优选教育届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：常用逻辑用语.ppt

③或、且、非形式的复合命题 (ⅰ)非 p 形式的复合命题：当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时， 非 p 为真． (ⅱ)p 且 q 形式的复合命题：当 p、q 都为真时，p 且 q 为真；当 p、q 中至少有一个为假时，p 且 q 为假． (ⅲ)p 或 q 形式的复合命题：当 p、q 中至少有一个为真时，p 或 q 为真． 注意：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，这 要看具体问题中“是”的含义．
条件与结论先交换后否定而得，因此逆命题与否命题是互为逆否的 关系．
四种命题之间的关系如图所示．
(3)命题的真假与等价 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真． 例如，原命题：若 a＝0，则 ab＝0 是真命题，而它的逆命题若 ab＝0，则 a＝0 是假命题． ②原命题为真，它的否命题不一定为真． 例如，原命题：若 a＝0，则 ab＝0，是真命题，它的否命题： 若 a≠0，则 ab≠0 是假命题．
(ⅴ)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定 理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有 逆命题，而定理未必有逆定理．
(ⅵ)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来 定义的．命题“p 或 q”为真的三种情况：只有 p 成立、只有 q 成立、 p 与 q 同时成立．
是 q 的必要条件，这一点可由“若 q 则 p”与命题“若綈 p 则綈 q”
的等价性知道，说明：没有 p 就没有 q，所以 p 是 q 的必要条件． ②由必要条件的定义可知，若 p 是 q 的必要条件，那么 q 就是
p 成立的充分条件． 如 cosα＝12是 α＝π3的必要条件(但不是充分条件)，而 α＝π3却是
②否命题与逆否命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和 结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作 原命题的话，那么另一个就叫作原命题的否命题． 如：(ⅰ)的否命题是：同位角不相等，两直线不平行． 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题 叫作原命题的话，那么另一个就叫作原命题的逆否命题． 如：(ⅰ)的逆否命题是：两直线不平行，同位角不相等．
件和结论同时否定，所以原命题与否命题是互否关系．
交换原命题的条件和结论，并且同时否定所得命题就是逆否命 题．如果原命题为“若 p 则 q”，则逆否命题就是“若綈 q 则綈 p”，
反过来把逆否命题“若綈 q 则綈 p”的条件綈 q 与结论綈 p 交换后
再否定就是“若 p 则 q”，这就是原命题，所以原命题与逆否命题 是互为逆否的关系．
③原命题为真，它的逆否命题一定为真． 仍以上面的原命题为例，它的逆否命题：若 ab≠0，则 a≠0， 这是真命题． 根据以上分析可知：原命题与它的逆否命题是等价的． 因为逆命题与否命题也是互为逆否的关系，所以逆命题与否命 题是等价的．
若p则q⇔若綈q则綈p
若q则p⇔若綈p则綈q
3．全称量词与存在量词 如“所有”，“每一个”，“任何”，“任意一条”，“一切” 等都是全称量词，含全称量词的命题叫全称命题．一般地，设 p(x) 是某集合 M 的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对 M 中的所有 x，p(x)”的命题．用符号简记为：∀x∈M，p(x)． 如“有些”，“至少有一个”，“有一个”，“存在”等都是 存在量词，含有全称量词的命题叫全称命题．一般地，设 q(x)是某 集合 M 的有些元素 x 具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存 在集合 M 中的元素 x，q(x)”的命题，用符号简记为：∃x∈M，q(x)．特 称命题也叫存在性命题．
(3)逻辑联结词 ①“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．这三个逻 辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合 A、B， 其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：“或” 就是“或 A”、“或 B”、“或 A 与 B”三者的总和，与集合中求 “并”一致；“且”就是“既 A 且 B”等同于集合的“交”；而 “非”与集合中求“补”意义相同．因此，“或”、“且”、“非” 是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述． ②除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他 的逻辑联结词，如“若……则……”，“因为……所以……”等．这 些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段 只研究三种最基本的逻辑运算．
③对“或”、“且”、“非”的理解需注意： (ⅰ)“非”与求“补”的意义一样． (ⅱ)“非 p”必须包括 p 的所有对立面． 根据“非 p”与求“补”的意义相同，假定“非 p”与 p 的结论 所确定的集合分别为 A、B，全集为 U，则由 A∪B＝U，A∩B＝∅. 所以“非 p”的结论必须包括 p 的所有对立面． 如：在△ABC 中，设命题 p：∠A 一定是锐角，则“非 p”为： ∠A 一定不是锐角，而不能表述为：∠A 不一定是锐角． 因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定 是”．正因为“非 p”包括 p 的所有对立面，所以“非 p”与 p 的真 假相反．
(3)对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可
以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，以下列表表示：
命题 全称命题(∀x∈M，P(x)) 特称命题(∃x∈M，q(x))
所有的 x∈M，p(x)成立
存在 x∈M，q(x)成立
表述 对一切 x∈M，p(x)成立 至少有一个 x∈M，q(x)成立 方法 对每一个 x∈M，p(x)成立 对有些 x∈M，q(x)成立
∵{湖北人}⊆{中国人}， 特别地当 A B 时，p 是 q 的充分不必要条件． ②若 A⊇B 即 B 是 A 的子集，所以由 q 能推出 p，此时 p 是 q 成立的必要条件．
(4)从命题的真假角度认识充要条件 设有命题(ⅰ)“若 p 则 q”和命题(ⅱ)“若 q 则 p”， 若命题(ⅰ)是真命题，而命题(ⅱ)是假命题，则 p 是 q 的充分不 必要条件； 若命题(ⅱ)是真命题，而命题(ⅰ)是假命题，则 p 是 q 的必要不 充分条件； 若两个命题都是真命题，则 p 是 q 的充分且必要条件； 若两个命题都是假命题，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件．
(ⅲ)“非 p”与否命题两者不可混淆． “非”就是否定，所以“非 p”也称为命题 p 的否定，但“非 p” 只否定命题包括简单命题和(含有或、且、非的)复合命题的结论，不 否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条 件与结论全部否定，这就是“非 p”与否命题的根本区别．
(ⅳ)“非 p”常用的否定词语
同样的道理，把逆命题“若 q 则 p”的条件与结论同时否定就 得到“若綈 q 则綈 p”，这就是逆否命题，所以逆命题与逆否命题
是互否的关系．
再看否命题与逆否命题的关系，从否命题“若綈 p 则綈 q”以
及逆否命题“若綈 q 则綈 p”它们的结构看，可知否命题与逆否命
题是互逆的关系． 最后逆命题与否命题的关系，从结构上看否命题是把逆命题的
(2)四种命题之间的关系 逆命题是由原命题的条件与结论互相交换而得．即如果原命题 为：若 p 则 q，那么逆命题就是“若 q 则 p”，所以原命题与逆命题 是互逆的关系． 否命题是把原命题的条件和结论同时否定而得．即原命题为：
若 p 则 q，则否命题为“若綈 p 则綈 q”，原命题也是把否命题的条
(ⅶ)“或”、“且”联结词的命题的否定形式：命题“p 或 q” 的否定是“非 p 且非 q”、命题“p 且 q”的否定是“非 p 或非 q”．其 理解方式类似于集合中的
∁I(A∪B)＝(∁IA)∩(∁IB)、∁I(A∩B)＝(∁IA)∪(∁IB)．
(4)真值表 ①表示命题真假的表叫真值表． ②真值表可以帮助检验所述命题是否符合要求．如用“非 p” 与 p 的真假必定相反这一法则可以检验． 例如：p：四条边相等的四边形是正方形． 错解：非 p：四条边相等的四边形不是正方形． 这里 p 是假命题，所以“非 p”应是真命题，而叙述的语句却 也是假命题，因此这种叙述不符合要求． 正解：非 p：四条边相等的四边形，不都是正方形． 因为在 p 中结论为“都是正方形”，所以其否定应为：“不都 是”．
2．四种命题 (1)四种命题 ①原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题 的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命 题叫作互逆命题．如果把两个互逆命题的其中一个叫作原命题，那 么另一个叫作原命题的逆命题． 如：原命题是：同位角相等，两直线平行．(ⅰ) 逆命题是：两直线平行，同位角相等．(ⅱ) 因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题就是逆命题．
(1)全称命题为真时，表示在所限定的集合中的每一个元素都具
有某种属性，使所给语句为真；特称命题为真时，表示在限定的集
合中有一些元素具有某种属性，使所给语句为真．
(2)一般地，若一个全称命题是真命题，那么它的否定是一个特 称命题，并且是假命题；若一个特称命题是真命题，那么它的否定
是一个全称命题，并且是假命题．
(5)用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件 设集合 A＝{x|x 满足 p}，B＝{x|x 满足 q}． ①若 A⊆B，即 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，所以由 p 可推出 q，即 p⇒q. ∴当 A⊆B 时，p 是 q 的充分条件． 如：“张三是湖北人”是“张三是中国人”的充分条件．
考点串串讲
1．命题与逻辑联结词 (1)命题 初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫作命 题．而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫作命题．说法 不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不 能判断真假的语句就不是命题．如： ①3 是 12 的约数吗？ ②他是一个大胖子． ③x＞5. 它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没 有界定，所以不能判断，语句③，由于 x 是未知数也不能判断“x ＞5”是否成立．
(2)简单命题与复合命题 不含逻辑联结词的命题，叫作简单命题．由简单命题与逻辑联 结词构成的命题，叫作复合命题． ①简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题 都不是更谈不上是简单命题了． ②含逻辑联结词的未必是复合命题． 如：语句：x＞2 或 x＜－2 就不是复合命题，因为它根本就不 是命题．而语句：可以被 5 整除的整数，末位是 0.此句没有逻辑联 结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种 形式——蕴含式，即“p q”形式．
cosα＝12的充分条件(但不是必要条件)．
(3)充要条件 ①如果 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，那么就称 p 是 q 的充要条件，即充分且必要条件．也就是 p⇔q. ②如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，这点由 定义不难理解． 如：“四条边都相等的矩形”是“正方形”的充要条件，反过 来，“正方形”也是“四条边都相等的矩形”的充要条件．
任选一个 x∈M，p(x)成立 对某个 x∈M，q(x)成立
(4)对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定．在对全称 命题进行否定时，要特别注意有些命题可能省略了全称题词．例如： 实数的绝对值是正数，它的否定应该为：存在一个实数，它的绝对 值不是正数，而不能写成：实数的绝对值不是正数．
4．充要条件 (1)充分条件 ①在一个命题“若 p 则 q”中，p 是条件，q 是结论．若由条件 p 能够推出结论 q，则称 p 是 q 的充分条件．通俗地讲就是有了条件 p 就足以保证结论 q 成立．即 p⇒q.
②“若 p 则 q”的逆否命题为“若綈 q 则綈 p”，根据逆否命题
与原命题等价的性质．可知，如果 p 是 q 成立的充分条件，那么 q 就是 p 成立的必要条件．
如 α＝45°是 tanα＝1 的充分条件，反过来 tanα＝1 就是 α＝45° 的必出 p，即 q⇒p 则称 p