正圆点三角形重构倒圆点三角形的最优值分析

㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀正圆点三角形重构倒圆点三角形的最优值分析
正圆点三角形重构倒圆点三角形的最优值分析Һ李清康㊀（西北工业大学附属小学，陕西㊀西安㊀７１００７２）
㊀㊀ʌ摘要ɔ本文研究了把正圆点三角形重构成倒圆点三角形需要移动圆点个数最少的最优值问题，从图形变换问题中抽象出数学问题并进行了深入的分析，给出了两种求解该重构问题的方法：一种方法是根据规律总结出一个计算公式，另一种方法是基于图形最大面积的特性，移动三个小三角形的位置，并计算所移动的三个小三角形所包含的小圆点的个数．
ʌ关键词ɔ圆点三角形；重构；数形结合；最优值
一㊁引㊀言
对于一个由圆点构成的等边三角形，可以移动部分圆点使其变成倒等边三角形．如何通过移动最少个数的圆点就可以把原来的三角形重新构成倒等边三角形引起了许多人的兴趣，当圆点个数少时，这变成了一个益智游戏．通过深入分析发现，这是一个数形结合的奇妙的数学问题，该数学问题不但可以启发中小学生的抽象思维能力，也能够激发学生对数学问题产生浓厚兴趣．在圆点个数比较少的情况下，可以通过穷举法找到移动圆点个数最少的方法，但当三角形边长的圆点数较多时，利用穷举法分析就显得有些不合适．通过对这个问题的进一步观察研究，我们发现这个问题可以抽象为一个数学求和问题，同时，该数学问题也包含了优化概念．由此问题也可以引申出整数的商的求和问题．
二㊁问题分析
图１是一个由圆点构成的四层等边三角形
：
图１㊀四层圆点三角形
把图１这个由圆点构成的等边三角形变换成颠倒放置的等边三角形有许多移动圆点的方法，但是通过移动最少的圆点就可以把正等边三角变成倒等边三角形的方法只有一种，即把第四排两边的两个圆点移动到第二排原来的两个圆点的两边，然后把最上面的一个圆点移动到最下面，一共移动三个圆点就把原来的正等边三角形变成了倒等边三角形．通过直观类似穷举的方法找到了这个最优化问题的答案．毕竟这个四层圆点三角形层数较少，圆点个数不多，可以顺利地得到移动最少圆点个数的答案．如果三角形层数
增多，要通过移动最少圆点个数重构出来一个倒三角形则难度大增，再利用穷举的方法得到答案已经变成一个无法完成的工作．如何移动个数最少的圆点来重构一个倒三角形，其内在蕴含着什么样的数学现象，这是一个需要深思的问题．
三㊁规㊀律
我们分别计算了１ １３层的等边三角形，结果如表１：
表１
三角形层数Ｎ１２３４５６７８
９
１０１１１２
１３移动圆点个数０
１２３５７９１２１５１８２２２６３０比前层多移个数
１
１
１
２
２
２
３
３
３
４
４
４
通过比较，发现如下规律：不同层数的三角形重构成倒三角形时移动圆点个数，除了１层的情况，２，３，４层移动个数都比其前一层移动圆点个数多１，５，６，７层都比前一层数移动圆点个数多２，８，９，１０层都比前一层数移动圆点个数多３．以此类推，可得到Ｎ层三角形移动最少圆点个数变为倒三角形的数学计算公式：
一层：Ｓ１＝０
（１）
Ｎ层：ＳＮ＝ＳＮ－１＋
Ｎ＋１３[
]＝ðＮ
ｉ＝１
ｉ＋１
３[]
（２）
㊀㊀㊀１２７
㊀㊀四㊁数学推导
针对一个Ｎ层正三角形，其底层圆点个数也是Ｎ．如图２所示
．
图２㊀Ｎ层正／倒圆点三角形
从数学的角度来分析，描述正／倒三角形变换移动最少圆点的问题，可以考虑为保证正／倒两个三角形交叠部分的面积最大的问题．很明显，图２中两个三角形交叠部分最大时移动的圆点最少．我们知道两个正三角形交叠部分越接近正六边形，则面积越大．因此可以看出，问题转化成了把圆点正三角形的三个角处的圆点移动到对应的六边形的另外三个角处，就把正圆点三角形变成了倒圆点三角形，而且这种移动方法移动的圆点个数最少．
一个Ｎ层正三角形底边的圆点个数也是Ｎ，如果底边的Ｎ个圆点中留下的圆点数确定，那么整个正三角形重构成倒三角形的方法也就确定了．根据前面的分析，我们知道两个正三角形交叠部分接近正六边形且边长尽量大，需要把Ｎ层三角形（图２）底边分成三份，Ｎ是整数，则有：
Ｎ
３
＝ｎ ｍ（３）
其中ｎ是商，ｍ是余数．保证中间形成交叠部分的圆点最多，中间部分构成交叠区域，左右两边的部分形成左右两个边长为ｎ的小正三角形．左右两个小三角形中包含的圆点是需要被移动的圆点．交叠部分形成的六边形的下面边长
为（ｎ＋ｍ）个圆点，对应的上面边长也应保留的圆点个数为
ｎ＋ｍ．因此，上部余下的小正三角形边长为ｎ＋ｍ－１，这个小三角形中包含的圆点需要移动到六边形下面对应的位置．
左边和右边两个小三角形包含总的圆点个数公式为：
ＳＡ＝ｎˑ（ｎ＋１）
（４）
上部的一个小三角形包含的圆点个数公式为：
ＳＢ＝
１
２
（ｎ＋ｍ－１）ˑ（ｎ＋ｍ）（５）则总的最少移动的圆点个数为：
ＳＮ＝ＳＡ＋ＳＢ
（６）
利用公式（６）计算，当Ｎ＝１２时，ｎ＝４，ｍ＝０，利用公式（６）可以直接计算出ＳＮ＝２６．公式（６）和公式（２）的计算结果相等．说明两种计算方法是一致的，都可以准确得到正三
角形变成倒三角形时移动的最少圆点的个数．
从以上的结果中也可以得到如下数学表达式：
ðＮｉ＝１ｉ＋１
３
(
)
的商[]＝ｎˑｎ＋１()＋１２（ｎ＋ｍ－１）ˑ
（ｎ＋ｍ）
（７）
五㊁总㊀结
针对一个由圆点构成的正放置的等边三角形，研究了通过移动最少圆点个数使其重构成倒放置的等边三角形的最优求解问题．这是一个数形结合的数学问题，我们通过归纳总结可以把该问题抽象成一个整数商的求和问题，同时可以结合正／倒三角形交叠部分面积最大问题，得到了求最少移动圆点个数的计算公式，也给出了移动小圆点的方法．这两种方法得到的计算结果相同．
ʌ参考文献ɔ
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［２］田红梅．在图形中感悟数学：浅谈数形结合在小学数学课堂中的实施策略［Ｊ］．内蒙古教育，２０１４（０９）：９．
［３］郑天鑫．小学数学教学游戏化的相关思考［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（０５）：６５．。