人教新课标版数学高一A版必修2导学案 倾斜角与斜率

3．1.1 倾斜角与斜率
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系．
2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，并会简单的应用．
1．倾斜角
0°≤α<180°
用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的
______，二者缺一不可
理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
【做一做1】如图所示，直线l的倾斜角为()
A．45°B．135°C．0°D．不存在
范围 ____
公式 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________ 作用
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的________
①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x 轴； ②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；
③直线的斜率也反映直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜程度也越大；
④k >0
0°<α<90°；k ＝0
α＝0°；k <0
90°<α<180°；k 不存在
α＝90°.
【做一做2－1】 已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( ) A ．0
B.3
3
C ．1
D. 3
【做一做2－2】 已知P 1(3,5)，P 2(－1，－3)，则直线P 1P 2的斜率k 等于( )
A ．2
B ．1 C.1
2 D ．不存在
答案：1．x 上 0° 倾斜程度 倾斜角 【做一做1】 B
2．正切值 tan α R y 2－y 1
x 2－x 1 倾斜程度
【做一做2－1】 B 【做一做2－2】 A
1．倾斜角
剖析：(1)理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴的正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴正方向的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其
倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
2．斜率公式
剖析：(1)直线的斜率公式表明直线相对于x 轴正向的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，这比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率的方法简便．
(2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1
x 2－x 1
.
(3)当x 1＝x 2时，斜率不存在．
(4)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
3.已知直线的斜率求直线的倾斜角
剖析：本节中仅要求求特殊的倾斜角，因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即可，其对应情况如下表所示．
由上表可见，当直线的斜率k ＝0，±3
3，±1，±3或斜率k 不存在时，其倾斜角均是特
殊角．
题型一：已知两点坐标求倾斜角和斜率
【例1】 求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)，(－2，3)； (2)(1，－2)，(5，－2)； (3)(3,4)，(－2,9)； (4)(3,0)，(3，3)．
反思：已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求倾斜角和斜率的步骤：(1)当x 1＝x 2时，倾斜角α＝90°，斜率不存在；(2)当x 1≠x 2时，先求斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1
x 2－x 1，再根据k 的值确定
倾斜角α的大小．
题型二：三点共线问题
【例2】 若三点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，k )在同一条直线上，则实数k ＝__________. 反思：用斜率解决三点共线问题的依据是：A ，B ，C 三点共线
k AB ＝k AC (k AB ＝k BC )．
题型三：已知一个点和斜率画直线
【例3】 在平面直角坐标系中，画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1的直线l 1，l 2. 反思：已知过点P(m ，n)且斜率为k 的直线l ，在平面直角坐标系中画l 的步骤：(1)设Q(x 0，y 0)是l 上的一点；(2)利用斜率公式得k ＝y 0－n
x 0－m ；(3)整理得y 0＝k (x 0－m)＋n ，取x 0＝
0(或y 0＝0)解得y 0(或x 0)的值，得点Q 的坐标(0，y 0)[或(x 0,0)]；(4)在平面直角坐标系中，描出点P 和Q ，过点P ，Q 的直线就是所要画的直线l .
题型四：易错辨析 易错点 错记斜率公式
【例4】 过点P 1(3，－1)和P 2(4,2)的直线的斜率k ＝__________. 错解：k ＝2－(－1)
3－4
＝－3.
错因分析：错解中，错把斜率公式记为k ＝y 2－y 1
x 1－x 2
.
反思：斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1
x 2－x 1
，其特点是：①分子是纵坐标的差；②分母是横坐标
的差；③两个差的“顺序”相同．
答案：【例1】 解：(1)直线的斜率k ＝3－0
－2＋3
＝3＝tan 60°， 此直线的斜率为3，倾斜角为60°.
(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1
＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°.
(3)直线的斜率k ＝9－4
－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.
(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 【例2】 6
【例3】 解：设Q 1(x 1，y 1)是直线l 1上的一点，则有y 1－1x 1－2＝0，即y 1＝1，于是Q 1(x 1,1)．令
x 1＝0，则Q 1(0,1)．过点P 及(0,1)的直线即为l 1，如图所示．
同理，由1＝y 2－1
x 2－2，得y 2＝x 2－1，令y 2＝0，则x 2＝1，于是得直线l 2上的一点Q 2的坐
标(1,0)过点P 及Q 2(1,0)的直线即为l 2，如图所示．
【例4】 3
1．过点(－3,0)和点(－4，3)的直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．150° C ．60° D ．120° 2． 若三点A(1,2)，B(3，－2)，C(0，m)共线，则实数m ＝__________. 3．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m －1)所在直线的倾斜角为45°，则m 的值等于__________．
4．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上． 5．在平面直角坐标系中，画出经过点P(－1,3)且斜率分别为－1,2的直线l 1，l 2.
答案：1．D 2.4 3.2 4．证明：由斜率公式，得k AB ＝
11351--＝2，k AC ＝53
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----＝2， ∴k AB ＝k AC ，且AB 与AC 都过点A ， ∴直线AB ，AC 斜率相同，且过同一点A ， ∴A ，B ，C 这三点在同一条直线上．
5. 解：设Q 1(x 1，y 1)是直线l 1上的一个点，则有
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y x -+＝－1，即y 1＝－x 1＋2令y 1＝0，有x 1＝2，则Q 1的坐标为(2,0)，过点P 及Q 1(2,0)的直线即为直线l 1，如图所示．
同理，设Q 2(x 2，y 2)是直线l 2上的一个点， 由
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y x -+＝2，得y 2＝2x 2＋5，令x 2＝0，得y 2＝5，则Q 2的坐标为(0,5)过点P 及Q 2(0,5)的直线即为直线l 2，如图所示．。