【中考特训】2022年河北省唐山市中考数学模拟真题练习 卷(Ⅱ)(含答案解析)

2022年河北省唐山市中考数学模拟真题练习 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若分式23x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠
B ．3x =
C ．3x <
D ．3x >
2、下列说法正确的是（ ） A ．3-的倒数是13 B ．2-的绝对值是2- C ．(5)--的相反数是5- D ．x 取任意有理数时，4||x 都大于0
3、一元二次方程254x x +=-的一次项的系数是（ ） A ．4 B ．-4 C ．1 D ．5
4、直线PQ 上两点的坐标分别是()20,5P -，()10,20Q ，则这条直线所对应的一次函数的解析式为( ) A ．1152y x =+ B ．2y x = C ．1152y x =- D ．310y x =-
5、如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A 的面积是64，正方形B 的面积是100，则半圆C 的面积是( )
·
线
○封○密
○外
A ．36
B ．4.5π
C ．9π
D ．18π
6、如图，三角形ABC 绕点O 顺时针旋转后得到三角形A B C '''，则下列说法中错误的是（ ）
A ．OA O
B = B ．O
C OC '= C ．AOA BOB ''∠=∠
D ．ACB A C B '''∠=∠
7、把分式
2222x x x x -+-+-化简的正确结果为（ ） A ．284x x -- B ．284x x -+ C ．284x x - D ．22284
x x +- 8、数轴上到点-2的距离为4的点有( )．
A ．2
B ．-6或2
C ．0
D ．-6
9、下列变形中，正确的是（ ）
A ．若ac bc =，则a b =
B ．若77x -=，则1x =-
C ．若10.2x x -=，则10102x x -=
D ．若43
x
y =，则43x y = 10、下列说法正确的是（ ）．
A ．带正号的数是正数,带负号的数是负数.
B ．一个数的相反数,不是正数,就是负数.
C ．倒数等于本身的数有2个.
D ．零除以任何数等于零. 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________．
2、311,46y xy x xyz -，的最简公分母是_______________．
3、如图，BC 是O 的弦，D 是BC 上一点，DO 交O 于点A ，连接AB ，OC ，若20A ∠=︒，30C ∠=︒，则AOC ∠的度数为________．
4、3050'3'2'α︒∠=，则α∠的余角的大小为_________．
5、如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上．若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为________. 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在数轴上，表示数m 与n 的点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．例如：在数轴上，表示数﹣3与2的点之间的距离是5＝|﹣3﹣2|，表示数﹣4与﹣1的点之间的距离是3＝|﹣4﹣（﹣1）|．利用上述结论解决如下问题： （1）若|x ﹣5|＝3，求x 的值； ·
线○封○密·○外
（2）点A 、B 为数轴上的两个动点，点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，且|a ﹣b |＝6（b ＞a ），点C 表示的数为﹣2，若A 、B 、C 三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a 、b 的值．
2、平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m ≤≤），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．
3、如图，直线112
y x =+与x ，y 轴分别交于点B ，A ，抛物线22y ax ax c =-+过点A ．
（1）求出点A ，B 的坐标及c 的值；
（2）若函数22y ax ax c =-+在14x -≤≤时有最小值为4-，求a 的值；
（3）当12a =
时，在抛物线上是否存在点M ，使得S △SSS =1，若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、已知直线1y kx k =++与抛物线22y ax ax =+交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点P ，点P 与抛物线顶点Q 的距离为2（点P 在点Q 的上方）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线OP 与抛物线的另一个交点为M ，抛物线上是否存在点N ，使得1tan 3
NMO ∠=？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点C ，请说明直线BC 过定点，并求出定点坐标．
5、综合与探究 如图，直线243y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线243y ax x c =++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为点D ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ． （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点M 是线段BC 上一动点，连接DM 并延长交x 轴交于点F ，当:1:4FM FD =时，求点M 的坐标； （3）点P 是该抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为m ，试判断是否存在这样的点P ，使90PAB BCO ∠+∠=︒，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
-参考答案- 一、单选题 1、A 【解析】 试题解析：根据题意得：3-x≠0, 解得：x≠3. 故选A. 考点：分式有意义的条件. ·
线○封○密○外
2、C
【分析】
结合有理数的相关概念即可求解【详解】
解：A：3-的倒数是
1
3
-，不符合题意；
B：2-的绝对值是2；不符合题意；
C：(5)5
--=，5的相反数是5-，符合题意；
D：x取0时，4||0
x=；不符合题意
故答案是：C
【点睛】
本题主要考察有理数的相关概念，即倒数、绝对值及其性质、多重符号化简、相反数等，属于基础的概念理解题，难度不大．解题的关键是掌握相关的概念．
3、A
【分析】
方程整理为一般形式，求出一次项系数即可．
【详解】
方程整理得：x2+4x+5=0，则一次项系数为4．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4、A
【分析】
利用待定系数法求函数解析式．
【详解】
解：∵直线y=kx+b 经过点P （-20，5），Q （10，20）， ∴2051020k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ， 解得1215k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以，直线解析式为1152y x =+． 故选A ． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，是中考的热点之一，需要熟练掌握．解题的关键是掌握待定系数法． 5、B 【分析】 根据正方形的性质分别求出DE ，EF ，根据勾股定理求出DF ，根据圆的面积公式计算． 【详解】 解：正方形A 的面积是64，正方形B 的面积是100， DE 10∴=，EF 8=，
由勾股定理得，DF 6=
， ∴半圆C 的面积21π3 4.5π2
=⨯⨯=， 故选B ． ·
线○
封·○密○外
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．
6、A
【分析】
根据点O 没有条件限定，不一定在AB 的垂直平分线上，可判断A ，根据性质性质可判断B 、C 、D ．
【详解】
解：A ．当点O 在AB 的垂直平分线上时，满足OA =OB ，由点O 没有限制条件，为此点O 为任意的，不一定在AB 的垂直平分线上，故选项A 不正确，符合题意；
B ．由旋转可知O
C 与OC ′是对应线段，由旋转性质可得OC =OC ′，故选项B 正确，不符合题意； C ．因为AOA '∠、BOB '∠都是旋转角，由旋转性质可得AOA BOB ''∠=∠，故选项C 正确，不符合题意；
D ．由旋转可知ACB ∠与A C B '''∠是对应角，由性质性质可得ACB A C B '''∠=∠，故选项D 正确，不符合题意．
故选择A ．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质，图形旋转及其性质，掌握线段垂直平分线性质，图形旋转及其性质是解题关键．
7、A
【分析】
先确定最简公分母是（x ＋2）（x −2），然后通分化简．
【详解】
2222x x x x -+-+-＝()()222(2)(2)2x x x x ---＋＋＝284x x --； 故选A ． 【点睛】 分式的加减运算中，异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 8、B 【分析】 分点在点-2的左边和右边两种情况讨论求解． 【详解】 解：点在点-2的左边时，为-2-4=-6， 点在点-2的右边时，为-2+4=2， 所以，在数轴上到点-2的距离是4的点所表示的数是-6或2． 故选：B ． 【点睛】 本题考查数轴，注意：此题要分为两种情况：在表示-2点的左边和右边． 9、B 【分析】 根据等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】 解：选项A ，若ac bc =，当0c 时，a b =不一定成立，故错误，不符合题意； 选项B ，若
77x -=，两边同时除以7-，可得1x =-，正确，符合题意； ·
线○封○密○外
选项C ，将分母中的小数化为整数，得1012
x x -=，故错误，不符合题意； 选项D ，方程变形为34x y =，故错误，不符合题意；
故选B ．
【点睛】
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的有关性质是解题的关键．
10、C
【分析】
利用有理数的定义判断即可得到结果．
【详解】
解：A 、带正号的数不一定为正数，例如+（-2）；带负号的数不一定为负数，例如-（-2），故错误；
B 、一个数的相反数，不是正数，就是负数，例如0的相反数是0，故错误；
C 、倒数等于本身的数有2个，是1和-1，正确；
D 、零除以任何数（0除外）等于零，故错误；
故选C ．
【点睛】
本题考查有理数的除法，以及正负数、倒数以及相反数，掌握它们的性质是解题的关键．
二、填空题
1、三角形的稳定性
【详解】
一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故应填：三角形的稳定性
2、312x yz
【分析】
确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】 解：311,46y xy x xyz -，的分母分别是xy 、4x 3、6xyz ，故最简公分母是312x yz ． 故答案为312x yz ． 【点睛】 本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 3、100︒ 【分析】 设∠AOC =x °，根据圆周角定理得到∠B 的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】
解：设∠AOC =x °，则∠B =12x °， ∵∠AOC =∠ODC +∠C ，∠ODC =∠B +∠A ， ∴x =20°+30°+12x ， 解得x =100°． 故选A ．
·
线○封○密·○
外
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4、599'37''︒
【分析】
根据互为余角的两个角的和为90度即可得出答案．
【详解】
解：α∠的余角的大小为903050'23''599'37''︒-︒=︒．
故答案为：599'37''︒
【点睛】
本题考查两角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．熟记定义是解答本题的关键．
5、π
【分析】
根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积，根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
如图，连接CO ，
∵AB=BC，CD=DE ，
∴∠BOC+∠COD=∠AOB+∠DOE＝90°，
∵AE=4，
∴AO=2，
∴S 阴影＝2
902360
π⋅⋅＝π．
【点睛】 本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．
三、解答题
1、
（1）x ＝8或x ＝2 （2）a ＝﹣5，b ＝1或a ＝4，b ＝10或a ＝﹣14，b ＝﹣8 【分析】 （1）根据两点间的距离公式和绝对值的意义，可得答案； （2）分类讨论：①C 是AB 的中点，②当点A 为线段BC 的中点，③当点B 为线段AC 的中点，根据线段中点的性质，可得答案． （1） 解：因为|x ﹣5|＝3， 所以x ﹣5＝3或x ﹣5＝﹣3， 解得x ＝8或x ＝2； （2） 因为|a ﹣b |＝6（b ＞a ），所以在数轴上，点B 与点A 之间的距离为6，且点B 在点A 的右侧． ①当点C 为线段AB 的中点时， ·
线
○封○密○外
如图1所示，
1
3
2
AC BC AB
===．
∵点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣3＝﹣5，b＝﹣2+3＝1．②当点A为线段BC的中点时，
如图2所示，AC＝AB＝6．
∵点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2+6＝4，b＝a+6＝10．
③当点B为线段AC的中点时，
如图3所示，BC＝AB＝6．
∵点C表示的数为﹣2，
∴b＝﹣2﹣6＝﹣8，a＝b﹣6＝﹣14．
综上，a ＝﹣5，b ＝1或a ＝4，b ＝10或a ＝﹣14，b ＝﹣8．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，线段的中点，以及一元一次方程的应用，注意数轴上到一点距离相等的点有两个，分类讨论是解（2）题关键． 2、 （1）降价20元 （2）3或4或5 【分析】 （1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可； （1） 解：设每顶头盔应降价x 元． 根据题意，得(10040)(6840)40002x x +⨯--=． 解得123,20x x ==． 当3x =时，68365-=； 当20x 时，682048-=； 每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元．
（2）
设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得
1[10040(68)](40)2w a a m =+⨯⨯--- ·
线○
封○密·○外
220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132
m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，
113582
m +∴≥，解得3m ≥． 15m ，
∴35m ≤≤ m 为整数，
3m ∴=或4或5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．
3、
（1）A (0，1)，B (－2，0)，c ＝1．
（2）5或58
-．
（3）1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ，，34M M ⎝⎭⎝⎭
， 【分析】
（1）根据两轴的特征可求y ＝1
2x ＋1与x 轴，y 轴的交点坐标，然后将点A 坐标代入抛物线解析式即可；
（2）将抛物线配方为顶点式，根据抛物线开口向上与向下两种情况，当a ＞0，在—1≤x ≤4时，抛物线在顶点处取得最小值，当x ＝1时，y 有最小值， 当a ＜0，在—1≤x ≤4时，离对称轴越远函数值越小，即可求解；
（3）存在符合条件的M 点的坐标， 当12a =时，抛物线解析式为：2112
y x x =-+，设点P 在y 轴上，使△ABP 的面积为1，点P （0，m ），12112ABP S m =⨯⨯-=， 求出点P 2（0，0），或P 1（0，2），ABM ABP S S =，可得点M 在过点P 与AB 平行的两条直线上，①过点P 2与 AB 平行直线的解析式为：12y x =，联立方程组212112
y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解方程组得出1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ，，②过点P 1与AB 平行的直线解析式为：122y x =+，联立方程组2122112y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，解方程组得出34M M ⎝⎭⎝⎭，即可． （1） 解：在y ＝12x ＋1中，令y ＝0，得x ＝－2；
令x ＝0，得y ＝1， ∴A (0，1)，B (－2，0)． ∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 过点A ， ∴c ＝1． （2） 解：y ＝ax 2－2ax ＋1＝a (x 2－2x ＋1－1)＋1＝a (x －1)2＋1－a ， ∴抛物线的对称轴为x =1， 当a ＞0，在—1≤x ≤4时，抛物线在顶点处取得最小值， ∴当x ＝1时，y 有最小值， 此时1－a ＝—4，解得a ＝5； 当a ＜0，在—1≤x ≤4时， ·
线○封○密○外
∵4-1=3＞1-（-1）=2，离对称轴越远函数值越小，
∴当x ＝4时，y 有最小值，
此时9a ＋1－a ＝—4，
解得a ＝58
- ， 综上，a 的值为5或58
-． （3）
解：存在符合条件的M 点的坐标，分别为1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221
M ，，
34M M ⎝⎭⎝⎭
，， 当12a =时，抛物线解析式为：2112y x x =-+， 设点P 在y 轴上，使△ABP 的面积为1，点P （0，m ）， ∵12112ABP
S m =⨯⨯-=， ∴11m -=，
解得122,0m m ==，
∴点P 2（0，0），或P 1（0，2），
∴ABM ABP S S =，
∴点M 在过点P 与AB 平行的两条直线上，
①过点P 2与 AB 平行直线的解析式为：12y x =， 将12
y x =代入2112y x x =-+中， 212112y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，21x y =⎧⎨=⎩， ∴1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ， ②过点P 1与AB 平行的直线解析式为：122y x =
+， 将122y x =+代入2112y x x =-+中， 2122112y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，
解得x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
∴ 34M M ⎝⎭⎝⎭
，， ·
线
○
封
○密○外
综上所述，存在符合条件的M 点的坐标，分别为1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，()221
M ，，
34M M ⎝⎭⎝⎭，． 【点睛】
本题考查一次函数与两轴的交点，抛物线顶点式，二次函数的最小值，平行线性质，联立方程组，三角形面积，掌握一次函数与两轴的交点，抛物线顶点式，二次函数的最小值，平行线性质，联立解方程组，三角形面积公式是解题关键．
4、
（1）22y x x =+
（2）存在，(1,1)N --或15(,)24
N （3）()1,3--，理由见解析
【分析】
（1）根据题意可得直线过定点()1,1-，根据点P 与抛物线顶点Q 的距离为2（点P 在点Q 的上方），求得顶点坐标，根据顶点式求得a 的值，即可求得抛物线解析式；
（2）过点M 分别作,x y 轴的垂线，垂足分别为,H G ，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，连接MQ ，交x 轴于点E ，过点E 作EF OM ⊥交y 轴于点F ，交OM 于点K ，求得点M 的坐标，证明90MOQ ∠=︒，1tan 3
QMO ∠=，即找到一个N 点，根据对称性求得直线MF 的解析式，联立二次函数解析式找到另一个N 点；
（3）设11(,)A x y ，()22,B x y ，则C 点坐标为()112,x y --，设直线BC 的解析式为y k x b '=+，求得BC 解析式，进而求得12,y y ，联立直线AB 和二次函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系求得1212,x x x x +，代入直线BC 解析式，根据解析式判断定点的坐标即可 （1）
1y kx k =++(1)1k x =++，则当1x =-时，1y =
则必过定点(1,1)
-，
22
y ax ax
=+2
(1)
a x a
=+-的对称轴为1
x=-，顶点为()
1,a
--
1
y kx k
=++与抛物线的对称轴交于点P，则(1,1)
P-
点P与抛物线顶点Q的距离为2（点P在点Q的上方），
(1,1)
Q
∴--
1
a
∴抛物线解析式为：22
y x x
=+
（2）
存在，(1,1)
N--或
15
(,)
24
N
(1,1)
P -
∴直线OP的解析式为y x
=-
联立直线与抛物线解析式
22
y x
y x x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
解得12
12
03
,
03
x x
y y
==-
⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
即(3,3)
M-
如图，过点M分别作,x y轴的垂线，垂足分别为,H G，连接MQ，交x轴于点E，过点E作EF OM
⊥交y轴于点F，交OM于点K，
·
线
○
封
○
密
○
外
()1,1,(3,3)Q M ---
OQ MO ∴==1QD DO ∴==,3MH MG ==
45,45DOQ MOD ∴∠=︒∠=︒
90MOQ ∴∠=︒
1tan 3
OQ OMQ MO ∠== 则此时点N 与点Q 重合，
(1,1)N ∴--
()(3,3),1,1M Q ---
设直线MQ 的解析式为y mx n =+
则331
m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩
解得23m n =-⎧⎨=-⎩ 23y x ∴=-- 令0y =，则3
2x =- 3,02E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ∴四边形MHOG 是矩形 (3,3)M - ∴3MH MG == ∴四边形MHOG 是正方形 1345,22EOK FOK EO FO HO ∴∠=∠=︒===
设直线MF 的解析式分别为y sx t =+ ()33,3,(0,)2M F - 则3332s t t =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ ·
线
○
封○密
○外
解得1232
s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ MF ∴解析式为1322
y x =-+ 联立213222y x y x x
⎧=-+⎪⎨
⎪=+⎩ 解得1254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或33x y =-⎧⎨=⎩ 15(,)24
N ∴ 综上所述，(1,1)N --或15(,)24
N （3）
设11(,)A x y ，()22,B x y ，则C 点坐标为()112,x y --，
设直线BC 的解析式为y k x b '=+，
()112
22x k b y x k b y ⎧--+=∴⎨+=''⎩ 21121222112222y y k x x x y y x y b x x -⎧=⎪++⎪∴⎨++=++'⎪⎪⎩ 21122211212222BC y y x y y x y y x x x x x -++∴=
+++++ 11221,1y kx k y kx k =++=++
联立212y kx k y x x =++⎧⎨=+⎩ ()2210x k x k ∴----=
12122,1x x k x x k ∴+=-=-- ∴21122211212222BC y y x y y x y y x x x x x -++=+++++ ()()()()211222112112222k x x x kx k kx k x kx k x k k -++++++++=+-+-+ ()()()1212122212222kx x k x x x x kx k x x x k +++++++=-+
()()22212122222k k k k k kx k x x x k --+-+-+++=-+ ()21221x x x x k =-+--
122k x x -=--- ∴()2121223BC y x x x x x x =-+-+- ()()21213x x x x x =-+-- ()()2113x x x =-+- BC ∴过定点()1,3-- 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正切的定义，解直角三角形，正方形的性质，直线与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键． 5、（1）214-433y x x =++，16(2,)3；（2）44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，m 的值为4或8 【分析】
·
线
○封○密○外
（1）分别求出,B C 两点坐标代入抛物线243
y ax x c =++即可求得a 、c 的值，将抛物线化为顶点式，即可得顶点D 的坐标；
（2）作MG x ⊥轴于点G ，可证ΔMGF ∽DEF ∆，从而可得
FM MG FD DE =，代入:1:4FM FD =，163DE =，可求得43MG =，代入243
y x =-+可得4x =，从而可得点M 的坐标； （3）由90PAB BCO ∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒可得∠=∠PAB CBO ，由,B C 两点坐标可得42tan 63∠==CBO ，所以2tan 3
∠=PAB ，过点P 作PQ ⊥AB ，分点P 在x 轴上方和下方两种情况即可求解．
【详解】
（1）当0x =时，得4y =，
∴点C 的坐标为（0，4），
当0y =时，得2403
x -+=，解得：6x =， ∴点B 的坐标为（6，0），
将,B C 两点坐标代入，得
43660,3 4.a c c ⎧+⨯+=⎪⎨⎪=⎩ 解，得1,34.
a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线线的表达式为21
4- 4.33
y x x =++ ∵()
()2221
41116444442.33333y x x x x x =-++=--+-+=--+ ∴顶点D 坐标为16(2,)3
． （2）作MG x ⊥轴于点G ，
∵MFG DFE ∠=∠，90MGF DEF ∠=∠=︒，
∴ΔMGF ∽DEF ∆． ∴FM MG FD DE =． ∴11643MG =． ∴43MG = 当43y =时，42-433x =+ ∴4x =． ∴点M 的坐标为44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）∵90PAB BCO ∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒， ∴∠=∠PAB CBO ，
∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴42tan 63
∠==CBO ， ∴2tan 3∠=PAB ， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，
·
线
○封○密○外
214122323
-++=+m m m 解得m =4符合题意，
当点P 在x 轴下方时，
214122323
--=+m m m 解得m =8符合题意，
∴存在，m 的值为4或8．
【点睛】
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线的性质，三角形相似的判定及性质，三角函数的应用，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合的思想列出相应关系式．。