苏教版 选修2-1 椭圆

绳长＝ F1 F2
绳长＜ F1 F2
例4、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 、 适合下列条件的椭圆的标准方程：
x 2 + y =1 1)a=4,b=1，焦点在 轴上； ，焦点在x轴上 16
y x 2)a=4,c=1，焦点在 轴上； 轴上； ，焦点在y轴上 + =1 16 15
3)b=1,c= 15；
为(0,± 5 )，故可设所求椭圆方程 为： x y 代入方程， + = 1，把 ( 2,−3)代入方程， m m+5 得：m = 10或m = −2( 舍去 ) x y 故所求椭圆方程为： 故所求椭圆方程为： + = 1. 10 15
--------待定系数法
2 2 2 2
根据已知条件求椭圆的标准方程： 根据已知条件求椭圆的标准方程： 1、直接法：先定位再定量 直接法： 待定系数法:确定焦点所在 2、待定系数法 确定焦点所在 的位置，选择标准方程的形式； 的位置，选择标准方程的形式； 的值， 求解a，b的值，写出椭圆的标准 方程． 方程．
2 2
2
x2 y2 2 + y =1 或 + x2 = 1 16 16
-----直接法 -----直接法
例5、若一椭圆两焦点分别是椭圆 9x2+4y2=36的两焦点，并且经过 的两焦点， 的两焦点 点A(2,−3)，求该椭圆方程. − ，求该椭圆方程.
椭圆9x [解] ∵椭圆 2+4y2=36的两焦点 的两焦点
y
•
P(x, y)
x
∵ OP = r ∴
2
r
O
•
x +x +y =r
2
2
1建系
2设坐标
3列等式
4代坐标
5化简方程
[1] 建系 以过焦点 1，F2的直线为x轴，线段F1F2 的 建系: 以过焦点F 的直线为 轴 垂直平分线为y 建立直角坐标系， 垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，则
江苏省张家港市高级中学
试一试：取一条一定长的细绳， 试一试：取一条一定长的细绳， 把它的两端固定在画图板上的F 把它的两端固定在画图板上的 1和F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时， 的距离时， 两点，当绳长大于 用铅笔尖把绳子拉紧， 用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板 上慢慢移动． 上慢慢移动．
x b=____,焦点位于____轴上，焦点坐标是 2 ( 5, 0), (− 5, 0) ____________
例2、求椭圆16x + 7 y = 112的
2 2
焦点坐标.
例3、若动点P到两定点F1 （-4，0）、 F2 4， （ 0）的距离之和为8，则动 点P的轨迹是（ B ） A、椭圆 C、直线F1F2 B、线段F1F2 D、不存在
2
2
2
2
例1、将下列椭圆方程改写成标准方程:
(1)4 x + 3 y = 1
2 2
x 1 4
2
+
y 1 3
2
= 1
(2)5x + 6 y = 30
2 2
x y + 6 5
2
2
= 1
x 2 y2 若P为椭圆 + =1上一个动点，则P到两 9 4 6 个焦点之间的距离之和为 ____________ 若P到其中一个焦点F1的距离是4，则P到另 外一个焦点F2的距离是____，其中a=____, 2 3
F2
o
F1•
x
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
2
y 2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
如何根据标准方程判断焦点位于哪根坐标轴上？ 如何根据标准方程判断焦点位于哪根坐标轴上？
x y x y 上述椭圆 + =1 和 + =1 1 1 6 5 4 3 它们的焦点分别位于哪根坐标轴上？
0
F2
x
∴ ∴
4
( x + c) + y = 2a − ( x − c) + y
2 2 2
2
a − cx = a ( x − c) + y
2 2
2
a − 2a cx + c x = a x − 2a cx + a c + a y
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
∴
(a − c )x + a y = a (a − c )
2 2 2 2 2 2
2 2
∵ a > c > 0 ∴ a −c > 0 令 a2 − c2 = b2 , b > 0
∴ b2 x2 + a2 y2 = a2b2
则，椭圆的方程为： 椭圆的方程为：
x + y =1 2 2 a b
2
2
y
•
•
y
P ( x, y )
•
F2•
•
P ( x, y )
F1
o
x
谢 谢 同 学 们
F1 M F2
☺椭圆的定义：
平面内到两定点F 平面内到两定点 1、F2的距离 之和等于常数( 大于 1F2)的点的轨 之和等于常数 大于F 的点的轨 迹叫做椭圆 迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆 椭圆 的焦点，两焦点的距离叫做焦距 焦点，两焦点的距离叫做焦距. 焦距
以圆心O为原点， 以圆心O为原点，建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x， 设圆上任意一点P(x，y) P(x
F1(−c,0), F 2(c,0)
[2] 设点 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点 设点: [3] 找关系 M与F1,F2 距离 之和 等于 (2a>2c), 找关系: 与 等于2a 代坐标: [4] 代坐标 [5] 化简 化简:
F1 y M
所以有 MF1+ MF2=2a
( x + c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 = 2a