北京汇文中学中学部2021年高二数学文模拟试题含解析

北京汇文中学中学部2021年高二数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2﹣（b﹣c）2，则tan=（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由余弦定理及三角形面积公式化简已知等式可得bcsinA=2bc（1﹣cosA），整理可得=，利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可求值．
【解答】解：∵b2+c2﹣a2=2bccosA，S=bcsinA．
又∵△ABC的面积S=a2﹣（b﹣c）2=﹣（b2+c2﹣a2）+2bc，
∴bcsinA=2bc（1﹣cosA），
即有=，
又==tan=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式，考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
2. 圆C1: x 2 + y 2－4x + 6y = 0 与圆C2: x 2 + y 2－6x = 0 的交点为A、B，则AB的垂直平分线方程为( )
A. x + y + 3 = 0
B. 2x －5y －5= 0
C. 3x －y －9 = 0
D. 4x －3y + 7 = 0 参考答案：
C
略
3. 设满足约束条件则的取值范围是（）
A． B． C. D．
参考答案：
D
4. 等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线
交于两点,;则的实轴长为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为() 图21－
3
A．a＝5，i＝1 B．a＝5，i＝2
C．a＝15，i＝3 D．a＝30，i＝6
参考答案：
D
6. 已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )
A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a个单位得到，可发现此时
e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；
当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有
lna=，解得a=，
因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．
7. “”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
充分性：在为增函数，
若，则有，所以充分性成立.
必要性：若，取，
则都没有意义，所以必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A.
8. 函数的递增区间是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 函数的单调增区间为
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： D
10. 若直线 过
点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）条
A. 1条
B.2 条
C.3条
D.以上都不对
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点
作一直线与椭圆
相交于A 、B 两点，若
点恰好为弦
的中点，则
所在
直线的方程为__________．
参考答案：
略
12. 在数列
中，
，
，则
______________
参考答案：
13. 下列说法： ① “
，使
>3”的否定是“
，使
3”；
② 函数的最小正周期是
；
③ “在中，若，则
”的逆命题是真命题； ④ “”是“直线
和直线
垂直”的充要条件；其中正确
的说法是
（只填序号）.
参考答案：
①②③
14. 已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图示．
x ﹣1 0 4 5 f （x ）
1
2 2
1
下列关于f （x ）的命题：
①函数f （x ）的极大值点为0，4；
②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；
⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是 ．
参考答案：
①②⑤
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是4，当
2≤t≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由f （x ）=a 知，因为极小值f （2）未知，所以无法判断函数y=f （x ）﹣a 有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．
【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f'（x ）＞0，函数单调递增，当0＜x ＜2或4＜x ＜5，f'（x ）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，当x=2时，函数取得极小值f （2），所以①正确；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
15. 设，，，则a，b，c的大小关系为__________．
参考答案：
【分析】
利用分析法比较b与c的大小，再同理比较与，与的大小即可．
【详解】
，成立，
故；
又，
；
综上知，．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等关系与不等式，突出分析法在比较大小中的应用，属于中档题．
16. 已知函数，则＝______________。

参考答案：17. 矩阵A＝
的逆矩阵为
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数
（Ⅰ）若,
( i )求的值；
（ ii）在
（Ⅱ）当上是单调函数，求的取值范围。

（参考数据
参考答案：
解析：（Ⅰ）( i )，定义域为。

………………………1分
处取得极值，
……………
……………2分
即
……………………………4分
（ii）在，由，
；
当;
;
. ………………………6分
而，
，
且
又
，
………………9分
（Ⅱ）当，
①；
②当时，，
③，
从面得;
综上得，
. …………………14分19. （本小题满分12分）
已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；
（Ⅰ）求点M的轨迹的方程；
（Ⅱ）若曲线C上存在两点A，B关于直线l:对称，求直线AB的方程．
参考答案：
（1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是：（或由
化简得）……6分
（2）设则相减得
又的斜率为－4则
中点的坐标为，即
经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意. …………12分
20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．
21. 已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围。

参考答案：略
22. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB=bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积S=b2，求的值．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得： sinAcosB=sinBsinA，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由三角形面积公式可求b2=ac，进而利用余弦定理可得2ac=a2+c2，即可解得的值．
【解答】解：（1）∵acosB=bsinA．
∴由正弦定理可得： sinAcosB=sinBsinA．
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴解得： cosB=sinB，可得：tanB=，
∵B∈（0，π），
∴B=．
（2）∵B=，△ABC的面积S=b2=acsinB=，
∴b2=ac，
又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，可得：2ac=a2+c2，
∴（）2﹣2×+1=0，解得： =1．。