辽宁省沈阳市名校2023-2024学年八年级数学第一学期期末监测试题【含解析】

辽宁省沈阳市名校2023-2024学年八年级数学第一学期期末监
测试题测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于（）
A ．1或5
B ．5
C ．7
D ．7或1
-2．已知直角三角形的两边长分别为2,3,则第三边长可以为（）
A B ．3
C D ．
3．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=40°，则∠2=（
）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
4．在如图所示的网格纸中，有A 、B 两个格点，试取格点C ，使得△ABC 是等腰三角形，则这样的格点C 的个数是（
）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5．如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD △≌△的条件是（
）
A ．BD CD =
B ．AB A
C =C ．B C
∠=∠D ．BAD CAD
∠=∠
6．已知x 为整数，且分式2
22
1
x x --的值为整数，则满足条件的所有整数x 的和是()
A ．-4
B ．-5
C ．1
D ．3
7．如图，点A ，B 为定点，定直线l//AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；
④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．
其中会随点P 的移动而变化的是（）
A ．②③
B ．②⑤
C ．①③④
D ．④⑤
，﹣0.101001，7
13
，π，其中无理数有（）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个9．如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（
）
A ．75°
B ．55°
C ．40°
D ．35°
10．下列图形中，正确画出AC 边上的高的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（）
A ．11910813x y
y x x y =⎧⎨
+-+=⎩（）
（）B ．10891311y x x y x y +=+⎧⎨
+=⎩C ．91181013x y x y y x （）（）=⎧⎨
+-+=⎩D ．91110813x y y x x y =⎧⎨
+-+=⎩（）
（）12．如图，在ABC ∆，90C =∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N ，为圆心，大于
1
2
MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（
）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．要使分式32
5
x
x
-
+
有意义，x的取值应满足_________．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB平行
x轴，点C在x轴上，若点A，B分别在正比例函数y=6x和y=kx的图象上，则
k=__________．
15．因式分解：3x2-6xy+3y2=______．
16．用一组a，b，c的值说明命题“若a b<，则ac bc
<”是错误的，这组值可以是
a=_____，b=______，c=_______．
17．某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，
但第二次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300
千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果出售后，最后的600千克按
原售价的7折售完，超市两次销售这种干果共盈利________元.
18．在某中学举行的演讲比赛中，七年级5名参赛选手的成绩如下表所示，根据表中提
供的数据，则3号选手的成绩为_____．
选手1号2号3号4号5号平均成绩得分9095898891
三、解答题（共78分）
19．（8分）金堂赵镇某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天40元，两
人间每人每天50元．国庆节期间，一个48人的外地旅游团到该旅馆住宿，租住了若干
客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2160元．求两种客房各租住了多少间？20．（8分）某校为美化校园环境，安排甲、乙两个工程队独立完成面积为400m2的绿
化区域．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲队
比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校计划对面积为1800m2的区域进行绿化，每天需付给甲队的绿化费用为0.4
万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作
多少天？
21．（8分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N.
（1）证明：BD ＝CE ；（2）证明：BD ⊥CE ．
22．（10分）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高cm ；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的函数关系式；(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm 时，应在量桶中放入几个小球？
23．（10分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D 是直线AB 上的一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CE ，连接EB ．（1）操作发现
如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为______；线段
BD 、AB 、EB 的数量关系为______；
（2）猜想论证
当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD 、AB 、EB 的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸
若5AB =，7BD =，请你直接写出ADE ∆的面积．
24．（10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
25．（12分）如图所示，已知一次函数24y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点B 、
A ．以A
B 为边在第一象限内作等腰Rt AB
C ∆，且90ABC ∠=︒，BA BC =．过C 作
CD x ⊥轴于D ．OB 的垂直平分线l 交AB 与点E ，交x 轴于点G ．
（1）求点C 的坐标；
（2）在直线l 上有点M ，且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得1
2
ABM ABC S S ∆∆=，求点M 的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CE ，判断CEM ∆的形状，并给予证明．
26．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =．（1）求证：DEF ∆是等腰三角形；（2）当44A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）1、D
【分析】根据完全平方公式，首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍．
【详解】解：∵多项式22(3)16x m x +-+是完全平方式，∴222(3)16(4)x m x =x +-+±，∴2(3)8
m =-±34
m =-±解得：m=7或-1故选：D.【点睛】
此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．2、D
【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【详解】解：若3是直角边，
则第三边
若3是斜边，
则第三边
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
3、B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵直尺对边互相平行，
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝180°−40°−90°＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4、C
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，
分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.5、B
【分析】根据全等三角形的判定：AAS 、SAS 、ASA 、SSS 、HL ，即可进行判断，需要注意SSA 是不能判断两个三角形全等．
【详解】解：当BD=CD 时，结合题目条件用SAS 即可判断出两三角形全等，故A 选项错误；
当AB=AC 时，SSA 是不能判断两个三角形全等，故B 选项正确；当B C ∠=∠时，AAS 能用来判定两个三角形全等，故C 选项错误；当BAD CAD ∠=∠时，ASA 能用来判定两个三角形全等，故D 选项错误．故选：B ．【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的判定，正确的掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6、B
【分析】先把分式进行化简，然后根据分式的值为整数，得到1x +能被2整除，然后求出x 的值，再结合210x -≠，即可得到x 的值，即可得到答案.【详解】解：∵
2222(1)2
1(1)(1)1
x x x x x x --==-+-+，又∵x 为整数，且分式222
1
x x --的值为整数，∴1x +能被2整除，
∴12x +=-或11+=-x 或12x +=或11x +=；∴3x =-或2-或1或0；∵210x -≠，∴1x ≠±，
∴3x =-或2-或0；
∴满足条件的所有整数x 的和是：3(2)05-+-+=-；故选：B.【点睛】
本题考查了分式的值，分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则进行解题，注意分式的分母不能等于0.7、B
【解析】试题分析：
①、MN=1
2
AB，所以MN的长度不变；
②、周长C△PAB=12（AB+PA+PB），变化；
③、面积S△PMN=14S△PAB=14×12AB·h，其中h为直线l与AB之间的距离，不变;
④、直线NM与AB之间的距离等于直线l与AB之间的距离的一半，所以不变；
⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB的大小在变化．
故选B
考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线
8、A
【解析】根据无理数、有理数的定义，即可得到答案．
=2是整数，属于有理数，
﹣0.101001是有限小数，属于有理数，
7
13是分数，属于有理数，
π是无理数，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查无理数、有理数的定义，掌握它们的定义是解题的关键．
9、C
【解析】试题分析：如图，根据平行线的性质可得∠1=∠4=75°，然后根据三角形的外角等于不相邻两内角的和，可知∠4=∠2+∠3，因此可求得∠3=75°-35°=40°．
故选C
考点：平行线的性质，三角形的外角性质
10、D
【分析】根据高的对应即可求解.
【详解】根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得BE 是△ABC 中BC 边长的高，故选D.
【点晴】
此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义.
11、D
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，
由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
（）（），故选D ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12、C
【分析】直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．
【详解】过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB
的平分线，∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，
∴EC=ED=3，
在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，
AE AE EC ED ⎧⎨⎩
＝＝，∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），
∴AC=AD ，
∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=1，即AC的长为：1．
故答案为：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5
x≠-
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】由分式的分母不能为0得：50
x+≠
解得：5
x≠-
故答案为：5
x≠-．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件：分式的分母不能为0，熟记分式的相关概念及性质是解题关键．
14、6 7
【分析】根据点A在正比例函数y=6x的图像上，设点A为（x，6x），由AB平行x轴，AB=BC，可以得到点B的坐标为：（7x，6x），代入计算，即可求出k的值.
【详解】解：∵点A在正比例函数y=6x的图像上，
则设点A为（x，6x），
∵由AB平行x轴，
∴点B的纵坐标为6x，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC=6x，
∴点B的横坐标为：7x，
即点B为：（7x，6x），
把点B代入y=kx，则
∴67
k =；故答案为：
67
.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正比例函数的图像和性质，以及坐标与图形，解题的关键是利用点A 的坐标，正确表示出点B 的坐标.
15、3（x ﹣y ）1
【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3（x ﹣y ）1．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
16、23-1
【解析】分析：根据不等式的性质3，举出例子即可.
详解：根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．满足a b <，0c ≤即可，例如：2，3，1-.
故答案为2，3，1-.
点睛：考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
17、2
【分析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据数量=总价÷单价，结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出x 的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润=销售收入﹣成本即可得出结论．
【详解】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据题意得：23000x ⨯+30090001.2x
=，解得：x =5，
经检验，x =5是原方程的解．
当x =5时，300030005x ==600，900090001.2 1.25
x ==⨯1．1×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000=2(元)．
故超市两次销售这种干果共盈利2元．
故答案为：2．
【点睛】
次的2倍还多300千克，列出关于x的分式方程是解答本题的关键．
18、1
【分析】先求出5名参赛选手的总成绩，再减去其它选手的成绩，即可得出3号选手的成绩．
【详解】解：∵观察表格可知5名选手的平均成绩为91分，
∴3号选手的成绩为91×5﹣90﹣95﹣89﹣88＝1（分）；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、三人间租住了8间，两人间租住了12间
【分析】根据：住在三人间人数+住在二人间人数=总人数，三人间的总费用+二人间总费用=总费用，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设三人间租住了x间，两人间租住了y间，
根据题意得：
3248 4035022160
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯+⨯=
⎩
，
解得
8
12 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：三人间租住了8间，两人间租住了12间．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，准确找出题中的等量关系是解题关键．
20、（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）至少应安排甲队工作10天．
【分析】（1）根据题意列分式方程、解分式方程、重要验根；
（2）由绿化总费用不超过8万元，列不等式、解不等式即可．
【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
400 x﹣400
2x＝4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
22
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+1800100
50
y
-
×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用、不等式的应用等知识，是常见重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）要证明BD＝CE，只要证明△ABD≌△ACE即可，两三角形中，已知的条件有AD＝AE，AB＝AC，那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论.我们发现∠BAD和∠EAC都是90°加上一个
∠CAD，因此∠CAE＝∠BAD.由此构成了两三角形全等中的（SAS）因此两三角形全等.
（2）要证BD⊥CE，只要证明∠BMC是个直角就行了.由（1）得出的全等三角形我们可知：
∠ABN＝∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN＝90°，根据上面的相等角，我们可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN＝90°，即∠ABN+∠ACE＝90°，因此∠BMC就是直角.
【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠CAE＝∠BAD
在△ABD和△ACE中
AB AC CAE BAD AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE
（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN＝∠ACE
∵∠ANB＝∠CND
∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°∴∠CMN＝90°
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．
22、(1)2；(2)y=2x+30；(3)放入1个小球.
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm ；（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm ，就是点（0，
30）
；3个球时水面高为36，就是点（3，36），从而求出y 与x 的函数关系式．（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm ．故答案为2；
(2)设水面的高度y 与小球个数x 的表达式为y=kx+b ．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm ；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm ，因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则30336b k b =⎧⎨+=⎩
，解，得k 230b =⎧⎨=⎩
．则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=46，
解，得x=1．
所以要放入1个小球．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
23、（1）AB BE ⊥，AB BD EB =+；（1）BD EB AB =+，证明见解析；（3）71或1．
【分析】（1）由已知条件可知，根据全等三角形的判定方法SAS 可证得
E ACD BC ∆∆≌，再利用全等三角形的性质对应边相等对应角相等，进而求得AB BE ⊥，AB BD BE =+．
（1）方法同（1），根据全等三角形的判定方法SAS 可证得E ACD BC ∆∆≌，进而求
（3）在（1）、（1）的基础上，首先对第三问进行分类讨论并画出相应图形，然后求出AD ，BE 长，再将相应数据代入三角形的面积公式，进而求解．
【详解】（1）结论：AB BE ⊥，AB BD BE
=+证明：∵线段CE 是由CD 逆时针旋转90︒得到的
∴CD CE =，90DCE ∠=︒
∵90ACB ∠=︒
∴90ACB DCE ∠=∠=︒
∴ACB DCB DCE DCB
∠-∠=∠-∠∴ACD BCE
∠=∠∴在ACD ∆和BCE ∆中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴E ACD BC ∆∆≌(SAS)
∴AD BE =，ADC BEC
∠∠=∵AB BD AD
=+∴AB BD BE
=+∵180BDC ADC ∠+∠=︒
∴180BDC BEC ∠+∠=︒
∵在四边形CDBE 中，360BDC DBE BEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒，90DCE ∠=︒∴90DBE ∠=︒
∴AB BE
⊥（1）由图1可得：BE BD AB =+，由图3可得：BD BE AB
=+证明：∵90ACB ∠=︒，90DCE ∠=︒
∴90ACB DCE ∠=∠=︒
∴ACD BCE
∠=∠在ACD ∆和BCE ∆中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()
ACD BCE SAS ∆∆≌
∵AD AB BD
=+∴BE AD BD
=+（3）71或1如图：
∵5AB =，7
BD =∴12
BE AD AB BD ==+=∵BE AD
⊥∴1112127222
AED S AD EB ∆=
⋅=⨯⨯=如图：
∵5AB =，7
BD =∴2
BE AD BD AB ==-=∵BE AD
⊥∴1122222
AED S AD EB ∆=
⋅=⨯⨯=【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想，利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握．
24、甲、乙两个工厂每天分别能加工1件、2件新产品
【解析】解：设甲工厂每天能加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，
根据题意得，
1200120010x 1.5x
-=，解得x=1．经检验，x=1是原方程的解，并且符合题意．
1.5x=1.5×1=2．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工1件、2件新产品．
设甲工厂每天能加工x 件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x 件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．
25、（1）(6,2)；（2）(1,7)；（3）等腰直角三角形，证明见详解.
【分析】（1）证ABO BCD ≌，AO BD =，BO CD =.
（2）由12
ABM ABC S S ∆∆=可知作Rt ABC ∆的一半的面积与ABM ∆相等，可作一条过AC 的中点的平行于AB 的直线将会交l 于M 点，证ABO MHI ≌，4MI AO ＝＝，M (1,7).
（3）E 、G 分别为ABO ∆的中点，知1
22EG AO CD =＝＝，EG CD ，BD CD ⊥，
ECDG 为矩形，EC EG ⊥,CE OD OG -＝，ME MG EG -＝，可判断CE ME ＝，即可得CEM ∆的形状.
【详解】（1）∵24y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ,
∴可得A (0,4)，B(2,0)，
∵90ABC ∠=︒，
∴90ABO CBD ∠+∠=︒，
∵90ABO BAO ∠+∠=︒，
∴BAO CBD ∠∠＝，
在ABO 与BCD 中，
90BA BC AOB BDC BAO CBD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝＝＝，∴ABO BCD ≌；
∴2BO CD ＝＝，4AO BD =＝；
∴DO＝BO+BD＝4+2＝6；
∴()
6,2C （2）如下图作一条过AC 的中点H 点的平行于AB 的直线将会交l 于一点，由A 、C 点可得H 点坐标()3,3，∵12
ABM ABC S S ∆∆=，12ABH ABC S S ∆∆=∴ABM ABH S S ∆∆=，
∴ABM 与ABH 的高相等，即过H 点的平行于AB 的直线将会交l 于M 点∵y l ，
∴OAB GEB
∠∠＝∵AB MH ，
∴GEB EMH ∠∠＝，
∴OAB EMH ∠∠＝，
如下图过H 点作l 的垂线交于I 点，312HI =-=，得HI OB =，3IG =，在ABO 与MHI 中，
90OB HI AOB MIH OAB EMH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝＝＝，∴ABO MHI ≌；
∴4AO MI ==，
∴347MG IG MI +=+==；
∴M (1,7)
（3）∵E 、G 分别为ABO ∆的中点，∴122EG AO CD =
==，∵EG CD ，BD CD
⊥∴ECDG 为矩形；
∴EC EG ⊥，CE OD OG -＝,ME MG EG
-＝∵112
OG OB ==，246OD =+=，7MG =，
∴CEM
为等腰直角三角形；
【点睛】
一次函数、三角形全等证明、矩形证明这些跨章节知识点的应用，需要对知识的融会贯通.
26、（1）见解析；（2）68°
【分析】（1）根据条件即可证明△BDE ≌△CEF ，由全等三角形的性质得到DE=EF ，即可得DEF ∆是等腰三角形；
（2）先求出∠B 的值，由（1）知∠BDE =∠CEF ，由外角定理可得∠DEF =∠B ．
【详解】（1）证明：∵AB AC =，
∴∠B =∠C ，
在△BDE 和△CEF 中，
BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△CEF （SAS ），
∴DE=EF ，则DEF ∆是等腰三角形；
（2）解：∵44A ∠=︒，AB AC =，
∴∠B =∠C =11(180)(18044)6822
︒-∠=︒-︒=︒A ，由（1）知△BDE ≌△CEF ，
∴∠BDE =∠CEF ，
∵∠DEC =∠BDE +∠B ，
∴∠CEF +∠DEF =∠BDE +∠B ，即∠BDE +∠DEF =∠BDE +∠B ，
∴∠DEF =∠B=68°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角定理，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及角度的转换．。