Karatsuba算法

一、知识准备
1.基本认识：
Karatsuba算法是一种快速相乘算法，它将两个n位数字相乘所需的一位数乘法次数减少到了至多2log3 1.5858。

因此它比要2n次个位数乘法
n n
3*3*
的经典算法要快。

值得一提的是，Karatsuba算法是第一个比小学二次乘法算法渐进快速的算法。

这个计算方式的时间复杂度是 O(n²)，Karatsuba算法可以加速相乘的计算速度。

可以注意到 AD +BC 这个计算需要两个 O(n²/4) 的乘法和一个 O(n) 的加法；Karatsuba 把这个原始的计算改成下面这个计算，因为 AC 和 BD 是已知的，因此现在的 AD +BC 的时间复杂度变成了一个 O(n²/4) 的乘法和四个 O(n) 的加法或减法，时间复杂度减小到2log3
O n。

()
2.算法步骤
1）分解。

将大整数X、Y（分别为n,m位）分别为A、B、C、D。

值得注意的是如果位数n或m为奇数，则A为前n/2+1或m/2+1位，n/2或m/2向下取整；
2）计算。

分别计算AC、BD，并且利用AC和BD计算AD+BC；
3）求解。

二、实验过程
1.拆分输入：
2.计算三个乘积：
3.计算中间项：
4.计算最终乘积：
三、总结
虽然 Karatsuba 乘法执行时所需的单精度乘法比 Comba 方法少，但是也多了一项 O(n) 级别的开销来解一个方程组，用于计算中间项以及合并最后的结果，这就使得 Karatsuba 乘法在应对输入比较小的数字时所需的计算时间会更多。

因此在实际操作中，递归计算到一定大小后，就应该改用Comba 方法计算了。

一般分割点大小是 80（字长为 32 bit 时）或 64（字
长为 64 bit 时），当输入两个数的规模有一个小于分割点时，就应该改用Comba 方法计算乘法，只有当两个数的规模大于或等于分割点才使用Karatsuba 方法递归计算。

Karatsuba 算法是比较简单的递归乘法，把输入拆分成 2 部分，不过对于更大的数，可以把输入拆分成 3 部分甚至 4 部分。

拆分为 3 部分时，可以使用 Toom-Cook 3-way 乘法，复杂度降低到 O(n^1.465)。

拆分为 4 部分时，使用 Toom-Cook 4-way 乘法，复杂度进一步下降到 O(n^1.404)。

对于更大的数字，可以拆成 100 段，使用快速傅里叶变换，复杂度接近线性，大约是 O(n^1.149)。

可以看出，分割越大，时间复杂度就越低，但是所要计算的中间项以及合并最终结果的过程就会越复杂，开销会增加，因此分割点上升，对于公钥加密，暂时用不到太大的整数，所以使用 Karatsuba 就合适了，不用再去弄更复杂的递归乘法。