天门2019中考数学热身卷②详解

天门2019中考数学热身卷②详解
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．D．﹣
【分析】依据相反数的定义回答即可．
解：3的相反数是﹣3．
【答案】A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列各式的变形中，正确的是（）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2B．﹣x＝
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1D．x÷（x2+x）＝+1
【分析】根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．
解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，正确；
B、，错误；
C、x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）＝，错误；
【答案】A
【点评】此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（）
A．7B．8C．9D．10
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．
解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个
几何体的小正方体最多为3+6＝9个．
【答案】C
【点评】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
4．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（k＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、B；过点Q分别作x轴、y 轴的垂线，垂足为点C、D，QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）
A．增大B．减小
C．先减小后增大D．先增大后减小
【分析】首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n 表示，然后根据函数的性质判断．
解：AC＝m﹣1，CQ＝n，
＝AC•CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．
则S
四边形ACQE
∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴mn＝k＝4（常数）．
＝AC•CQ＝4﹣n，
∴S
四边形ACQE
∵当m＞1时，n随m的增大而减小，
＝4﹣n随m的增大而增大．
∴S
四边形ACQE
【答案】A
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．
5. 为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A．报纸．B．电视．C．网络，D．身边的人．E．其
他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷．先随机抽取50名中学生进行该
问卷调查．根据调查的结果绘制条形图如图．该调查的方式是（），图中的a的值是（）
A．全面调查，26B．全面调查，24
C．抽样调查，26D．抽样调查，24
【分析】根据题意得到此调查为抽样调查，由样本容量求出a的值即可．
解：根据题意得：该调查的方式是抽样调查，a＝50﹣（6+10+6+4）＝24，
【答案】D
【点评】此题考查了条形统计图，以及全面调查与抽样调查，弄清题意是解本题的关键．6.．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB的三个顶点都在
格点上，现将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，则点A经过的路径弧AC的长为（）
A
．B．πC．2πD．3π
【分析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可．
解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，
∴∠AOC＝90°，
∵OC＝3，
∴点A经过的路径弧AC的长＝，
【答案】A
【点评】此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．
7．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．无实数根
【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算
△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【答案】B
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．某蓄水池的横断面示意图如图，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水下降的速度由快到慢，直至水全部流出，用排除法解题即可．
解：∵蓄水池的水已住满，
∴C不正确，
∵水下降的速度由快到慢，
∴A、B都不正确，
【答案】D
【点评】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9. 已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置
关系为（）
A．相离B．相切
C．相交D．相切、相交均有可能
【分析】分别从若直线L与⊙O只有一个交点，即为点P与若直线L与⊙O有两个交点，其中一个为点P，去分析求解即可求得答案．
解：∵若OP⊥直线L，则直线L与⊙O相切；
若OP不垂直于直线L，则O到直线的距离小于半径4，
∴直线L与⊙O相交；
∴直线L与⊙O的位置关系为：相交或相切．
【答案】D
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y
轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任
意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下
移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程
ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【答案】C
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式：4m2﹣16n2＝．
【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
【答案】4（m+2n）（m﹣2n）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝．
【分析】根据白球的概率公式＝列出方程求解即可．
解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，根据古典型概率公式知：P（白球）＝＝，
解得：n＝8，
【答案】8
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k等于．
【分析】设点C坐标为（a，），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC＝2AB＝2，可求出a的值，继而得出k的值．
解：设点C坐标为（a，），（k＜0），点D的坐标为（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（，）＝（，），
则x＝a﹣1，y＝，
代入y＝，可得：k＝2a﹣2a2 ①；
在Rt△AOB中，AB＝＝，
∴BC＝2AB＝2，
故BC2＝（0﹣a）2+（﹣2）2＝（2）2，
整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，
将①k＝2a﹣2a2，代入后化简可得：a2＝4，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．
【答案】﹣12
方法二：
因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0）
根据K的几何意义，|﹣a|×|2+b|＝|﹣1﹣a|×|b|，
整理得2a+ab＝b+ab，
解得b＝2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD＝2，AH＝a，DH＝b＝2a．
AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，
得a＝2．
所以D坐标是（﹣3，4）
所以|K|＝12，由函数图象在第二象限，
所以k＝﹣12．
【答案】﹣12
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了
平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出
点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC＝2AB＝2，得出方程，难度较大，注意仔细运算．
14．某校初三（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为 1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为米．（已知≈1.732结果精确到0.1米）
【分析】在Rt△ABC中，知道已知角的邻边求对边，用正切函数即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝6，
故BC＝6×tan60°＝6．
BE＝BC+CE＝6+1.5≈11.9（米）．
【点评】本题是组合图形，应先分解图形．考查了灵活转换问题的能力．
15．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC 为度．
【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再根据平角的度数是180°，∠ABE＝20°，继而即可求出答案．
解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
又∵∠ABE＝20°，
∴∠DBC＝70°．
【答案】70
【点评】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′是解题的关键．16．如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB＝BC＝DA＝1，CD＝2，按图中所示的规律，用2009个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是．
【分析】本题的关键是从图片中找出规律，找出当n等于1、2、3、4…等时，的周长，从中找出它们的规律，依此来计算当n＝2009时的周长．
解：由图片知：
当n＝1时，即有1个这样的梯形组成的四边形的周长为：5
当n＝2时，即有2个这样的梯形组成的四边形的周长为：5+5﹣2
当n＝3时，即有3个这样的梯形组成的四边形的周长为：5+5﹣2+5﹣2
…
当n＝2009时，即有2009个这样的梯形组成的四边形的周长为：5+2008×（5﹣2）＝6029【答案】6029．
【点评】找到梯形的个数与组成的四边形的周长之间的关系是解决本题的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣tan45°．【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
解：原式＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的
关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．
解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
19．（7分）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF ＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．
证明：∵△BEO≌△DFO，
∴OF＝OE，DO＝BO，
又∵AF＝CE，
∴AO＝CO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
20．（7分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有200人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
解：（1）根据题意得：20÷＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝＝．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13．
（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；
（2）求四边形OAFC的面积？
【分析】（1）易得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），把D（3，2）代入，得k＝6，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m＝，确定点E的坐标为（，4），然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
（2）连接AC，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝4，利用勾股数易得AC＝5，则有AC2+AF2＝52+122＝132＝CF2，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF＝90°，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
解：（1）依题意，得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），
将D（3，2）代入，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为；
设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m＝
，
∴点E 的坐标为（，4）， 设直线OE 的解析式为y ＝k 1x ， 将（，4）代入得k 1＝， ∴直线OE 的解析式为y ＝x ；
（2）连接AC ，如图，
在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC ＝5，
而AF ＝12，CF ＝13．
∴AC 2+AF 2＝52+122＝132＝CF 2， ∴∠CAF ＝90°，
∴S 四边形OAFC ＝S △OAC +S △CAF ＝×3×4+×5×12 ＝6+30 ＝36．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法． 22．（8分）如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC ＝∠A ，连接OE 延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为6，BC ＝8，求弦BD 的长．
【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝DE，OE⊥BD，＝，由圆周角定理得出∠BOE＝∠A，证出∠OBE+∠DBC＝90°，得出∠OBC＝90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝＝10，
∵△OBC的面积＝OC•BE＝OB•BC，
∴BE＝＝＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD的长为9.6
【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
23．（9分）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
设当单价从40元/千克下调了x元时，销售量为y千克；
（1）写出y与x间的函数关系式；
（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？
（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？
（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？【分析】（1）由图表售价与销售量关系可以写出y与x间的函数关系式，（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量，列出w与x的关系式，求得最大值，（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克得x＝40﹣32＝8，m≤销售量×天数，（4）由二次函数的解析式求出利润最大时，x的值，然后求出m．
解：（1）y＝60+5x
（2）w＝（40﹣x﹣20）y＝﹣5（x﹣4）2+1280
∴下调4元时当天利润最大是1280元
（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克
得x＝40﹣32＝8，
此时y＝60+5x＝100，
∴m≤100×（30﹣7）＝2300，
答：一次进货最多2300千克
（4）下调4元时当天利润最大，
由x＝4，y＝60+5x＝80，m＝80×（30﹣7）＝1840千克
∴每次进货1840千克，售价36元/千克时，销售部利润最大．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润＝（售价﹣成本）×销售量，列出w与x的关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
24．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB＝6，BC＝8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当点R在线段AC上时，求出t的值．
（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t 为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．
【分析】（1）根据三角形相似可得，即，解答即可；
（2）根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可；
（3）根据△LRE是等腰三角形满足的条件．
解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：，
设MP为t，则PR＝2t，AP＝4﹣t，
∴可得：，即，
解得：t＝；
（2）当时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0；当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积＝
，
；
当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积＝×[2t﹣（4+t）+2t﹣（4﹣t）]•2t＝4t2﹣6t．
当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积＝×[（4﹣t）+6﹣（4﹣t）]×2t＝×2t×6＝6t．
当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S＝；
综上所述S与t之间的函数关系式为：S＝．
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，
①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL＝ER．此时t＝4s，△LRE 是等腰三角形；
当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL＝ER．此时t＝8s，△LRE是等腰三角形；
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8；
②当EL＝LR时，如图所示：
LR＝2t，CF＝NL＝4﹣t，则EF＝2t﹣4．FL＝CN＝6﹣2t，
则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2＝EF2+FL2＝（2t﹣4）2+（6﹣2t）2．
故由EL＝LR得到：EL2＝LR2，即4t2＝10t2﹣40t+52，
整理，得
t2﹣10t+13＝0，
解得t1＝5+2（舍去），t2＝5﹣2．
所以当t＝5﹣2（s）时，△LRE是等腰三角形；
同理，当ER＝LR时，．
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t＝4s，或t＝8s或
s或s时，△LRE是等腰三角形．
【点评】本题是矩形的判定和性质以及三角形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．
25. （12分）在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，
按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n 为正整数）．
（1）直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3；
（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；
（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；
②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交
点坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）先求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y ＝x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；
（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y＝x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x＝2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x＝5，同理可得出直线L2的解析式；
（3）①同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，求出x的值，由A1D1＝﹣D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；
②由①中的结论可知点D1、D2、…，D n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y＝x+1的交点坐标即可．
解：（1）∵令x＝0，则y＝1，
∴A1（0，1），
∴OA1＝1．
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1）．
∵当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴B2（3，2）；
同理可得，B3（7，4）．
故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；
（2）抛物线L2、L3的解析式分别为：y＝﹣（x﹣2）2+3；，y＝﹣（x﹣5）2+6；抛物线L2的解析式的求解过程：
对于直线y＝x+1，设x＝0，可得y＝1，A1（0，1），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴C1（1，0），
又∵点A2在直线y＝x+1上，
∴点A2（1，2），
又∵B2的坐标为（3，2），
∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线L2的顶点为（2，3），
设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，
∵L2过点B2（3，2），
∴当x＝3时，y＝2，
∴2＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣1，
∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；
抛物线L3的解析式的求解过程：
又∵B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），
∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，
∴抛物线L3的顶点为（5，6），
设抛物线L3的解析式为：y＝a（x﹣5）2+6，
∵L3过点B3（7，4），
∴当x＝7时，y＝﹣4，
∴4＝a×（7﹣5）2+6，解得：a＝﹣，
∴抛物线L3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；
猜想抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；
（猜想过程：方法1：可由抛物线L1、L2、L3…的解析式：
∵y＝﹣2（x﹣）2+，y＝﹣（x﹣2）2+3，y＝﹣（x﹣5）2+6…，归纳总结；方法2：可由正方形A n B n∁n C n﹣1顶点A n、B n的坐标规律A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1）与
B n（2n，2n﹣1），再利用对称性可得抛物线L n的对称轴为直线x＝，即x ＝＝3×2n﹣2﹣1，又顶点在直线y＝x+1上，
所以可得抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．
故答案为：（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；
（3）①、k1与k1的数量关系为：k1＝k2，
理由如下：同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，
当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3解得：x1＝2﹣，x2＝2+，
∴x＝2﹣，
∴A1D1＝2﹣＝（﹣1），
∴D1B1＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴A1D1＝﹣D1B1，即k1＝；
同理可求得A2D2＝4﹣2＝2（﹣1），
D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），
A2D2＝﹣D2B2，即k2＝，
∴k1＝k2；
②∵由①知，k1＝k2，
∴点D1、D2、…，D n在一条直线上；
∵抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴当y＝1时，x＝2﹣，
∴D1（2﹣，1）；
同理，D2（5﹣2，2），
∴设直线D1D2的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线D1D2的解析式为y＝（3+）x+﹣3，
∴，解得，
∴这条直线与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键．。