保角映射

24
定理 2 分式线性映射 = az b 将扩充复平面（z平面）
cz d 上的圆周一一对应地保角映射成扩充复平面（w平面） 上的圆周, 即具有保圆性.
根据保圆性, 易得以下推论. 推论 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线上没 有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.
复变函数与积分变换
第六章 保角映射
§1 保角映射的概念
一、导数的几何意义
f
(
z0
arg
)
f
f (z0 (z0 )
) 旋转角 旋转角不变性 伸缩率 伸缩率不变性
保角性
1. arg f (z0 )的几何意义
z 平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),
atb表示, 它的正向取为t增大时点z移动
(z)=(w) w
a
z
O 18
圆周的对称点
C
R
OA
A与B关于圆周C
互为对称点
B
19
z
关于单位圆周 关于实轴的 的对称变换 对称变换
w1
iii) w 1 z
w1

1 z
,
w

w1
w1
(z

rei
,
w1

1 ei r
,
z

w1

r1 r
1)
要从 z作出w 1 ,应先作出点z 关于圆周| z | 1 z
因为复数相加可以化为向量相加z沿向量b的方向平移一段距离b18iiwaz设aleia先转一个角度a再将z伸长或缩短19圆周的对称点a与b关于圆周c互为对称点20要从作出应先作出点关于圆周对称的点然后再作出点关于实轴对称的关于单位圆周的对称变换关于实轴的对称变换21首先讨论这时对这两点作保角映射的补充规定任何穿过点的夹角就是在无穷远处的两条曲线的夹角则在整个扩充复平面是保角三分式线性映射的性质22而i与ii是平移旋转和伸缩变换显然是保角的所构成的复合映射wazb在整个扩充复平面上是保形的而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的因此有定理1分式线性映射是两个扩充复平面之间一一对应的保角映射
弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆弧上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆
弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域; (III)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.
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例 1 中心在 z=1 与 z1, 半径为 2的二圆弧所
2 同理，z 1 1 被放大。
2
10
二、保角映射的概念
1、定义：凡具有保角性和伸缩率不变性 的映射称 为保角映射或第一类保角映射。
定理 1 若函数w=f (z)在区域D内(任一点z0处) 解析, 且f ‘(z0)0, 则w=f (z)所实现的映射在区域 D内是一个保角映射。
若仅保持夹角大小不变，但方向相反，则该 保角映射称为第二类保角映射。 例如 w z 是第二类保形映射。
f (z0 ) 0 , arg f (z0 ) 0 , 并且这样的保角映射是唯一的。
定理 4(边界对应原理） 设有两个单连通区域D和G
的边界分别为简单闭曲线C和 G。若能找到一个在D
内解析、在C上连续的函数，它将一一对应地映射
成 G，且当原像点z和像点w在边界上绕行方向一致
时,D和G在边界的同一侧，则w=f (z)将D一一对应地 保角映射成G。
注：注意边界对应的方向性。
z1 z2
D z3
C
边界对边界
w1
w2
G
G w3
w1 G
w3
G
w2
§2 分式线性映射
一、分式线性映射
w az b a,b, c, d是常数，ad bc 0
cz d
1.可将一般的分式线性映射分解为一些简单 映射的复合
w az b b ad 1 a . cz d c cz d c
角映射的补充规定,任何穿过z 0点的两条曲
线在0点的夹角,就是w 1/ z在无穷远处的两
条曲线的夹角.则1/ z在整个扩充复平面是保角
21的.
而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保角的 ，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面 上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复 合而构成的,因此有 定理 1 分式线性映射= az b 是两个扩充复平
w=f(z)
D
G
三、关于保角映射的几个一般性定理
定理 2 若函数w=f(z)把区域D保角地、一一对应
地映射成区域G，则w=f(z)在D上是单值且解析的
函数，其导数在D上必不为零，且其反函数
z=g(w) 在G上也是单值且解析的函数，它把G保
角地、一一对应地映射成D 。
定理1、2
一个单值且解析的函数可以
s
ds f (z0 ) d
上式表明像点间无穷小距离与原像点间
无穷小距离之比的极限为|f’(z0)|
|f’(z0)|——映射w=f(z)在点z0的伸缩率

——只与点z0有关，而与过z0的曲线C
的形状无关，这一性质称为伸缩率不变性
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
f i 3i2 3 3ei 在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。
伸缩率为3，旋转角为 。
9
例2 设w= f(z)=z2 +2z,试阐明在平面上哪一部分被放 大了,哪一部分被压缩了。 解： w= f(z)= z2 +2z在全平面解析， f '(z)=2z+2。
f z 1 2z 2 1 z 1 1 被缩小；
w 2 1 i (1 2) i(1 2) .
2 1i
2 2
此点在第三象限的分角线C1'上. 由保角性知C2
映射为第二象限的分角线C2'.
32
映射的角形区如图所示
y
(z)
i
1
-1 O
x
C2
C1
-i
v (w)
C2'
O
u
C1'
33
三 三类典型的分式线性映射
1.把上半平面映射成上半平面的分式线性映射 w az b (ad bc 0),a,b, c, d为实数，且ad bc 0. cz d
唯一确定为 w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
言外之意，只要找到Z W上3个相对 应的点，则分式线性映射可被唯一确定
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w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (*) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
成是与z平面重合的.
16
i)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以 化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段距离|b| 后, 就得到w.
(z)(w) w
b b
z
O 17
ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映
射. 设 a=leia 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或 缩短) l倍后, 就得到 w.
arg f ‘(z0)只与点z0有关， 而与过z0的曲线C的形状无关
旋转角不变性

在解析函数w=f(z)的映射下，若f’(z0) ≠0，则
过点z0的任意两条连续曲线之间的夹角, 与其像曲 线在w0=f(z0)处的夹角大小相等且方向相同.这种
性质称为保角性.
C2
a
C1
G2
G1
a
z0
0
1 2
1 2
x2 y2
x2 y2
或 x u , y v
u2 v2
u2 v2
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因此, 映射w=1/z将方程 A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0 变为方程 D(u2+v2)+BuCv+A=0。
当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线. 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.
围区域, 在映射w z i 下映射成什么区域? zi
y
(z)
i
1
1 O
x
C2
C1
-i
31
[解] 所设的两个圆弧的交点为i与i, 且相互正交. 交点i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的 区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张 角等于/2.
取C1与正实轴的交点z 2 1, 对应点是
令w1

cz

d , w2

1 w1
,则
w Aw2 B, ( A, B为常数)
由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由下列 三种特殊映射复合而成:
i) ii )
w z b; w az;
w az b
iii ) w 1 z
下面讨论三种映射, 为了方便, 暂且将w平面看
对称的点w1,然后再作出点w1 关于实轴对称的
点.即得 w.
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三、分式线性映射的性质
1.保角性 首先讨论iii)
w

1 z
, 这时w


1 z


1 z2
当z 0, z 时是解析函数,因此是保角映射.
而当z 0时w , z 时w 0,对这两点作保
实现一一对应的保角映射
实际应用中
求一个解析 D w=f(z)
G
函数w=f(z)
保角映射
? 这样的保
角映射存 在吗?
定理 3(黎曼定理） 设有两个单连通区域D和G,z0和
w0分别是D和G中的任意两点，0是任一实数 (0 0 2 ) ，则总存在一个函数w=f (z)，它把D一一对应地保角 映射成G，使得
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3. 保对称点性
定理 3 若分式线性映射 = az b 是关于将圆周C映
cz d 射成圆周G，则它将关于C对称的点z1和z2的映射成关 于G 对称的点w1和w2.
4. 保交比性
定义 由扩充复平面上4个有序的相异点 z1, z2 , z3, z4 构成的比式 z4 z1 : z3 z1
的方向, z(t)为一条连续函数.
如果z '(t0)0,a<t0<b, 则表示z '(t)的向量
(把起点取在z0. 以下不一一说明)与C相切 于点z0=z(t0). y 8
6
c
z '(t0)
4
z(t0)
2

o
5
10
15
x
我们有 1) arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
例1 求w= f(z)=z3 在 z=i 处的伸缩率和旋转角。 解： w= f(z)=z3在全平面解析， f '(z)=3z2。
但是, 如果用这四个数中的一个去除分子和分母, 就可
将分式中的四个常数化为三个常数. 所以, 上式中实际
上只有三个独立的常数. 因此, 只需给定三个条件, 就能
决定一个分式线性映射.
定理 4 设扩充复平面（z平面）上3个相异的点 z1,z2,z3在分式线性映射下映射成扩充复平面
（w平面）3个相异的点w1,w2,w3, 则此分式线性映射,
它们交点处切线正向间夹角
(z)
C1
z0
C2
O
x
y
v
G
(z)
C
(w)
w0
z0

x

u
O
W=f(z) O
arg z(t0 ), arg w(t0 )
w=f(z)=f[z(t)]=w(t)，且 w0=w(t0)，由于w’(t0)=f’(z0)z’(t0) ≠0
arg w(t0 ) arg f (z0 ) arg z(t0 ) arg f (z0 ) arg f (z0 ) ——称为w=f(z)在点z0旋转角
z4 z2 z3 z2
称为它们的交比，记为 z1, z2, z3, z4 .
若4点中有一点为 ，则应将包含此点的分
子或分母用1代替。
例如当
z1时，就有(,来自z2, z3, z4 )
z4
1
z2
:
z3
1
z2
.
分式线性映射 w az b 中含有四个常数a,b,c,d. cz d
cz d
面之间一一对应的保角映射.
22
2. 保圆性
映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性
, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作
保圆性. 映射w=az+b显然具有保圆性,
下面说明w=1/z具有保圆性.
令 z x iy, w 1 u iv z
则 u x ,v y
W=f(z)
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射 到w平面的曲线在w0点都转动了同一个角 度arg f '(z0).
y (z)
v (w)
z0
w0
O
xO
u
2. f (z0)的几何意义
f
(z0 )

lim
z 0
w z
s lim
z0
ds
复常数k1
复常数k2
若f
zi

=
wi
i=1,2
,则
w-w1 w-w2
=k
z-z1 z-z2
(k-待定复常数)
进一步
,若f
z1

=0,f
z2

=,
则
w=k
z-z1 z-z2
.
29
现讨论在z平面内两个圆弧包围的区域的映射 情况. 根据前面的讨论可知: (I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时, 这二圆