江苏省南通市2016届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题

南通市2016届高三教学情况调研（三）
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2016．3 参考公式：
棱锥的体积公式：V 棱锥＝1
3
Sh ，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．
(第3题)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为____________．
2. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为____________．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是__________．
4. 为了解一批灯泡(共5 000只)的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命(单位：h)如下表：
使用寿命 [500，700)
[700，900)
[900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500]
只数
5
23
44
25
3
根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1 100 h 的灯泡只数是__________．
5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是__________．
(第6题)
6. 已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．
7. 设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为____________．
8. 在等比数列{a n }中，a 2＝1，公比q ≠±1.若a 1，4a 3，7a 5成等差数列，则a 6的值是________．
9. 在体积为
3
2
的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，则CD 长度的所有值为____________．
10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．
(第12题)
11. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )．若
当x ∈[0，2)时，f (x )＝|x 2
－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．
12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3.点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →
的最大值是____________．
13.设实数x ，y 满足x 2
4
－y 2＝1，则3x 2
－2xy 的最小值是__________．
14.若存在α，β∈R ，使得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝cos 3β＋α2cos β，α≤t ≤α－5cos β，
则实数t 的取值范围是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15. (本小题满分14分)
在斜三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1. (1) 求C 的值；
(2) 若A ＝15°，AB ＝2，求△ABC 的周长．
16. (本小题满分14分)
如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，BC ，C 1D 1的中点．求证： (1) AP ∥平面C 1MN ；
(2) 平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN .
17.(本小题满分14分)
植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形AEB (∠AEB ＝90°)，如图1所示，其中AE ＋EB ＝30 m ； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB (AB ＞EF )，如图2所示，其中AE ＝EF ＝BF ＝10 m. 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
.A 为椭圆上异于
顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →
.
(1) 若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；
(2) 设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →
，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求
实数m 的值．
19. (本小题满分16分)
设函数f (x )＝(x ＋k ＋1)x －k ，g (x )＝x －k ＋3，其中k 是实数．
(1) 若k ＝0，解不等式x ·f (x )≥1
2x ＋3·g (x )；
(2) 若k ≥0，求关于x 的方程f (x )＝x ·g (x )实根的个数．
20. (本小题满分16分)
设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和S n ＝14
(a n ＋1)2，n ∈N *
.
(1) 求证：数列{a n }为等差数列；
(2) 等比数列{b n }的各项均为正数，b n b n ＋1≥S 2n ，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得b k b k ＋1＝S 2
k . (ⅰ) 求数列{b n }公比q 的最小值(用k 表示)；
(ⅱ) 当n ≥2时，b n ∈N *
，求数列{b n }的通项公式．
2016届高三教学情况调研(三)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交
AC 于点E .求证：DE ⊥AC .
B. (选修42：矩阵与变换)
在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1
0 0
1对应的变换作用下得到点A ′，
将点B (3，4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．
C. (选修44：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5
5t ，y ＝－1＋25
5t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，
y ＝cos2θ(θ为参
数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
D. (选修45：不等式选讲)
已知a ，b ，c ∈R ，4a 2＋b 2＋2c 2
＝4，求2a ＋b ＋c 的最大值．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次
时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N *
)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．
(1) 求概率P (X ＝0)的值；
(2) 为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值． (注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)
23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中a i∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．
(1) 当k＝2时，求m(1)的值；
(2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．
2016届高三教学情况调研(三)(南通市)
数学参考答案
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 35 2. 1 3. 17 4. 1 400 5. 25 6. 9
2 7. 2 8. 149 9. 7，19 10. 4 11. 7 12. 214
13. 42＋6 14. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，1
二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15. 解：(1) 因为tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1， 即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，
因为在斜三角形ABC 中，1－tan A tan B ≠0，
所以tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝1，(4分)
即tan (180°－C)＝1，亦即tan C ＝－1， 因为0°<C<180°，所以C ＝135°.(6分) (2) 在△ABC 中，A ＝15°，C ＝135°， 则B ＝180°－A －C ＝30°. 由正弦定理BC
sin A ＝CA sin B ＝AB sin C ， 得
BC sin 15°＝CA sin 30°＝2
sin 135°
＝2，(9分)
故BC ＝2sin 15°＝2sin (45°－30°) ＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝6－2
2
，(12分) CA ＝2sin 30°＝1.
所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝2＋1＋6－22＝2＋6＋2
2
.(14分) 16.证明：(1) 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，
因为M ，P 分别为棱AB ，C 1D 1的中点， 所以AM ＝PC 1.
又AM∥CD，PC 1∥CD ，故AM∥PC 1， 所以四边形AMC 1P 为平行四边形． 从而AP∥C 1M.(4分)
又AP ⊄平面C 1MN ，C 1M ⊂平面C 1MN ， 所以AP∥平面C 1MN ；(6分)
(第16题)
(2) 连结AC ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD.
又M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，故MN∥AC. 所以MN⊥BD.(8分)
在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD. 又MN ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥MN.
而DD 1∩DB ＝D ，DD 1，DB ⊂平面BDD 1B 1， 所以MN⊥平面BDD 1B 1.(12分) 又MN ⊂平面C 1MN ，
所以平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN.(14分)
17. 解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2. 方案① 设AE ＝x ，则S 1＝1
2
x(30x －x)(3分)
≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（30－x ）22＝2252(当且仅当x ＝15时，
“＝”成立)．(5分) 方案② 设∠BAE＝θ，则S 2＝100sin θ(1＋cos θ)，θ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2.(8分)
由S′2＝100(2cos 2
θ＋cos θ－1)＝0得，
cos θ＝12
(cos θ＝－1舍去)．(10分)
因为θ∈⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，π2，所以θ＝π
3，列表：
θ ⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3 π
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π2
S ′2 ＋ 0 － S 2
极大值
所以当θ＝π
3
时，(S 2)max ＝75 3.(12分)
因为2252<753，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE＝π3
.
答：方案①，②苗圃的最大面积分别为2252 m 2，75 3 m 2
，建苗圃时用方案②，且∠BAE＝π3.(14
分)
18. 解：(1) 因为OP →＝2AO →
，而P(2，2)， 所以A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－
22. 代入椭圆方程，得1a 2＋1
2b 2＝1， ①(2分)
又椭圆的离心率为2
2，所以
1－b 2
a 2＝2
2
. ②(4分) 由①②，得a 2
＝2，b 2
＝1， 故椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.(6分)
(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)．
因为OP →＝2AO →
，所以P(－2x 1，－2y 1)．
因为BP →＝mBC →
，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m(x 3－x 2，y 3－y 2)，
即⎩
⎪⎨⎪⎧－2x 1－x 2＝m （x 3－x 2），－2y 1－y 2＝m （y 3－y 2）， 于是⎩⎪⎨⎪⎧x 3
＝m －1m x 2
－2
m x 1
，y 3
＝m －1m y 2
－2m y 1
，
(9分)
代入椭圆方程，得
⎝
⎛⎭⎪⎫m －1m x 2－2m x 12a
2
＋
⎝
⎛⎭⎪⎫
m －1m y 2－2m y 12b
2＝1，
即4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2＋y 2
1b 2＋（m －1）2
m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
2a 2＋y 2
2b 2－4（m －1）m 2
·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2a
2＋y 1y 2b 2＝1. ③(12分) 因为A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 2
2
b 2＝1. ④
因为直线OA ，OB 的斜率之积为－1
2
，
即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2
b 2＝0. ⑤(14分) 将④⑤代入③，得4m 2＋（m －1）2
m 2
＝1，解得m ＝52.(16分) 19.解：(1) k ＝0时，f(x)＝(x ＋1)x ，
g(x)＝x ＋3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3≥0得x≥0.(2分) 此时，原不等式为(x ＋1)x≥1
2(x ＋3)，
即2x 2
＋x －3≥0， 解得x≤－3
2
或x≥1.
所以原不等式的解集为[1，＋∞)．(5分) (2) 由方程f(x)＝x·g(x)得， (x ＋k ＋1)x －k ＝x x －k ＋3. ①
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －k≥0，x －k ＋3≥0得x≥k，所以x≥0，x －k ＋1>0. 方程①两边平方，整理得
(2k －1)x 2－(k 2－1)x －k(k ＋1)2
＝0(x≥k)． ②(7分) 当k ＝12时，由②得x ＝3
2
，所以原方程有唯一解．
当k≠12
时，由②得判别式Δ＝(k ＋1)2(3k －1)2
，
i ) k ＝13时，Δ＝0，方程②有两个相等的根x ＝43>13
，
所以原方程有唯一的解．(10分)
ii ) 0≤k<12且k≠13
时，方程②整理为[(2k －1)x ＋k(k ＋1)](x －k －1)＝0，
解得x 1＝k （k ＋1）
1－2k
，x 2＝k ＋1.
由于Δ>0，所以x 1≠x 2，其中x 2＝k ＋1>k ，x 1－k ＝3k
2
1－2k ≥0，即x 1≥k.
故原方程有两解．(14分)
iii ) k>12时，由ii )知x 1－k ＝3k
2
1－2k <0，即x 1<k ，故x 1不是原方程的解．而x 2＝k ＋1>k ，故原
方程有唯一解．
综上所述：当k≥12或k ＝1
3时，原方程有唯一解；
当0≤k<12且k≠1
3
时，原方程有两解．(16分)
注：ii )中，法2：⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，
2k －1<0，
x ＝k 2
－1
2（2k －1）>k ，h （k ）＝－3k 2
<0，
故方程②两实根均大于k ，所以原方程有两解． 20.证明：(1) 因为S n ＝14(a n ＋1)2
， ①
所以S n －1＝14
(a n －1＋1)2
，n ≥2. ②
①－②，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，n ≥2，(2分) 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以a n ＋a n －1>0，n ≥2. 从而a n －a n －1＝2，n ≥2.
所以数列{a n }为等差数列．(4分) (2) (Ⅰ) ①中，令n ＝1，得a 1＝1，
所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2
. 由b k b k ＋1＝S 2k
(k≥2)得，b 1＝
k
2
qk －
12
， 所以b n ＝b 1q
n －1
＝k 2
qn －k －12
， ③
由b n b n ＋1≥S 2n
得，k 4q
2n －2k
≥n 4
，即q n －k
≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫n k 2
， ④(6分) 当n ＝k 时，④恒成立．
当n≥k＋1时，④两边取自然对数，整理得，k ln q
2≥ln
n k n k
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫n k
≥1＋1k . ⑤
记f(x)＝ln x
x －1(x>1)，则f′(x)＝1－1x ＋ln 1x （x －1）2，
记g(t)＝1－t ＋ln t ，0<t<1，则g′(t)＝1－t
t
>0，
故g(t)为(0，1)上增函数，所以g(t)<g(1)＝0，从而f′(x)<0，
故f(x)为(1，＋∞)上减函数，从而ln
n k
n k
－1的最大值为k ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k .
⑤中，k ln q 2≥k ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，解得q≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2.(10分)
当n≤k－1时，同理有q≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k －12
.
所以公比q 的最小值为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2
(整数k≥2)．(12分) (Ⅱ) 依题意，q ∈N *
.
由(2)知，q ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1k 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12(整数k ≥2)，
所以q ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2>1，q ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12
≤4，
从而q ∈{2，3，4}，
当q ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12
，只能k ＝3，此时b n ＝9·2n －72，不符； 当q ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12
，只能k ＝2，此时b n ＝4·3n －52，不符； 当q ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤4≤⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋1k －12
，只能k ＝2，此时b n ＝22n －3
，符合． 综上，b n ＝22n －3
.(16分)
附加题
21. A ．[选修4­1：几何证明选讲] 证明：连结OD ，
因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .
由圆O 知OB ＝OD ，所以∠B ＝∠BDO .
从而∠BDO ＝∠C ，所以OD ∥AC .(6分)
又因为DE 为圆O 的切线，所以DE ⊥OD ，
又因为OD ∥AC ，所以DE ⊥AC .(10分)
B ．[选修4­2：矩阵与变换]
解：设B ′(x ，y )，
依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，得A ′(1，2)．(4分) 则A ′B →＝(2，2)，A ′B ′→＝(x －1，y －2)．
记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0－110(6分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B ′的坐标为(－1，4)．(10分)
C ．[选修4­4：坐标系与参数方程]
解：将直线的参数方程化为普通方程，得y ＝2x ＋1. ①(3分)
将曲线的参数方程化为普通方程，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)． ②(6分)
由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，(8分) 所以A (－1，－1)，B (0，1)，(10分)
从而AB ＝（－1－0）2＋（－1－1）2＝ 5.(10分)
D.[选修4­5：不等式选讲]
解：由柯西不等式，得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(2a ＋b ＋c )2.(6分) 因为4a 2＋b 2＋2c 2
＝4，
所以(2a ＋b ＋c )2≤10.
所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10.
所以2a ＋b ＋c 的最大值为10.
当且仅当a ＝105，b ＝2105，c ＝105时等号成立．(10分)
22. 解：(1) 事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，
则P(X ＝0)＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572
.(3分) (2) 依题意，X 的可能值为k ，－1，1，0，
且P(X ＝k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163
＝1216， P(X ＝－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563
＝125216
， P(X ＝1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝572
，(6分) 结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为
E(X)＝k×1216＋(－1)×125216＋1×572＝k －110216
(元)，(8分) 为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k≥110，即k min ＝110. 答：k 的最小值为110.(10分)
23. 解：(1) 当k ＝2时，数列a 1，a 2，a 3，…，a 8中有1个1或5个1，其余为0，
所以m ＝C 18＋C 58＝64.(3分)
(2) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 4k 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k －1)个1，其余为0，
所以m(3)＝C 34k ＋C 74k ＋C 114k ＋…＋C 4k －14k .(5分)
同理，得m(1)＝C 14k ＋C 54k ＋C 94k ＋…＋C 4k －34k .
因为C i 4k ＝C 4k －i 4k (i ＝3，7，11，…，4k －1)，
所以m(1)＝m(3)．
又m(1)＋m(3)＝C 14k ＋C 34k ＋C 54k ＋C 94k ＋…＋C 4k －34k ＋C 4k －14k ＝24k －1，
所以m(3)＝24k －2＝42k －1.(10分)。