上海市金山中学2021-2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)

上海市金山中学2021-2022高二数学上学期9月月考试题（含解析）
一、填空题（第1-6每题4分；第7-12每题5分） 1.与()3,4a =-同向的单位向量为b =______. 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先由题意设()3,4b a a =-，0a >，根据模为1，即可求出结果. 【详解】因为b 与()3,4a =-同向，所以设()3,4b a a =-，0a >，
又b 为单位向量，所以22
9161b a a =+=，解得15
a =
， 因此34,55b ⎛⎫-
⎪⎝=⎭
. 故答案为：34,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【点睛】本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.
2.已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 【答案】
【解析】
试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34
k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用． 3.已知{
}
|2,A x y x x R ==+∈，{}
2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =______.
【答案】[]2,1- 【解析】 【分析】
先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为
{}
{}
|2,|2A x y x x R x x ==+∈=≥-，
{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤，
因此[]2,1A
B =-.
故答案为：[]2,1-
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 4.若向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，则2a b +=______.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】因为向量a 、b 的夹角为150，3a =
，4b =，
所以3cos1503462a b a b ⎛⎫
⋅==⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
因此，22
2441216462a b a b a b +=++⋅=+-⋅=.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型. 5.已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________． 【答案】
【解析】 试题分析：设点
，
，因此
，得
，得点
．
考点：平面向量的坐标表示．
6.向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 【答案】-3
【解析】
【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()
2
6,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，
∴()
2
()0b a b a b b
λλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 7.在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，则AB AC ⋅=______. 【答案】9 【解析】 【分析】
先由题意，得到0CA CB ⋅=，再由()
AB AC CB CA AC ⋅=-⋅，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】因为在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，所以0CA CB ⋅=， 因此()
2
9AB AC CB CA AC CB CA CA ⋅=-⋅=-⋅+=. 故答案为：9
【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.
8.平面上不共线的四点O 、A 、B 、C 满足13
44OC OA OB =+，则
AB BC
=______. 【答案】4 【解析】 【分析】
先由题中条件，得到1144OC OB OA OB -=
-，推出1
4
BC BA =，从而可得出结果. 【详解】因为1344
OC OA OB =+，所以11
44OC OB OA OB -=-，
即1
4
BC BA =，
因此
4AB
BC
=
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.
9.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则
AD BD ⋅=______.
【答案】8 【解析】 【分析】
先由题意，得到AD AC AB =-，BD AD AB =-，求出两向量的坐标，即可得出结果. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，所以AB AD AC +=， 又()2,4AB =，()1,3AC =，因此()1,1AD AC AB =-=--， 所以(3,5)BD AD AB =-=--，
所以(1)(3)(1)(5)8AD BD ⋅=-⋅-+-⋅-=. 故答案为：8
【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.
10.若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则(
)
AP PB PD ⋅+的
取值范围是
________. 【答案】12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【解析】 【分析】
以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.
【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设()[]()
,0,1P x x x ∈，而
()()
0,1,1,0B D ，所以
()
()()(),,11,AP PB PD x x x x x x ⎡⎤⋅+=⋅--+--⎣⎦
()()()2,12,1221242x x x x x x x x =⋅--=-=-+，函数[]()2420,1y x x x =-+∈对称轴
14x =
，开口向下，故1x =时有最小值2-；14x =时，有最大值14.故取值范围为12,4⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11.已知函数()()2lg 1x
f x x x =+>，且()y
g x =与()1
1y f
x -=+互为反函数，则
()g x =______.
【答案】()2lg 11x
x x +->
【解析】 【分析】
先由()y g x =与()1
1y f
x -=+互为反函数，得到()1()g x f x +=，进而可求出结果.
【详解】因为()y g x =与()1
1y f x -=+互为反函数，
所以()1()g x f x +=；
又()()2lg 1x
f x x x =+>，所以()()()12l
g 11x
g x f x x x =-=+->.
故答案为：()2lg 11x
x x +->
【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.
12.已知函数()22
224x ax a
f x x x a
+-=+-在定义域内恒正，则实数a 的取值范围是______. 【答案】118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭
【解析】 【分析】
根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.
【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线；
若分子分母对应的方程是同解方程，
则有12422a a
a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，即12a =；
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数()22
224x ax a f x x x a
+-=+-在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于0；
即24(2)0142(4)0a a a ⎧-⋅-<⎨-⋅⋅-<⎩，解得13280
a a ⎧
<-⎪⎨⎪-<<⎩，即1832a -<<-；
当132a =-
，由2
1208x x ++≠得，函数()f x 定义域为14x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩
⎭，
则222024x ax a x x a +->+-可化为
2211
32160128
x x x x -
+
>++，即2
2
115162560124x x ⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭>⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，显然在定义域内恒成立；所以1
32
a =-
满足题意；
综上，实数a 的取值范围是118,322⎛⎤⎧⎫--
⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭
. 故答案为：118,322⎛⎤⎧⎫--
⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭
【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型.
二、选择题（每题5分）
13.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a ，b 方向相同 B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C. λ∃∈R ，b a λ=
D. 存在不全为零的实数私1λ，2λ，
120a b λλ+=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量共线定理，即非零向量a 与向量b 共线的充要条件是必存在唯一实数λ，使得
b a λ=成立，即可得到答案.
【详解】若,a b 均为零向量，则显然符合题意， 且存在不全为零的实数12,λλ，使得120a b λλ+=； 若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a λ=， 即0a b λ-=，符合题意，故选D.
【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件，在解题的过程中，需要明确向量共线包括方向相同与方向相反，不一定非得有零向量，再者要注意零向量与任何向量是共线的，要理解向量共线的充要条件，即可得到结果.
14.设(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则实数a ，b 满足的关系式为（ ）
A. 453a b -=
B. 543a b -=
C. 4514a b +=
D.
5412a b +=
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意得到(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =，根据向量数量积，分别求出OA 与OB 在OC 方向上的投影，进而可求出结果.
【详解】因为(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点， 所以(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =， 因此OA 在OC 方向上的投影为
cos ,
16OA OC OA OA OC OA OA OC
⋅⋅<>=⋅
=
=；
OB 在OC 方向上的投影为cos ,
16OB OC OB OB OC OB OB OC
⋅⋅<>=⋅
=
=
又OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，
=，即453a b -=. 故选：A
【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型.
15.已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值
范围是( ) A. 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. ,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C. 2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D. ,6ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1
cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2
θ∴≤
又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：B
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
16.已知数列{}n a ，对于任意的
正整数n ，()
()2016
1,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫
-⋅≥⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A. lim 1n n S →+∞
=- B. lim 2015n n S →+∞
= C. ()()
()
*2016,12016lim 1.2017n
n n S n N n →+∞
⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩ D. 以上结论都不对
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016
120153n n S -⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，再由
极限的运算法则，即可得出结果.
【详解】因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()2016
1,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫
-⋅≥⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，
所以122016...1a a a ====，201723a =-，20182
9
a =-，… ， 所以当2017n ≥时，
2016
20162016
2113311201620161201513313
n n n n S ---⎡⎤⎛⎫
--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-， 因此2016
1lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞
⎡⎤⎛⎫
=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 三、解答题： 17.如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
表示的关于x ，y 的二元一次方程组无解，求实数m
的值.
【答案】1m = 【解析】 【分析】
先由题意，得到()()11D m m =+-，()21x D m =-+，()2
1y D m =+，对满足0D =的m 进
行讨论，即可得出结果. 【详解】由题意可得：方程组为12mx y x my m +=-⎧⎨
+=+⎩
，()()1111m D m m m ⎛⎫
==+- ⎪⎝⎭，
()11212x D m m m -⎛⎫==-+ ⎪+⎝⎭，()2
1112y m D m m -⎛⎫==+ ⎪
+⎝⎭
， 当1m =-时，0x y D D D ===，方程组有无数个解； 当1m =时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，方程组无解. 所以1m =.
【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.
18.在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.
（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A
b a B
C a b A
-=-+-，求角C 的大小； （2）若4
sin 5A =
，23
C π=
，c =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3
C π
=
;(2)
1825
-. 【解析】
试题分析：（1）先根据行列式定义得()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-，再根据正弦定理化角为边得222c a b ab =+-，最后根据余弦定理求角C 的大小；（2）先根据正弦定理求a ，再根据两角和正弦公式求sin B ，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-； 由正弦定理得()()2
222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，
∴2221cos 22
a b c C ab +-==，∴3C π=；
（2）由4sin 5A =
，c =，且sin sin a c A C =，∴85
a =；
由23a c A C π<⇒<=，∴3
cos 5
A =,
∴(
)sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=
∴1sin 2ABC S ca B ∆=
=
. 19.已知()2
1
11111
a
f x x
x =-，()x R ∈.
（1）当1a =时，求方程()0f x =的解集；
（2）若方程()0f x =有且只有一个实数解，求实数a 的值并解该方程. 【答案】（1）{}1,1-（2）当1a =-，或3a =-时，解都为-1
【解析】 【分析】
先由题意计算行列式，得到2
()(1)(1)2f x a x a x =++--，
（1）由1a =，将方程()0f x =化为2220x -=，求解，即可得出结果；
（2）根据题意，得方程2
()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，分别讨论
10a +=与10a +≠两种情况，即可得出结果.
【详解】因为()22
2
1
11111111111
11
a
x x
f x x
a x x
x --=-=-+ ()()2222()()112x x a x x a x a x =---++=++--，
（1）当1a =时，方程()0f x =可化为2220x -=，解得1x =±， 所以方程的解集为{}1,1-；
（2）由题意可得，方程2
()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解， 当10a +=，即1a =-时，方程可化为220x --=，解得1x =-；
当10a +≠，即1a ≠-时，只需2(1)8(1)0a a ∆=-++=，即2690a a ++=，解得3a =-，此时方程为：22420x x ---=，即2210x x ++=，解得1x =-； 综上，当1a =-或3a =-时，方程的解都是1-.
【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.
20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的
1
3
，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%.
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店a 元，写出在第()1,2,,36i i =⋅⋅⋅个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.
（3）每月的还款额a 为多少元（精确到0.01元）？
【答案】（1）4020元；（2）表达式为3
(10.5%)1
4000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%
+-+-=i a n 元；
（3）121.69元 【解析】 【分析】
（1）因为购买电脑时，货主欠商店2
3
的货款，即4000元，又按月利率0.5%，即可求出结果；
（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，根据题意，14000(10.5%)=+-y a ，
221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，进而得出
1(10.5%)-=+-i i y y a ，整理，即可得出结果；
（3）由题意得到360=y ，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店
23的货款，即600040003
2
⨯=， 又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为()400010.5%4020+=元， 即到第一个月底，欠款余额为4020元；
（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，则有14000(10.5%)=+-y a ，
221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，
3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-+-y y a a a a ，
……
11(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)...(10.5%)--=+-=+-+--+-n n i i y y a a a a
整理得：3
(10.5%)1
4000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%
+-=+-=i i y a n ；
（3）由题意可得：360=y ，所以363
(10.5%)1
4000(10.5%)00.5%
+-+-=a ，
因此3636
4000(10.5%)0.5%
121.69(10.5%)1
+⋅=≈+-a 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.
21.在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，(
)2
22,2P
，()3
3
3,2P ，…，(),2n
n
P n ，其中n 是
正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…，
n A 为1n A -关于点n P 的对称点.
（1）求向量02A A 的坐标；
（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =.求以曲线C 为图像的函数在(]
1,4上的解析式；
（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标.
【答案】（1）()2,4（2）()()lg 14g x x =--（3）()4213n n ⎛⎫
- ⎪⋅
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）先设点0(,)A x y ，由题意求出1(2,4)--x y A ，进而得到()22,4++x A y ，从而可求出向量02(2,4)=A A ；
（2）先由题意，得到()y f x =是由曲线C 按向量02A A 平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；
（3）先由1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，得到
212--=n n n n P P A A ，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，
即可求出结果.
【详解】（1）设点0(,)A x y ，因为1A 为0A 关于点()11,2P 的对称点，所以1(2,4)--x y A ， 又2A 为1A 关于点(
)2
22,2
P 的对称点，
所以()()(
)
242,84----x A y ，即()22,4++x A y ， 因此02(2,4)=A A ； （2）由（1）02(2,4)=A A ，
因为点0A 在曲线C 上移动时，点2
A 的轨迹是函数()y f x =的图像，
所以()f x 的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到，
因此，设曲线C 是函数()y g x =的图像，因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以()g x 也是以3为周期的
周期函数， 当(]
0,3x ∈时，()lg f x x =，
所以当(]2,1∈-x 时，()()lg 24=+-g x x ；
于是，当(]1,4x ∈时，()()lg 14g x x =--；
（3）由题意，1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点. 所以在21--∆n n n A A A 中，1n P -为21n n A A --的中点，n P 为1-n n A A 的中点， 所以212--=n n n n P P A A ，
因此(
)
00224212341...2...--=+++=+++n n n n n A A A A A A A A PP P P P P ，
()()()2431221,2243,22...(1),22-⎡⎤=--+--++---⎣⎦n n n n
()()()22314(14)2421,21,2...1,2,,143+-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎡⎤=+++== ⎪⎣⎦ ⎪-⎝
⎭ ⎪⎝⎭
n
n n n n .
【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.。