吉林省2020学年高一数学上学期期末联考试题

第一学期期末考试
高一数学
）
（考试时间：120 分钟。

试卷满分：150分。

1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．将答案填在相应的答题卡内，在试题卷上作答无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个选项是最符合题意的。

1．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是A．{1，8} B．{2，3}
C．{0} D．{9}
2．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为
正视图俯视图
3．下列函数中是奇函数的是
A B C D
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝1－x3
1 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝x＋
x
－1
)
4．化简
125 (
3的结果是
27
3
A．
5
B ．5
3 C ．3
D ．5
5．已知直线x ＋4y ＋a ＝0与直线x ＋4y ＝0 的距离为1，则a 的值为
A ．±2
B ．±
C ．±4
D ．±
6．函数y ＝log 2.6(6＋x －x 2)的单调增区间是
A ．（－∞，1
]
B ．[1
，＋∞）
2
2 C ．（－2，1]
D ．[1
，3）
2
2
7．已知直线l ：y －1＝k (x －2)，点A （1，0），B （0，4），若直线l 与线段AB 有公共
点，则其 斜率k 的取值范围是 A ．（－1，1）
B ．（1，3）
5
C ．（1，＋∞）
D ．（－3
，1）
2 15
17
8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下命题：
①若α，β垂直于同一条直线m ，则α与β平行； ②若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；
③若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线； ④若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面． 其中正确的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④
D ．②③④
9．函数y ＝－1
＋1 的图象是下列图象中的
A B C
D
10．若直线kx
＋y ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2
，则直线kx ＋y ＝0任意一点P 与
Q （0，2）的距离的最小值为
2
A．1 B．
C．D．
23
3
11．已知A，B是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O－ABC的体积取得最大值时，则过A、B、C三点的截面的面积为
A．6πB．12π
C．18πD．36π
12．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2 步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n) 表示第n s时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是
A．P(18)＝6 B．P(101)＝21
C．P(2 023)＜P(2025) D．P(2 017)＜P(2018)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在空间直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，1，0），B（5，－1，8）．若点C为A，B
的中点，则AC＝．
3
2x，0≤x≤2
14．已知函数f(x)＝
2
x－4，x＞2
，若 f (x 0)＝8，则 x 0＝ ．
15．已知f (x )是定义域在［－2，0）∪（0，2］上的偶函数，当x ＞0时，f (x )的图象
．
16．已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝45°，DC ＝1，
AB ＝2．若M ，N 分别为PA ，PC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成的角是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10 分）
已知集合A ＝{x |x ≤a ＋5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞6}． （1）若a ＝－2，求A ∩∁R B ． （2）若A ⊆B ，求a 的取值范围．
18．
（12 分）
已知：直线l：2x＋3y＋1＝0，点A
（1，－2）．求：（1）过点A 且与直
线l平行的直线m方程．
（2）过点A且与直线l 垂直的直
线n的方程．
（12 分）
19．
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋10，x∈［－10，10］．
（1）当a＝－1时，求函数的最大值和最小值．
（2）求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间［－10，10］上是单调减函数．20．
（12 分）
已知：圆C 与直线2x－y＝0及x－2y＝0都相切，圆心在直线y
＝x＋2上．求：圆C的方程．
21．
（12 分）
ax＋b
已知函数f(x)＝（a∈N*，b∈R，0＜c≤1）是定义域在［－1，1］上的奇函数，f (x)
x2＋c
的最大值为1．
2
（1）求函数f(x)的解析式．
（2）关于x 的方程log2f(x)－m＝0在［1
，1］上有解，求实数m的
取值范围．
2 22．
（12 分）
C E
如图所示，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，△ACD是直角三角形，
且
AD＝CD，且BD＝2，E为DB的中点．D
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC．
（2）求二面角E－AC－B的大小．
B
A
答案
一、选择题：本大题共12小题，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，共20分。

13．213
14．2
15．（2，3] 16．45°
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．（10分）
解：（1）当a＝－2时，集合A＝{x|x≤3}，∁R B＝{x|－1≤x≤6}；
∴A∩∁R B＝{x|－1≤x≤3}．
……5分
（2）∵A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x＜－1 或x＞6}，
A⊆B，
∴a＋5＜－1，
∴a＜－6．
……10分
18．（12分）
解：（1）因为直线m与l平行，所以设直线m的方程
为：2x＋3y＋a＝0，又因为直线m 过点A，
所以2×1＋3×(－2)＋a＝0，则a＝4，
所以直线m的方程为：2x＋3y＋4＝0．
……6分
（2）因为直线n与直线l垂直，所以设直线n的方
程为：3x－2y＋b＝0，又因为直线n过点A，
所以3×1－2
×(－2)＋b
＝0，则b＝－
7，
所以直线n的方程为：3x－2y－7＝0．
……12分
19．（12分）
解：（1）a＝－1，f(x)＝x2－2x＋10．
对称轴x＝1，f(x)min＝f(1)＝9，f(x)max＝f(－10)＝130，
∴f (x)max＝130，f(x)min＝9．
……8分
（2）对称轴x＝－a，当－a≥10 时，f(x)在［－10，10］上单调减函数，∴a≤－10．
……12分
20．（12分）
解：因为圆C与直线2x－y＝0及x－2y
＝0 都相切，所以圆心C到直线直线
2m－(m＋2)
5 m－2(m＋2)
5
2x－y＝0及x－2y＝0的距离相等．
设圆心C 为（m，m＋2），则＝，
……6分
解得：m＝－1．
此时，圆心C（－1，1），半径r＝3，
5
则圆C的方程为：(x＋1)2＋(y－1)2＝9．
……12分
5 21．（12分）
解：（1）f (x)＝ax＋b
（a∈N*，b∈R，0＜c≤1）是定义域在［－1，1］上的奇
函数，
x2＋c
所以f (0)＝0，得b＝0，又f(x)＝
ax ，
x2＋c
易得f(1)max＝
a 1＋c
＝1，
2
从而a＝1＋c
，2
所以a＝1，c＝1．故f (x)＝
x x2＋1
． ……6分
（2）关于x 的方程log 2f (x )－m ＝0 在［1，1］上有解，
2
即m ＝log 2f (x )在［1，1］上有解，
2
令h (x )＝log 2
x x2＋1
，则h(x)＝log2
x x＋1
在［，1］上单调性递增函数，2
所以h(x)＝log2
x x＋1
3D
C
E O
在［，1］上的值域为［1－log25，－1］，
2
从而，实数m的取值范围［1－log25，－1］．
……12分
22．（12分）
（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接OB，OD，
因为△ABC是边长为2的正三角形，△ACD是直角三角
形，且AD＝CD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
所以∠DOB是二面角D－AC－B的平面角．
……3分
因为OD＝1，OB＝，BD＝2，
所以OD2＋OB2＝BD2，即OB⊥OD，
所以二面角D－AC－B是直二面角，A
B
……5分
因此，平面ACD⊥平面ABC．
……6分
（2）解：由（1）可得AC⊥平面BOD，且
∠OBD＝30°，所以AC⊥OE，
所以∠EOB是二面角E－AC－B的平面角．……9分在直角△B 所以OE＝EB，
所以∠BOE＝∠
OBD＝30°，
即二面角E－AC－B的大小是30°．
……12分。