江西省上饶市三清中学高一数学理联考试题含解析

江西省上饶市三清中学高一数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，若且，则的值是（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
C
，
，
，
，
∴，
∴，
若即，
，当时，
，
故选．
2. 由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含有()
A．2个元素B．3个元素
C．4个元素D．5个元素
参考答案：
A
解析：＝|x|，－＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
3. 方程组的解的集合为
A.{1，2}
B.
C. D.{(1,2)}
参考答案：
D
略
4. 如图，某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m．现有一船宽10m，则该船水面以上的高度不得超过（）
A．+6 B．C．－6 D．+6
参考答案：
C
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】可得R2=（R﹣4）2+82，解得R=10，由如图得DM=EH=5，OH=OD+DH=6+DH 由OE2=EH2+OH2，得102=52+（6+DH）2，解得DH=5，即可得该船水面以上的高度不得超过5m
【解答】解：如图，设圆拱所在圆的圆心为O，
依题意得AD=8，OA=R，OD=R﹣4，
由OA2=OD2+AD2，即R2=（R﹣4）2+82，解得R=10，
如图DM=EH=5，OH=OD+DH=6+DH，
由OE2=EH2+OH2，得102=52+（6+DH）2，解得DH=5，
∴该船水面以上的高度不得超过5m，
故选：C．
5.
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
6. （5分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞）D．[2，
+∞）
参考答案：
B
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数单调性的性质进行求解即可．
解答：∵f（x）是R上的增函数，
∴0+a≤20=1，
即a≤1，
故选：B．
点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用分段函数端点处的大小关系是解决本题的关键．
7. 若，，则，2，，中最大一个是
（）
A． B．2 C． D．
参考答案：
A
略
8. 函数的最小值等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 中，则使等式成立的充要条件是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C．
解析：由题设知，
反之也成立.
10. 函数的的定义域是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________．
参考答案：
已知为增函数且，
若，由复合函数的单调性可知和均为增函数，
故不合题意；
当时，，可得，
可得，
∵在上的最小值为，
∴，即，
解得：或（舍），
故实数的取值范围是．
12. 已知，则_________。

参考答案：
解析：，。

13. 已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．
参考答案：
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．
【解答】解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，
∴﹣1≤x+1≤4，
∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，
令﹣1≤2x﹣1≤4，
解得0≤x≤，
故答案为：．
14. 若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于________．
参考答案：
15. 已知，且，则_____.
参考答案：
【知识点】诱导公式
【试题解析】因为
所以，
故答案为：
16. 若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= 。

参考答案：
解析：设则
17. 三个数，G，成等比数列. 且＞0，则 .
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 如图4，已知是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上任一点,是线段的中点，是线段上的一点.
求证：(Ⅰ)若为线段中点，则∥平面；
(Ⅱ)无论在何处，都有.
参考答案：
（I）分别为的中点,
∥. 4分
又
∥6分
（II）为圆的直径,
.
．
8分
,
. 10分
无论在何处,
,
. 12分
19. 以直线与的交点A，及组成三角形ABC，AD为BC边上的高，垂足为D，求AD所在直线方程及三角形ABC的面积。

参考答案：
以直线与的交点A，及组成三角形ABC，AD为BC 边上的高，垂足为D，求AD所在直线方程及三角形ABC 的面积。

解1：先求交点，再求斜率，最后得直线方程，
由得A（1，1），BC所在直线的斜率为，所以
AD直线斜率为，所以AD直线所在方程为 (6)
直线BC的，点A到直线的距离d=1， (11)
--------------------------------14
解法2：设经过交点A的直线方程，直线BC的方程
再求出直线AD的方程，面积也可由割补法得到
再求出直线AD的方程，面积也可由割补法得到
略
20. （12分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=a n?3n，求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）由数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（2）由a n=2n，知b n=a n?3n=2n?3n，所以S n=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，再由错位相减法能够求出数列{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．
（2）∵a n=2n，
∴b n=a n?3n=2n?3n，
∴S n=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①
3S n=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②
①﹣②得﹣2S n=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1
=2×﹣2n×3n+1
=3n+1﹣2n×3n+1﹣3
=（1﹣2n）×3n+1﹣3
∴S n=+．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．
21. 在公差是整数的等差数列{a n}中，，且前n项和．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由题意知，的最小值为，可得出，可得出的取值范围，结合，可求出的值，再利用等差数列的通项公式可求出；
（2）将数列的通项公式表示为分段形式，即，于是得
出可得出的表达式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
由题意知，的最小值为，则，
，所以，解得，，，
因此，；
（2）.
当时，，则，；
当时，，则，
.
综上所述：.
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将的最小值转化为与项相关的不等式组进行求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
22. （本题满分12分）如下图(2),建造一个容积为8，深为2的长方体无盖水
池，如果池底的造价为120，池壁的造价为80，问应该怎样设计使总造价最低？最低造价是多少？
参考答案：
（本题满分12分）解：分别设长、宽为、；水池的总造价为元，
则有
得
，即（元）
当且仅当时，即当且仅当时，总造价最小为1760元答：当池底的长和宽分别造为2的正方形时，总造价最低为1760元备注：用其它方法可以相应给分
略。