广东省揭阳一中、潮州金中2017届高三数学8月联考试题文

2021—2021学年度高三摸底考联考
数学〔文科〕试题
本试卷共4页，24题，总分值150分，考试时间为120分钟。

考前须知：
1．答卷前，考生务必将自己姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹铅笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔与涂改液，不按以上要求作答答案无效。

一．选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选
项中，只有一个是符合题目要求。

〕
1．设集合}3,2,1{=A ，}5,4{=B ，},,|{B b A a b a x x M ∈∈+==，那么M 中元素个数是〔 〕
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．设3<x p ：，31<<-x q ：，那么p 是q 成立〔 〕
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分不必要条件
3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=-1
,21),2(log 1)(12x x x x f x ，那么=+-)12(log )2(2f f 〔 〕 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12
4．以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称函数是〔 〕
A ．
B ．
C ．x x y 2cos 2sin +=
D ．x x y cos sin +=
5．等差数列}{n a 中，1064=+a a ，前5项与55=S ，那么其公差为〔 〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．设y x ,满足约束条件，那么y x z 2-=取值范围是〔 〕
A ．]0,2[-
B ．]0,3[-
C ．]3,2[-
D ．]3,3[-
7．双曲线)0,0( 12222>>=-b a b
y a x 一条渐近线过点)3,2(，且双曲线一个焦点在抛物线x y 742=准线上，那么双曲线方程为〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
8．执行右图所示程序，那么输出i 值为〔 〕
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．设复数),( )1(R y x yi x z ∈+-=，假设1|z |≤，那么x y ≥概率为〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
10．o x 是函数一个零点，假设),1(1o x x ∈，),(2+∞∈o x x ，那
么〔 〕
A ．0)(,0)(21<<x f x f
B ．0)(,0)(21><x f x f
C ．0)(,0)(21<>x f x f
D ．0)(,0)(21>>x f x f
11．一个正方体被一个平面截去一局部后，剩余局部
三视图如右图，那么截去局部体积与剩余局部体积
比值是〔 〕
A ．81
B ．71
C ．61
D ．51
12．将正奇数排成如下图三角形数阵〔第k 行有k 个
奇数〕，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如
〔第〔第
1542=a ，假设2015=ij a ，那么=-j i 〔 〕
A ．26
B ．27
C ．28
D ．29
二．填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．袋中有形状、大小都一样4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄
球。

从中一次随机取出2个球，那么这2个球颜色不同概率为 ．
14．假设曲线x kx y ln 2+=在点),1(k 处切线与直线032=+-y x 平行，那么=k ．
15．定点A 坐标为)4,1(，点F 是双曲线左焦点，点P 是双曲线右支上动点，
那么||||PA PF +最小值为 ．
16．定义在R 上函数)(x f 满足0)5()(=--x f x f ，当]4,1(-∈x 时，x x x f 2)(2-=，
那么函数)(x f 在]2016,0[上零点个数是 ．
三．解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题，
每题12分，选做题10分，共70分〕
17．〔12分〕c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,对边，C A B sin sin 2sin 2=．
⑴假设b a =，求B cos ；
⑵假设︒=90B ，且2=a ，求ABC ∆面积．
18．〔12分〕某企业为了解下属某部门对本企业职工效劳情况，随机访问
50名职工，根据这50名职工对该部门评分，绘制频率分布直方图〔如下图〕，其中样本数据分组区间为
]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[),50,40[．
⑴求频率分布图中a 值； ⑵估计该企业职工对该部门评分不低于80概率；
⑶从评分在)60,40[受访职工中，随机抽取2人，
求此2人评分都在)50,40[概率．
19．〔12分〕如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面
ABCD ，2===AD AB PA ，四边形ABCD 中AD AB ⊥，
AD BC //，且4=BC ，点M 为PC 中点．
⑴求证：平面⊥ADM 平面PBC ；
⑵求点P 到平面ADM 距离．
20．〔12分〕椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 离心率为22，且点)2,2(在C 上． ⑴求椭圆C 方程；
⑵直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 相交于B A ,两点，
线段AB 中点为M ．
004
.0018
.0022
.0028
.0a 分数405060708090100M D C P A B
证明：直线OM斜率与直线l斜率乘积为定值．
21．〔12分〕设函数)(),(x g x f 定义域均为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函
数，x e x g x f =+)()(，其中e 为自然对数底数．
⑴求)(),(x g x f 解析式，并证明：当0>x 时，1)(,0)(>>x g x f ；
⑵设1,0≥≤b a ，证明：当0>x 时，)1()()()1()(b x bg x
x f a x ag -+<<-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题给分．
22．选修4-1：几何证明选讲〔10分〕
如图，AB 是O ⊙直径，弦CA BD ,延长线相交于点
E ，E
F 垂直BA 延长线于点F ． ⑴求证：DFA DEA ∠=∠；
⑵求证：AC AE BD BE AB ⋅-⋅=2．
23．选修4-4：坐标系与参数方程〔10分〕 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
曲线1C ：〔t 为参数〕，2C ：〔θ为参数〕．
⑴化21,C C 方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
⑵假设1C 上点P 对应参数为，Q 为2C 上动点，求PQ 中点M 到直线3C ：7)sin 2(cos =-θθρ距离最小值．
24．选修4-5：不等式选讲〔10分〕
设函数|2||1|)(-+-=x x x f ．
⑴画出函数)(x f 图象；
⑵假设不等式)(||||||x f a b a b a ≥-++ ),,0(R b a a ∈≠恒成立，求实数x 取值
D B A O
范围．
2021—2021学年度高三摸底考联考
数学〔文科〕参考答案及评分标准
17．⑴由题设及正弦定理可得ac b 22=………………………………2分
又b a =，可得c a c b 2,2==………………………………4分 由余弦定理可得4
12cos 222=-+=ac b c a B ．………………………………6分
⑵由⑴知ac b 22=．
∵︒=90B ，由勾股定理得222b c a =+．………………………………8分
故ac c a 222=+，得2==c a ．………………………………10分 ∴ABC ∆面积为．………………………………12分
18．⑴∵110)018.0022.0028.0022.0004.0(=⨯+++++a ，∴006.0=a ． …………
3分
⑵由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80频率为4.010)018.0022.0(=⨯+．
∴该企业职工对该部门评分不低于80概率估计值为4.0…………………………6分
⑶受访职工评分在)60,50[有：310006.050=⨯⨯〔人〕，记为321,,A A A ． 受访职工评分在)50,40[有：210004.050=⨯⨯〔人〕，记为21,B B ．…………8分
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能结果共有10种，分别是：},,{21A A
………………………………10分
又∵所抽取2人评分都在)50,40[结果有1种，即},{21B B ，故所求概率为101． ………………………………12分 19．⑴证明：取PB 中点N ，连接AN MN ,．
∵M 是PC 中点，∴22
1,//==BC MN BC MN ． 又∵AD BC //，∴AD MN //，AD MN =
∴四边形ADMN 为平行四边形． (2)
分
∵AD AB AD AP ⊥⊥,，∴⊥AD 平面PAB ．………………………
4分
∵AB AP =，∴PB AN ⊥，∴⊥AN 平面PBC ． (6)
分
∵⊂AN 平面ADM ，∴平面⊥ADM 平面PBC ．…………………
7分
⑵由⑴知，AD PN AN PN ⊥⊥,．
∴⊥PN 平面ADN ，即点P 到平面ADM 距离为PN ．………………………10分
在PAB Rt ∆中，由2==AB PA ，得22=PB ，∴． ∴点P 到平面ADM 距离为2．………………………………12分
20．⑴由题意有2222242,12a b a a b -=+=，…………………………2分 解得 228,4a b ==…………………………4分 所以C 方程为………………………5分 ⑵设直线1122:(0,0),(,),(,),(,).M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠………………6分
将y kx b =+代入得222(21)4280k x kbx b +++-=…………………8分
故12222,22121m m m x x kb b x y k x b k k +-===+=++1
22+=+⋅=k b b x k y m m ………………………10分 于是直线OM 斜率11,.22m om om m y k k k x k =
=-=-即 所以直线OM 斜率与直线l 斜率乘积为定值。

…………………………12分
21．⑴由)(),(x g x f 奇偶性及x e x g x f =+)()( ① 得x e x g x f -=+-)()( ②．
联立①②解得)(21)(),(21)(x x x x e e x g e e x f --+=-=．……………………2分
当0>x 时，10,1<<>-x x e e ，故0)(>x f ． ③……………………3分 又由根本不等式，有1)(2
1)(=>+=--x x x x e e e e x g ，即1)(>x g ． ④………4分 ⑵由⑴得)()(21)(21)(21)(2x g e e e
e e e e x
f x x x x x x x =+=+='-='--． ⑤ )()(21)(21)(21)(2x f e e e
e e e e x g x x x x x x x =-=-='+='--． ⑥…………6分 当0>x 时，等价于x a x axg x
f )1()()(-+>． ⑦．
等价于x b x bxg x f )1()()(-+<． ⑧
设函数x c x cxg x f x h )1()()()(---=．
由⑤⑥，有)(]1)()[1()1()()()()(x cxf x g c c x cxf x cg x g x h ---=----='．……8分
当0>x 时，○
i 假设0≤c ，由③④，得0)(>'x h ，故)(x h 在),0(+∞上为增
函数．
从而0)0()(=>h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+>，故⑦成
立．……10分
○ii 假设1≥c ，由③④，得0)(<'x h ，故)(x h 在),0(+∞上为减函数．
从而0)0()(=<h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+<，故⑧成立． 综合⑦⑧，得<-+)1()(a x ag ．…………12分
22．⑴∵AB 为圆直径，∴︒=∠90ADB ．
又︒
=∠⊥90,EFA AB EF ，那么F E D A ,,,四点共圆，∴
DFA DEA ∠=∠．………5分 ⑵连接BC ，由⑴知BF BA BE BD ⋅=⋅． 又AEF ABC ∆∆∽，∴，即AC AE AF AB ⋅=⋅， ∴2)(AB AF BF AB AF AB BF BA AC AE BD BE =-=⋅-⋅=⋅-⋅．……………10分
23．⑴1C ：1)3()4(22=-++y x ，以)3,4(-为圆心，1为半径圆．…………2分
2C ：，以原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3椭圆．
………………5分
⑵当时，)4,4(-P ．)sin 3,cos 8(θθQ ，故)sin 232,cos 42(θθ++-M ． 3C 为直线072=--y x ，∴点M 到直线3C 距离5|
13sin 3cos 4|--=θθd ． (8)
分
从而当时，d 取得最小值5
58．………………10分
24．⑴ ．…………2分
作出)(x f 图象如右图．………………5分 ⑵由)(||||||x f a b a b a ≥-++ 得|
|||||)(a b a b a x f -++≤恒成立． 只需min ]||||||[
)(a b a b a x f -++≤． ∴2)(≤x f ．…………………………8分 ∴解不等式2|2||1|≤-+-x x ．得． ……………………………10分
O x y 1123。