新教材高中数学第十章概率10.3频率与概率学案新人教A版必修第二册

10．3频次与概率
考点
学习目标
核心修
养在详细情境中，认识随机事件发
生的不
频次与概率
确立性和频次的
数学抽象、
数学运算
稳固性，认识概率的意义以及频次与
概
率的差别
概率的意义解说实
例会用概率的意义解说生活中的实例直观想象、数学建模
随机模拟会用随机模拟的方法预计概率数学建模
问题导学预习教材P251－P257的内容，思虑以下问题：1．什么是频次的稳固性？2．频
次与概率之间有什么关系？3．随机模拟的步骤是什么？频次的稳固性一般地，跟着试验
次数n的增大，频次偏离概率的幅度会减小，即事件A发生的频次f n(A)会渐渐稳固于事
件A发生的概率P(A)．我们称频次的这个性质为频次的稳固性．所以，我们能够用频次
f n(A)预计概率P(A)．■名师点拨频次与概率的差别与联系名称差别联系自己是随机的，在
试验以前没法确(1)频次是概率的近似值，跟着试定，大多会跟着试验次数的改变而验次
数的增添，频次会愈来愈靠近
频次
改变．做相同次数的重复试验，得概率到的频次值也可能会不一样(2)在实质问题中，事件的概率通是一个[0，1]中确实定值，不随试常状况下是未知的，常用频次预计概率
验结果的改变而改变概率
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)频次就是概率．()
(2)随机事件A的概率是频次的稳固值，频次是概率的近似值．()
(3)随机数的抽取就是简单随机抽样．()
(4)用计算器或计算机的随机函数能够产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．()
答案：(1)×(2)√(3)√(4)√
某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面向上，若用A表示“正面向上”这一事件，则A出现的()
33
A．概率为B．频次为
55
C．频次为6D．概率为6
分析：选B.事件A出现的频数是6，频次＝
频数6
，故频次是.试验次数10
扔掷一枚质地均匀的硬币，假如连续扔掷1000次，那么第998次扔掷恰巧出现“正面向上”的概率为________．
分析：由于概率与扔掷次数没关，所以第998次扔掷恰巧出现“正面向上”的概率等于1
1
次扔掷恰巧出现“正面
向上”的概率，为2.1
答案：2某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频次是________．答案：由频次预计随机事件的概率有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数以下：
，15.5)2；，19.5)4；，23.5)9；
，27.5)18；，31.5)11；，35.5)12；
，39.5)7；，43.5]3.
依据样本的频次散布，预计数据落在，43.5]内的概率约是()
11
A.6
B.3
12
C.2
D.3
(2)某企业在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该企业对这些灯管的使用寿命(单
位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500，[900，[1100，[1300，[1500，[1700，[1900，
900)1100)1300)1500)1700)1900)＋∞)频数4812120822319316542
频次
①将各组的频次填入表中；
②依据上述统计结果，预计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
【解】(1)选B.由已知，样本容量为66，而落在，43.5]内的样本数为12＋7＋3
22 1
＝22，故所求概率约为＝.
3①频次挨次是，，，，，，0.042.②样本中寿命不足1500
小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，600
所以样本中寿命不足1500小时的频次是1000＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
随机事件概率的理解及求法理解：概率可看作频次理论上的希望值，它从数目
上反应了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数愈来愈多时，频次愈来
愈趋近于概率．当次数足够多时，所得频次就近似地看作随机事件的概
率．n A m
(2)求法：经过公式f()＝＝计算出频次，再由频次估量概率．
n n n
1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)相关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增添10，Y增添5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
则以下的频次散布表中空白处挨次填________，________，________．
近20年六月份降雨量频次散布表
降雨量70110140160200220
频次
111 20510
分析：在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频次散布表为
降雨量70110140160200220
频次
131731 20205202010
373
答案：202020
2．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录以下：
射击次数n100120150100150160150
击中飞碟数n A819512081119127121
(1)求各次击中飞碟的频次；(保存三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
n
A
解：(1)由公式f n(A)＝n可得，击中飞碟的频次挨次为，，，，
，，0.807.(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频次都在邻近摇动，所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
概率的含义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就必定能治愈吗？
【解】假如把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指跟着试验次数的增添，有10%的病人能够治愈．关于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个
病人是这样，第10个病人还是这样，可能治愈，也可能不可以治愈，被治愈的可能性还是10%.
对概率的正确理解概率是事件的实质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反应了事件发生的可能性的大小，但概率只供给了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件必定发生的比率．任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确立数，它胸怀该事件发生的可能性，概率
越靠近于1，表示事件发生的可能性就越大；反过来，概率越靠近于0，表示事件发生的可能性就越小．
(3)小概率(概率靠近于0)事件极少发生，但不代表必定不发生；大体率(概率靠近于1)
事件常常发生，但不代表必定发生．必定事件M的概率为1，即P(M)＝1；不行能事件N的概率为0，即P(N)＝0.
有以下说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预告降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖
的概率是1%”表示买100张彩票必定有1张会中奖；
③做10次抛硬的，果3次正面向上，所以正面向上的概率3 10
；
④某厂品的次品率2%，但厂的50件品中可能有2件次品．
此中法的序号是________．
分析：①中降水概率95%，仍有不降水的可能，故①；
②中“彩票中的概率是1%”表示在彩票，有1%的时机中，但不必定100
彩票必定有1会中，故②；
31
③中正面向上的率10
，概率仍2，故③；
④中次品率2%，但50件品中可能没有次品，也可能有1件或2或3件⋯次品，故④
正确．
答案：①②③
游的公正性某校高二年(1)(2)班准合晚会，者欲使晚会氛围烈、风趣，策划整夜会以游的方式行，每个目开始，两班各派一人先行游，者得一件品，表演一个目．(1)班的文委利用分有数字1，2，3，4，5，6，7的两个(如所示)，了一种游方案：两人同各一个一次，将到的数字相加，和偶数(1)班代表，否(2)班代表．方案两方能否公正？什么？
【解】方案是公正的，原因以下：各样状况如表所示：
和4567
15678
26789
378910
由表可知游可能出的状况共有12种，此中两数字之和偶数的有6种，奇数的
也有6种，所以(1)班代表的概率 6 1
P1＝12＝2，(2)班代表的概率 6 1
P2＝12＝2，即
P1＝
P2，时机是均等的，所以方案两方是公正的．
[条件]在本例中，若把游改自由两个，停止后，两个指指向的两个数字相乘，假如是偶数，那么(1)班代表，否 (2)班代表．游公正？什么？
4182
解：不公正．由于出现奇数的概率为12＝3，而出现偶数的概率为12＝
3
.
游戏公正性的标准及判断方法游戏规则能否公正，要看对游戏的两方来说，获胜的可能性或概率能否相同．若相同，则规则公正，不然就是不公正的．详细判断时，能够按所给规则，求出两方的获胜概率，再进行比较．
有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(以下图)，此中2，4，6，8，10，12这6个地区对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个地区对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则持续向前行进对应转
盘上数字的格数．比如：你转动转盘停止后，指针落在4所在地区，则还要往前行进4格，
到标有8的地区，此时8地区对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，
获得的奖品是随身听的概率是多少？解：依据题意知转盘停止后，指针所在地区再行进相应
格数后所在地点均为标有偶数的地区，故获得的奖品是随身听的概率是0.
随机模拟法预计概率
池州九华山是有名的旅行胜地．天气预告8月1往后连续四天，每日下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法预计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假设0，
1，2，3，4，5表示当日下雨，6，7，8，9表示当日不下雨．在随机数表中从某地点按从左
到右的次序读取以下40组四位随机数：
9533952200187472001838795869328178902692
8280842539908460798024365987388207538935
9635237918059890073546406298805497205695
1574800832166470508067721642792031890343
据此预计四天中恰有三天下雨的概率为()
32
A.4
B.5
2117
C.40
D.40
【分析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中
16 2
恰有三天下雨的概率的预计值为40＝5.【答案】B
应用随机数预计概率的步骤明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系．产生随机数．统计试
验次数N及所求事件包括的次数n.n
计算N即可．
袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法预计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示拿出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13241232431424323121
23133221244213322134
据此预计，直到第二次就停止的概率为()
11
A.5
B.4
11
C. D.
32
分析：选B.由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13共
51
5个基本领件，故所求的概率为P＝20＝4.
1．扔掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，以下说法正确的选项是()
A．正面向上的概率为
B．反面向上的概率是
C．正面向上的频次为
D．反面向上的频次是
分析：选C.由于扔掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，
依据频次的定义可知，正面向上的频次为0.48.2．容量为20的样本数据，分组后的频数以下表：
分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]
频数234542则样本数据落在区间[10，40)上的频次为()
A．B．
C ．
D ．
9
分析：选B.在区间[10，40)的频数为 2＋3＋4＝9，所以频次为
20＝0.45.
3．某地气象局预告说，明日当地降雨的概率为 80%，则以下解说正确的选项是()
A ．明日当地有80%的地区降雨，20%的地区不降雨
B ．明日当地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C ．明日当地降雨的时机是80%
D ．以上说法均不正确
分析：选C.选项A ，B 明显不正确，由于 80%是说降雨的概率，而不是说 80%的地区降雨，
更不是说有 80%的时间降雨，是指降雨的时机是
80%，应选C.
4．经过模拟试验，产生了 20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604
3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
假如恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为()
A ．25%
B ．30%
C ．35%
D ．40%
分析：选A.表示三次击中目标分别是
3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随
5
机数总合20 组，所以所求的概率近似为 20＝25%.
5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确立谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向以下图的靶中．若射中地区所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，不然倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公正”或“不公正”)．分析：由已知得，所标的数字大于3的地区有 5个，而小于或等于 3的地区只有3个，53
所以玲玲先走的概率是8，倩倩先走的概率是
8，所以不公正．答案：不公正
[A 基础达标]
1．给出以下三个说法，此中正确说法的个数是()
①设有一大量产品，已知其次品率为，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，所以，出现正面的概率是3 7；
③随机事件发生的频次就是这个随机事件发生的概率．A．0B．1 C．2D．3
分析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频次为
3
7，而不是概率，故错误；③频次不是概率，错误．m
2．在进行n次重复试验中，事件A发生的频次为n，当n很大时，事件A发生的概率P(A)m
与n的关系是()
m m
A．P(A)≈n B．P(A)<n
m m
C．P(A)>n D．P(A)＝n
分析：选A.关于给定的随机事件A，事件A发生的频次f n(A)跟着试验次数的增添稳固于
概率P(A)，所以能够用频次
n
m f(A)来预计概率P(A)．即P(A)≈n.
3．每道选择题有四个选项，此中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择
题，有位同学说：“每个选项正确的概率是1
3道题，我每道题都选择第一个选项，则必定有
4
选择结果正确．”该同学的说法()
A．正确B．错误
C．没法解说D．以上均不正确
分析：选 B.解每一道选择题都可当作一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量
1
的试验其结果体现出必定的规律，即随机选用一个选项选择正确的概率是4.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但其实不可以保证必定
做对3道题，也有可能都选错，所以该同学的说法
错误．
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为() A．222石B．224石
C．230石D．232石
30
分析：选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷据有的概率为
27011
＝9，所以2018石米中夹谷约为2018×9≈224(石)．应选B.5．假设某运动员每次扔掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采纳随机模拟的方法预计该运动员两次扔掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机
模拟产生了20组随机数：
93281245856968343125
73930275564887301135
据此预计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()
A．B．
C．D．
分析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的
10
之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，所以所求的概率为
0.50.6．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则起码出现一次正面向上与两次均出现反面向上的
概率比为________．分析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情况：(正，正)，(正，反)，
(反，正)，(反，反)．
20
起码出现一次正面向
上有3种情况，两次
均出现反面向上有1
种情况，故答案为
3∶1.答案：
3∶17．商场在一周
内共卖出某种品牌的
皮鞋300双，商场
经理为观察此中各样
尺码皮鞋的销售状况，
以这周内某天售出的
40双皮鞋的尺码为
一个样本，分为5组，
已知第3组的频次为，
第1，2，4组的频
数分别为 6，7，9，
若第5组表示的是尺
码为40～42的皮
鞋，则售出的这300
双皮鞋中尺码为
40～42的皮鞋约为
________双．6
分析：由于第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频次分别为40＝，7
＝，
9
＝
0.225.由于第3组的频次为，所以第5组的频次是1－－－
4040－＝，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为×300＝60(双)．答案：608．某企业有5万元资本用于投资开发项目，假如成功，一年后可获利润12%；一旦失败，一年后将丧失所有资本的50%，下表是昨年200例近似项目开发的实行结果．
投资成功
投资失败
192次8次
则该企业一年后预计可获利润的均匀数是________元．
分析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算利润的均匀数，设可获利润为x万元，假如成功，x的取值为5×12%，假如失败，x的取值为－5×50%，一年后企业成功的概率预计192248124
为200＝
25，失败的概率预计为200
＝25，所以一年后企业利润的均匀数x＝(5×12%×25－1
5×50%×)×10000＝4760(元)．
答案：4760
9．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果以下：
日
1
期
天
晴气23雨阴456阴阴雨789阴晴晴
1011晴
阴
1213晴
晴
1415晴晴
日
1718192021222324252627282930 16
期
天
晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气
在4月份任取一天，预计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学
校拟从4月份的一个晴日开始举行连续2天的运动会，预计运动
会时期不下雨的概率．解：(1)在容量为 30的样本中，不下雨的天数是
26，以频次预计概率，得在4月份任取13
一天，西安市在该天不下雨的概率约为15.称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月
份中，前一天为晴日的互邻日期对有16个，此中后一天不下雨的有14个，所以晴日的第二天
77
不下雨的频次为8.以频次预计概率，得运动会时期不下雨的概率约为8
.
10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果以下表：
一发次数n102050100200500
甲一发成
9174492179450
功次数
一发成功的频次
一发次数n102050100200500
乙一发成
8194493177453
功次数一发成功的频次请依据以上表格中的数据回答以下问题：分别计算出两位运动员一发成功的频次，达成表格；依据(1)上当算的结果预计两位运动员一发成功的概率．解：(1)
一发次数n102050100200500
甲一发成
9174492179450
功次数
一发成功
的频次
一发次数n102050100200500
乙一发成
8194493177453
功次数
一发成功
的频次
(2)由第一问中的数据可知，跟着一发次数的增加，两位运动员一发成功的频次都愈来愈
集中在邻近，所以预计两人一发成功的概率均为0.9.[B 能力提高]
11．下边有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．
游戏
1游戏
2
游戏
3
3个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球拿出的两个球同色→甲胜拿出的球是黑球→甲胜拿出的两个球同色→甲胜
拿出的两个球不一样色→乙胜拿出的球是白球→乙胜拿出的两个球不一样色→乙胜问此中不公正的游戏是()
A．游戏
1B．游戏1和游戏3
C．游戏2D．游戏3
分析：选 D.游戏1中，取2个球的所有可能状况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为，故游戏是公正的；
游戏2中，明显甲胜的可能性为，游戏是公正的；游戏3中，取2个球的所有可能状况为
(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑
2，白2)，(白1，白2)．所1
以甲胜的可能性为3，游戏是不公正的．
12．某种心脏病手术，成功率为，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不行功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，
397，027，488，703，725，则恰巧成功1例的概率为________．
分析：设恰巧成功1例的事件为A，A所包括的基本领件为191，270，832，912，134，370，027，703共8个．
则恰巧成功1例的概率为()＝8＝0.4.
PA
20
答案：13．某汽车站每日均有3辆开往省城的分为上、中、低等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站搭车前去
省城做事，但他不知道客车的车况，也不知道发车次序．为了尽可能乘上上等车，他采纳以下策略：先放过一辆，假如第二辆比第一辆好则上第二辆，不然上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．分析：共有6种发车次
序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(此中画横线的
表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车
的概率为3＝1
.
6 21
答案：2
14．某商区泊车场暂时泊车准时段收费，收费标准为每辆汽车一次泊车不超出
1小时收费6元，超出1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)，现有甲、乙
二人在该商区暂时泊车，两人泊车都不超出4小时．
(1)若甲泊车1小时以上且不超出2小时的概率为1
3，泊车付费多于14元的概率为5
12，求
甲泊车付费恰为6元的概率；
(2)若每人泊车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人泊车付费之和为36元的概率．
解：(1)设“甲暂时泊车付费恰为6元”为事件A，1 51则P(A)＝1－3＋12＝4.
1
所以甲暂时泊车付费恰为6元的概率是4.
设甲泊车付费a元，乙泊车付费b元，此中a，b＝6，14，22，30.则甲、乙二人的泊车花费共16种等可能的结果：(6，6)，(6，14)，(6，22)，(6，30)，(14，6)，(14，14)，(14，22)，(14，30)，(22，
6)，(22，14)，(22，22)，(22，30)，(30，6)，(30，14)，(30，22)，(30，30)，此中(6，
30)，(14，22)，(22，14)，(30，6)4种情况切合题意．
41
所以“甲、乙二人泊车付费之和为36元”的概率为P＝16＝4.
[C拓展探究]
15．某活动小组为了预计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球靠近多少个，在不将袋中的球倒出来的状况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组
进行摸球试验．此中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，
每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
预计从袋中随意摸出一个球，恰巧是红球的概率；请你预计袋中红球的个数．解：(1)由于20×400＝8000，
6000
所以摸到红球的频次为8000＝，
由于试验次数很大，大量试验时，频次靠近于理论概率，所以预计从袋中随意摸出一个球，恰巧是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，依据题意得：
x
x＋5＝，解得x＝15，经查验x＝15是原方程的解．所以预计袋中红球有15个．。