幂级数(1)资料

[解]
把函数
z
1
b
1
写成可利用 1
z



n0
zn (|
z
|
1)
的形式即得:
z
1
b

(z

a)
1
(b

a)

1 ba

1

1 z

a
ba

1 ba

(z a) (b a)2


(z a)n (b a)n1

收敛半径为 R=|ba| 18
y b
当|za|<|ba|=R时 级数收敛
n0
如果在z z0级数发散, 则对满足 | z || z0 |的z,级数必发散.
y z0
O
x
5
幂级数

证
因
n0
cn
z0n收敛,
则
lim
n
cn
z0n

0,
从而存在M 使对所有的n有 | cn z0n | M .
n
如果
|z

||
z0
|, 则
|z| | z0 |

q

1,
而 | cn zn || cn z0n |
在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛.
收敛圆的半径R称为收敛半径.
所以幂级数

cn z n
的收敛范围是以原点为中心的圆域.
对幂级数 n0

cn (z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2 cn (z a)n
n0
来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域.
n0
n0

(an bn )zn , n0
f
(
z)g
(z)



an
z
n



bn
z
n

n0
n0


(anb0 an1b1 a0bn )zn , n0
| z | R, R min(r1, r2 ).
29
幂级数
幂级数的运算和性质:


(z a)n (b a)n1

收敛半径为 R=|ba| 31
幂级数
幂级数的运算和性质:
定理 4.8 1)和函数解析;

2)可逐项求导, 即 f (z) n1 ncn (z a)n1
3) 可逐项积分, 即

f (z) d z cn (z a)n d z,
n0
如果在z z0级数发散, 则对满足 | z || z0 |的z,级数必发散.
y z0
O
x
25
幂级数
收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.
26
幂级数
牢记结果: 1 1 z z2
1 z

或
cn zn c0 c1z c2z2 cn zn
n0


作一平移可互化: cn (z a)n cn n
n0
n0
4
幂级数
定理(阿贝尔Abel)

cn zn在z z0 ( 0)收敛,则对满足 | z || z0 |的z, 级数必绝对收敛;
n0
cn (z a)n

或
cn zn c0 c1z c2z2 cn zn
n0


作一平移可互化: cn (z a)n cn n
n0
n0
24
幂级数
定理(阿贝尔Abel)

cn zn在z z0 ( 0)收敛,则对满足 | z || z0 |的z, 级数必绝对收敛;
内g(z)解析且满足 | g(z) | r,则在区域D内,

f [g(z)] an[g(z)]n. n0
这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.
17
幂级数
幂级数的运算和性质:

例：把函数
z
1 Leabharlann b表成形如n0
cn
(z

a)n
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数.
a
O
x
19
幂级数
幂级数的运算和性质:
定理 4.8 1)和函数解析;

2)可逐项求导, 即 f (z) n1 ncn (z a)n1
3) 可逐项积分, 即

f (z) d z cn (z a)n d z,
C
n0 C
或
C | z a | R
z

f ( ) d
更为重要的是代换(复合)运算:

如果当| z | r时, f (z) an zn ,又设在区域D n0
内g(z)解析且满足 | g(z) | r,则在区域D内,

f [g(z)] an[g(z)]n. n0
这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.
30
幂级数


(anb0 an1b1 a0bn )zn , (据级数的柯西积定理) n0
| z | R, R min(r1, r2 ).
16
幂级数
幂级数的运算和性质:
更为重要的是代换(复合)运算:

如果当| z | r时, f (z) an zn ,又设在区域D n0
zn
(| z | 1)
27
幂级数
收敛半径的求法:
定理 4.6(比值法)
lim cn1 如果 n cn



0
.则收敛半径
R

1

.
定理 4.7(根值法)
如果
lim
n
n
| cn
|



0 ,则收敛半径 R

1

.
28
幂级数
幂级数的运算和性质:


f (z) g(z) an zn bnzn
14
幂级数
幂级数的运算和性质:
象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设


f (z) an zn , R r1, g(z) bn zn , R r2
n0
n0
在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这 两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得
cn (z a)n1
a
n0 n 1
(牢记结果,能用,证略)
20
小结
4.2 幂级数
21
函数项级数
复变函数项级数:

fn (z) f1(z) f2(z) fn (z) (4.3)
n1
部分和:
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
22
函数项级数
复变函数项级数
1 z
zn
(| z | 1)
13
幂级数
收敛半径的求法:
跟实的情况类似,有比值法和根值法,即
定理 4.6(比值法)
lim cn1 如果 n cn



0
.则收敛半径
R

1

.
定理 4.7(根值法)
如果
lim
n
n
| cn
|



0 ,则收敛半径 R

1

.
都是与等比级数比较得证(具体略),牢记结果,会用,
z z0
Mqn
由于 Mqn为公比小于1的等比级数,故收敛,
n0


因此 | cn zn | Mqn亦收敛,
n0
n0

从而级数 cn zn是绝对收敛的.
n0
6
幂级数

如果级数 cn z0n发散, 且如果 | z || z0 | n0
用反证法,设级数 cn zn反而收敛,则根据 n0

fn (z) f1(z) f2(z) fn (z) (4.3)
n1
在 z0 收敛:
lim
n
sn
( z0
)

s( z0
)
和: s(z0).
在D内处处收敛, 则有 和函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
23
幂级数

cn (z a)n c0 c1(z a) c2 (z a)2
在收敛圆上是否收敛, 则不一定.
10
幂级数
例1 求幂级数

zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn
1
z

z2

zn

1 zn 1 z
,(z
1)
当|
z
| 1时,由于lim n
zn

0, 从而有 lim n
sn

1 1
z
,

即| z | 1时级数 zn收敛,和函数为
1
,
n1
1 z
11
幂级数
当| z |1时,由于n 时zn不趋于零,级数发散.
综上,级数收敛范围为| z | 1,在此范围内绝对收敛,并有 1 1 z z2 zn
1 z
12
幂级数
牢记结果: 1 1 z z2
n1
在 z0 收敛:
lim
n
sn
( z0
)

s( z0
)
和: s(z0).
在D内处处收敛, 则有 和函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
3
幂级数

cn (z a)n c0 c1(z a) c2 (z a)2
n0
cn (z a)n
8
幂级数
设z=α (正实数)时, 级数收敛, z=β(正实数)时, 级数发散.
显然a<b, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.
y CR Cb
R
Ca
Oa
bx
9
幂级数
当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,
R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.
第四章 级数
4.2 幂级数
1
函数项级数
复变函数项级数:

fn (z) f1(z) f2(z) fn (z) (4.3)
n1
部分和:
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
2
函数项级数
复变函数项级数

fn (z) f1(z) f2(z) fn (z) (4.3)
C
n0 C
或
C | z a | R
z

f ( ) d
cn (z a)n1
a
n0 n 1
(牢记结果,证略)
32
本讲结束,谢谢大家!
33
到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.
15
幂级数
幂级数的运算和性质:


f (z) g(z) an zn bnzn
n0
n0

(an bn )zn , n0
f
(
z)g
(z)



an
z
n



bn
zn

n0
n0
幂级数的运算和性质:

例：把函数
z
1
b
表成形如
n0
cn
(z

a)n
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数.
[解]
把函数
z
1
b
写成可利用
1 1
z



n0
cn zn
的形式即得:
z
1
b

(z

a)
1
(b

a)

1 ba
1
1 z
a
ba

1 ba

(z a) (b a)2
前面的结论可导出 cn z0n收敛, n0
与所设矛盾. 因此只能是 cn zn发散 n0
7
幂级数
收敛圆和收敛半径: 利用阿贝尔定理, 可以定出级数的收敛范围, 对一个幂级 数来说, 它的收敛情况不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii) 对所有的正实数都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散 的正实数.