高中数学(北师大版)必修五教案：1.3 拓展资料：等比数列的派生数列

等比数列的派生数列
我们约定由等比数列的组合生成的新数列为派生数列，派生数列有非常漂亮的性质．
性质1 设等比数列{a
n
}的公比为q，k∈N，k≥1，i∈N，i≥1，
若b
1＝a
i
，b
2
＝a
i+k+1
，b
3
=a
i+2(k+1)
，…，b
n
＝a
i+(n-1)(k+1)
，…，则数列{b
n
}
仍为等比数列，其公比为q k+1．
特别地，当i＝1，k＝1时，{b
n }成为{a
n
}的所有奇数项组成的
数列；当i＝2，k＝1时，{b
n }由{a
n
}的所有偶数项组成，显然它们
均为等比数列．且公比为q2．
性质2 设等比数列{a
n }的公比为q，k∈N．k≥1，若b
1
＝a
1
＋
a 2＋…＋a
k
，b
2
＝a
k+1
＋a
k+2
＋…＋a
2k
，…，b
n
＝a
(n-1)k+1
＋a
(n-1)k+2
＋…＋
a nk ，…，则数列{b
n
}仍为等比数列，即S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
，…，
S nk －S
(n-1)k
，…成等比数列，其公比为q k．
特别地，当k＝3时，b
1＝a
1
＋a
2
＋a
3
，b
i
＝a
4
＋a
5
＋a
6
，…，b
n
＝a
3n-2＋a
3n-1
＋a
3n
，…，显然，{b
n
}是公比为q3的等比数列，此即为
1999年全国高中数学联赛的一道试题．
推广设等比数列{a
n
}的公比为q，k∈N，k≥1，λ∈R．
- 1 - / 2
特别地，当λ＝1时，即成性质2，当λ＝2时，用途广泛．
性质3 设等比数列{a
n }的公比为q，k∈N，k≥1，若b
1
＝a
1
a
2
…a
k
，
b 2＝a
k+1
a
k+2
…a
2k
，…b
n
＝a
(n-1)k+1
a
(n-1)k+2
…a
n)k
，…，则{b
n
}仍为等比数列，
其公比为q k2．
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