x D =1
2×2t ×1=t ，
∵S △ODP =S △ODQ ，
∴2-t =t ，
∴t =1．
（3）结论：OHC ACE OEC ∠+∠∠的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO ，
∴∠GOC +∠ACO =180°，
∴OG ∥AC ， ∴∠1=∠CAO ，
∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4，
如图，过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，则∠4=∠PHC ，PH ∥OG ，
∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4，
∴124414
OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2． 【点睛】
本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
12．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；
（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，
180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，
ACB CED ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
A DF
B ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
DFB D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠，
12ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠，
∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒
解得100α∠=︒
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠， 12PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 13．（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°
【分析】
（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当B
解析：（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°
【分析】
（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC ∥DE 时，当BC ∥EF 时，当BC ∥DF 时，三种情况进行解答即可．
【详解】
解：（1）作EI ∥PQ ，如图，
∵PQ ∥MN ，
则PQ ∥EI ∥MN ，
∴∠α=∠DEI ，∠IEA =∠BAC ，
∴∠DEA =∠α+∠BAC ，
∴α= DEA -∠BAC =60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=45°+30°=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°；
（3）当BC∥DE时，如图1，
∵∠D=∠C=90 ，
∴AC∥DF，
∴∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC ∥DE ，∠CAN =∠DEG =15°，
∴∠BAM =∠MAN -∠CAN -∠BAC =180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM 的度数为30°或90°或120°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
14．（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，
解析：（1）①//MN PQ ，证明见解析，②70DPQ BMQ ∠∠+=︒，（2）160︒或20︒．
【分析】
(1) ①根据//AB CD 和镜像证出NMP QPM ∠=∠，即可判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+即可；
(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可．
【详解】
（1）①//MN PQ ，
证明：∵//AB CD ，
∴NPM QMP ∠=∠，
∵,NMP QMP NPM QPM ∠=∠∠=∠，
∴NMP QPM ∠=∠，
∴//MN PQ ；
②过点Q 作QF ∥CD ，
∵//AB CD ，
∴////AB CD QF ，
∴1BMQ ∠=∠，2QPD ∠=∠，
∴DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+，
∵70MNP MQP ∠=∠=︒，
∴70DPQ BMQ ∠∠+=︒；
（2）如图，当点P 在N 右侧时，过点Q 作QF ∥CD ，
同（1）得，////AB CD QF ，
∴180NP FQP Q ∠=∠+︒，FQM BMQ ∠=∠，
∵PQ CD ⊥，
∴90NPQ ∠=︒，
∴90FQP ∠=︒，
∵70MND PQM ∠=∠=︒，
∴20FQM ∠=︒，
∴20BMQ ∠=︒，
如图，当点P 在N 左侧时，过点Q 作QF ∥CD ，同（1）得，////AB CD QF ， 同理可得，90FQP ∠=︒，
∵70MND ∠=︒，
∴110MNP PQM ∠=∠=︒，
∴20FQM ∠=︒，
∵//AB QF ，
∴180BM FQM Q ∠=∠+︒，
∴160BMQ ∠=︒；
综上，BMQ ∠的度数为160︒或20︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系．
15．（1）120º，120º；（2）160；（3）
【分析】
（1）过点作，，根据 ，平行线的性质和周角可求出，则 ，再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，
解析：（1）120º，120º；（2）160；（3）
()1360n m n -⋅- 【分析】
（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周
角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据 ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13
CAD FAC ∠=∠， 13
CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠求解即可；
【详解】
解：（1）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ， ∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，
∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒，
∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403
CAD FAC ∠=∠=︒
∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，
∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ， ∴ACG FAC m ∠=∠=︒，
∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，
∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n
︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-
︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-
=︒， ∴()
1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n
-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=
-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：
()1360n m n
-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
四、解答题
16．(1)∠AQB 的大小不发生变化，∠AQB ＝135°；(2)∠P 和∠C 的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.
【分析】
第(1)题因垂直可求出∠ABO 与∠BAO 的和，由角平分线和角的和差可求出∠BA 解析：(1)∠AQB 的大小不发生变化，∠AQB ＝135°；(2)∠P 和∠C 的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.
【分析】
第(1)题因垂直可求出∠ABO 与∠BAO 的和，由角平分线和角的和差可求出∠BAQ 与∠ABQ 的和，最后在△ABQ 中，根据三角形的内角各定理可求∠AQB 的大小．
第(2)题求∠P 的大小，用邻补角、角平分线、平角、直角和三角形内角和定理等知识求解．
【详解】
解：(1)∠AQB 的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：
∵m ⊥n ，
∴∠AOB ＝90°，
∵在△ABO 中，∠AOB+∠ABO+∠BAO ＝180°，
∴∠ABO+∠BAO ＝90°，
又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠BAQ＝1
2∠BAC，∠ABQ＝1
2
∠ABO,
∴∠BAQ+∠ABQ＝1
2 (∠ABO+∠BAO)＝
1
9045
2
⨯=
又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．
(2)如图2所示：
①∠P的大小不发生变化，其原因如下：
∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°
∠BAQ+∠ABQ＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，
又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，
∴∠PAB＝1
2∠EAB，∠PBA＝1
2
∠ABF，
∴∠PAB+∠PBA＝1
2 (∠EAB+∠ABF)＝
1
2
×270°＝135°，
又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠P＝180°﹣135°＝45°．
②∠C的大小不变，其原因如下：
∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣135°，
又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°
∠ABQ＝∠QBO＝1
2
∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，
∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，
又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，
∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，垂直，角平分线，平角，直角和角的和差等知识点，同时，也是一个以静求动的一个点型题目，有益于培养学生的思维几何综合题．
17．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，
∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，
∴AO=OG=2，
∵S△AHG=1
2•GH•AO=4，S△AHF=1
2
•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，
∵MF ，MO 分别平分∠AFO ，∠AOF ，
∴∠M =180°-12（∠AFO +∠AOF ）=180°-12（180°-∠FAO ）=90°+1
2∠FAO ，
∵NH ，NG 分别平分∠DHG ，∠BGH ，
∴∠N =180°-12（∠DHG +∠BGH ）
=180°-12（∠HAG +∠AGH +∠HAG +∠AHG ）
=180°-12（180°+∠HAG ）
=90°-12∠HAG
=90°-12（30°+∠FAO +45°）
=52.5°-12∠FAO ，
∴∠M +∠N =142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO 表示出∠M ，∠N ． 18．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断； （2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外
解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①85A ∠=︒；②100E ∠=︒；③40A ∠=︒；④2B C E ∠-∠=∠；⑤130︒
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长BD 交AC 于E ，然后根据外角的性质确定1BEC A ∠=∠+∠，2BDC BEC ∠=∠+∠，即可判断BDC ∠与A ∠，1∠，2∠之间的关系；
（3）①连接BC ，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；
②连接BC ，然后根据（1）中结论，求得ABD ACD ∠+∠的和，进而得到DBC DCB ∠+∠的和，然后根据角平分线求得EBD ECD ∠+∠的和，进而求得80EBC ECB ∠+∠=︒，然后利
用三角形内角和定理180E EBC ECB ∠+∠+∠=︒，即可求解；
③连接BC ，首先求得18060DBC DCB BDC ∠+∠=︒-∠=︒，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到333180=116CBF BC F F B C =︒-∠︒∠+∠，然后得到ABD ACD ∠+∠的和，最后根据（1）中结论即可求解；
④设BD 与AE 的交点为点O ，首先利用根据外角的性质将∠BOE 用两种形式表示出来，然后得到BAE ABD E BDE ∠+∠=∠+∠，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断； ⑤根据（1）问结论，得到BAC ABD ∠+∠的和，然后根据角平分线的性质得到BAE ABE ∠+∠的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．
【详解】
（1）∵180BDC DBC BCD ∠+∠+∠=︒，（三角形内角和180°）
∴180BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠，（等式性质）
∵12180A DBC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=︒，
∴12180A DBC BCD ∠+∠+∠=︒-∠-∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．（等量代换）
故答案为：三角形内角和180°；等量代换．
（2）如图，延长BD 交AC 于E ，
由三角形外角性质可知，
1BEC A ∠=∠+∠，2BDC BEC ∠=∠+∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．
（3）①如图①所示，连接BC ，
，
根据（1）中结论，得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠，
∴=135252585A BDC ABD ACD ∠=∠-∠-∠︒-︒-︒=︒，
∴85A ∠=︒；
②如图②所示，连接BC ，。