2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德天心中学九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德天心中学九年级第一学
期期中数学试卷
一、选择题。

（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，则该二次函数图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
3．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝（）
A．1.5B．3C．4D．5
4．如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（）
A．25B．8C．5D．13
5．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）
A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
6．已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（）
A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
7．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2 8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝70°，则∠C为（）
A．55°B．70°C．110°D．140°
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；
④4a+2b+c＜0．其中一定正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．140°
二、填空题。

（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向右平移2个单位后图象的函数表达式为．12．圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．
13．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD 的度数为．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜3时，x的取值范围是．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为．
16．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）
三、解答题。

（本大题共9小题，满分72分）
17．计算：．
18．解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6x＝11．
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，A、B、C的坐标分别是（﹣2，3）、（﹣1，1）、（0，2）．
（1）作△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
20．已知二次函数y＝x2﹣x+m．
（1）若该二次函数图象经过点（2，1），求二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象与x轴的两个交点的距离为5，求m的值．
21．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？
22．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
23．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝3，GE＝3，求⊙O的半径和EF的长．
24．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y＝x2的图象上的明德点是；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
25．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直
线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度．
参考答案
一、选择题。

（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形（考虑颜色），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，则该二次函数图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
【分析】由二次函数解析式可知a＝1，b＝﹣4，c＝5，代入二次函数顶点坐标公式即可得到结果．
解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，
∴x＝﹣＝﹣＝2，y＝＝＝1，
二次函数图象的顶点坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解决本题的关键．
3．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝（）
A．1.5B．3C．4D．5
【分析】根据旋转的性质，得出△ABC≌△EDC，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
解：由旋转可得，△ABC≌△EDC，
∴DE＝AB＝1.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质的运用，解题时注意：旋转前、后的图形全等．4．如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（）
A．25B．8C．5D．13
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AM，再根据勾股定理求出OM即可．
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD为26，
∴OC＝OA＝13，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，
∴AM＝BM，
∵AB＝24，
∴AM＝12，
由勾股定理得：OM＝＝＝5，
∴CM＝OC﹣OM＝13﹣5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理得出AM＝BM是解此题的关键．
5．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，
假设每一个内角都小于90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（）
A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
【分析】由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，0），然后根据A、B到对称轴的距离的大小即可判断．
解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，0），
∵A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），
∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|，
∴y1＜y2＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2【分析】函数与x轴的交点横坐标就是令y＝0时的一元二次方程的解，可以用Δ＞0解题．
解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与x轴的交点横坐标就是y ＝0时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为0，这是同学们解题时容易忽略的点．
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝70°，则∠C为（）A．55°B．70°C．110°D．140°
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝55°．
故选：A．
【点评】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；
④4a+2b+c＜0．其中一定正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、
b、c的符号；
②根据对称轴的x＝1来判断对错；
③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
④根据对称轴x＝1来判断对错．
解：如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；
抛物线开口方向向下，则a＜0，b＝﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0，
故①正确；
如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，
所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）
A．120°B．125°C．135°D．140°
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．
解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用∠C表示∠AIB的度数．
二、填空题。

（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向右平移2个单位后图象的函数表达式为y＝（x﹣3）2+1．
【分析】根据平移规律“左加右减”写出新抛物线解析式即可．
解：二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向右平移2个单位后图象的函数表达式为：y＝（x ﹣1﹣2）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．
故答案是：y＝（x﹣3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移的规律，平移的规律是：左加右减，上加下减．
12．圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为27πcm2（结果保留π）．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
解：∵圆锥的底面半径为3cm，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π•3＝6πcm，
∴圆锥的侧面积＝•6π•9＝27π（cm2）．
故答案为：27π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆
锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S＝lR，（l 为弧长）．
13．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD 的度数为30°或150°．
【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质求出∠COD，分点P在优弧上、点P 在劣弧上两种情况，根据圆心角定理解答即可．
解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
当点P在优弧上时，∠CPD＝∠COD＝30°，
当点P在劣弧上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，
则∠CPD的度数为30°或150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理，正确求出正六边形的中心角的度数是解题的关键．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜3时，x的取值范围是﹣1＜x ＜3．
【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴、开口方向，进而得到当y＝3时对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可得到当y＜3时，x的取值范围．
解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线x＝＝1，当x＝3时，y＝3，该函数图象开口向上，
故x＝3和x＝﹣1时的函数值一样，都是3，
则当y＜3时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为32°．
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°．
故答案为：32°．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣1．（结果保留根号）
【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF ﹣CD即可．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝1，∠CDA＝90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF＝，∠CFE＝45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题。

（本大题共9小题，满分72分）
17．计算：．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
解：
＝1+2+1﹣+2
＝+4．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18．解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6x＝11．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）2x2﹣8＝0，
∴x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣6x＝11，
∴x2﹣6x+9＝11+9，即（x﹣3）2＝20，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，A、B、C的坐标分别是（﹣2，3）、（﹣1，1）、（0，2）．
（1）作△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于x对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积去减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1＝1.5．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
20．已知二次函数y＝x2﹣x+m．
（1）若该二次函数图象经过点（2，1），求二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象与x轴的两个交点的距离为5，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可．
（2）设x1、x2是二次函数y＝x2﹣x+m图象与x轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝m，由两个交点的距离为5，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，即12﹣4m＝25，解得m＝﹣6．
解：（1）把点（2，1）代入y＝x2﹣x+m，得22﹣2+m＝1．
解得m＝﹣1．
故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣1；
（2）设x1、x2是二次函数y＝x2﹣x+m图象与x轴的两个交点的横坐标，
∴x1+x2＝1，x1x2＝m，
∵两个交点的距离为5，
∴|x1﹣x2|＝5，
∴（x1﹣x2）2＝25，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
∴12﹣4m＝25，
∴m＝﹣6．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，注意函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
21．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？
【分析】（1）根据题意找出抛物线顶点坐标，把函数解析式设为顶点式，再把（0，1.9）
代入解析式求出a即可；
（2）由（1）解析式，令y＝0，解关于x的一元二次方程即可．
解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（9，10），
设抛物线解析时为：y＝a（x﹣9）2+10，
∵手榴弹离手点离地面高度为1.9米，
∴（0，1.9）在此抛物线上，
∴1.9＝a（0﹣9）2+10，
解得：a＝﹣0.1，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣9）2+10；
（2）由（1）得：y＝﹣0.1（x﹣9）2+10，
令y＝0，﹣0.1（x﹣9）2+10＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝19，
∴志愿军同志的手榴弹扔了19米．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．22．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【分析】（1）销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）让（1）中的y＝1920求得合适的x的解即可．
解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3）1920＝﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得x＝2或x＝6，
∵0≤x≤5，
∴x＝2，
∴30+2＝32（元）
∴售价为32元时，利润为1920元．
【点评】考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
23．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝3，GE＝3，求⊙O的半径和EF的长．
【分析】（1）连接OE，由＝知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF得证；
（2）设OA＝OE＝r，由勾股定理求得半径根据EF∥OE，得到即可求出EF的值．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵＝，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴半径OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，
∵AG＝3，GE＝3，
由OG2＝GE2+OE2，
可得（3+r）2＝（3）2+r2，
解得：r＝3，
即⊙O的半径为3，
∴OG＝AG+OA＝6，
∵BF∥OE，
∴，
即＝，
∴EF＝．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．24．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 不是“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y＝x2的图象上的明德点是（0，0）或（2，4）；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据“明德函数”的定义直接判断即可导出结论；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x+3不是“明德函数”；
②令y＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，
∴函数y＝x2的图象上的“明德点”是：（0，0）或（2，4）；
故答案为：①不是；②（0，0）或（2，4）；
（2）由题意可知，＝2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0，
∵抛物线上有两个“明德点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜且m≠1．
（3）由题意可知，x2+（m﹣k+2）x+﹣k＝2x，
整理得，x2+（m﹣k）x+﹣k＝0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（﹣k）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；
根据题意需要分类讨论：
①，
∴k＝0；
②，无解；
③，
∴k＝或k＝（舍去）．
综上，k的值为0或．
【点评】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想等，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
25．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度．
【分析】（1）二次函数的对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，故b＝﹣2，将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中，即可求解；
（2）分点P在点C上方P1的位置、点P在点C下方P2的位置两种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2．
将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中，解得c＝﹣3．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴B（3，0）．
又∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝45°．
如图，①当点P在点C上方P1的位置时，
∵∠P1BC＝15°，
∴∠P1BO＝30°．
在Rt△P1BO中，OP1＝OB tan30°＝，
∴CP1＝3﹣；
②当点P在点C下方P2的位置时，
∵∠P2BC＝15°，
∴∠P2BO＝60°．
在Rt△P2BO中，OP2＝OB tan 60°＝3，
∴CP2＝3﹣3．
综上，线段CP的长度为3﹣或3﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．。