石景山高三期末(数学文)有答案

石景山区2019学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文科）
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合{
}2
1M x x =∈≤Z ，{}
12N x x =∈-<<R ，则M
N =（ ）
A ． {}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1,0-
D ．{}1
2．已知复数1i
z i
=
＋，则复数z 的模为（ ）
A ．
2
B ．
C ．
12
D ．
12+12
i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），
则此几何体的体积是（ ） A ．1123
cm B ．
3
224
3cm C ．963cm
D ．2243
cm
4.在一盒子里装有i 号球i 个（1i =，2，3），现从盒子 中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码 之积为6的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
15
C ．
13
D ．
16
5．下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22
am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02
≤-x x ”
1 C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
6．已知函数3
2
()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2
221x x +等于（ ）
A ．32
B ．
34 C ．3
8
D ．3
16
7．已知O 为坐标原点，点A ),(y x 与点B 关于x 轴对称，(0,1)j =，则满足不等式
2
0OA j AB +⋅≤的点A 的集合用阴影表示为（ ）
8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．
给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．已知(,0)2π
α∈-
，3
sin 5
α=-，则cos()πα-＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入2-，则输出的结果为 ．
11．已知直线220x y -+=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点和一个焦点，那么
这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．
12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则A B B C ⋅的值为________．
13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图
（如图），由图中数据可知m 是 ．
14．已知数列{}n a 满足122a =，n a 的通项公式为 ，
n
a n
的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数2
3
cos sin sin 3)(2-
+=
x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求4
(π
f 的值；
（Ⅱ）若2
,
0(π
∈x ，求)(x f 的最大值；
（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求AB
BC 的值．
16．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足)(2*2
N n a a S n n n ∈+=． （Ⅰ）求321,,a a a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若1
()2
n a
n b n =，求数列}b {n 的前n 项和n T ．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，
E ，
F 分别是AB ，PB 的中点．
（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF CD ⊥；
（Ⅲ）若G 是线段AD 上一动点，试确定
G 点位置，使GF ⊥平面PCB ，
并证明你的结论．
18．（本小题满分13分）
已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的
左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
19．（本小题满分14分）
已知函数ln ()()a x
f x a R x
+=
∈． （Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值；
（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的
取值范围．
20．（本小题满分13分）
如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，
，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<
<∈
是曲线2
:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,
,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上，
1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .
（Ⅰ）求123,,a a a ；
（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式.
石景山区2019学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2
3
4
cos
4
sin
4
sin 3)4
(2
-
+=
π
π
π
π
f 2
1
=． ……………4分 （Ⅱ）2
)2cos 1(3)(x x f -=+23
2sin 21-x x x 2cos 2
3
2sin 21-
= )3
2sin(π
-
=x ． ……………6分
2
0π
<<x ， 3
23
23
π
π
π
<
-
<-
∴x ． ∴当23
2
x π
π
-
=
时，即12
5π
=
x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )3
2sin()(π-
=x x f ， 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，
∴3
5323π<π-<π-x ．
令2
1)(=x f ，得21
)32sin(=π-x ，
∴632π=π-x 或6
532π
=π-x ，
解得4
π=
x 或127π=x ． ……………10分
由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且2
1
)()(==B f A f ，
∴4π=A ，12
7π=B ，
∴6
π
=--π=B A C ． ……………11分
又由正弦定理，得
22
122
6sin 4sin
sin sin ==ππ==C A AB BC ． ……………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）3,2,1321===a a a ． ……………3分 （Ⅱ） n n n a a S +=2
2， ①
12
112---+=n n n a a S ， （n ≥2 ） ② ……………5分
①—②即得 0))(1(11=+----n n n n a a a a ， ……………6分
因为01≠+-n n a a ， 所以n a a a n n n ==--所以,11（n ∈*
N ）…………8分
（Ⅲ）n
n n b )2
1(=
n n T )21
(n )21(2212⨯+⋯+⨯+=
， 132)21
(n )21(2)21(21+⨯+⋯+⨯+=n n T ． 两式相减得，
1
122
21)2
1(n )21()21(2121+++-=⨯-+⋯++=n n n n n T
所以 n
n n
T 222+-=． ……………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：E,F 分别是,AB PB 的中点，
//.EF AP ∴
,EF PAD AP PAD ⊄⊂又平面平面，
//EF PAD ∴平面． ……………………4分 （Ⅱ）证明：四边形ABCD 为正方形，
AD CD ∴⊥．
PD ABCD ⊥又平面，
=PD CD AD PD D ∴⊥，且．
CD PAD ∴⊥平面， PA PAD ⊂又平面， CD PA ∴⊥． //EF PA 又，
EF CD ∴⊥． ……………………8分 （Ⅲ）解：G 是AD 的中点时，.GF PCB ⊥平面证明如下： ……………………9分
取PC 中点H ，连结DH ，HF ． ,.PD DC DH PC =∴⊥
又,,.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥平面平面
1
////,2HF BC DG DGFH ==
∴四边形为平行四边形，
//DH GF ∴，
.GF PCB ∴⊥平面 ……………………14分
18．（本小题满分13分）
解:
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则
22222,
2,c b a b c =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
解得 2,
a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143
x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22
143x y y kx m
⎧⎪
+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得
()2
2
2
3484120
k x
k m x m +++-=． ………………… 6分 由题意△()(
)()2
2
2
84344120km k
m
=-+->，
整理得：2
2
340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则
122
834km
x x k +=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分
由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴
()()1212220x x y y --+=．
………………… 10分
即 ()
()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，
也即 ()()22
222
412812403434m km
k km m k k
--+⋅+-⋅++=++， 整理得22
71640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27
k
m =-
，均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；
当27k m =-
时，直线l 的方程为 27y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，过定点2(,0)7，
故直线l 过定点，且定点的坐标为2
(,0)7
． ……………………… 13分
19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=
且e
e f 5
)(=． ……………………… 1分 又∵2
2ln 3)4(ln )4(ln )(x x
x x x x x x f --=
'+-'+='， ∴22
3ln 4
()e f e e e
--'==-． ……………………… 3分 ∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(4
52e x e
e y --=-，
即0942
=-+e y e x ． ……………………… 4分
（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2
)
(ln 1)(x a x x f +-=
'，……………………… 5分
令0)(='x f 得a
e x -=1．
当),0(1a
e x -∈时，0)(>'x
f ，)(x f 是增函数；
当),(1+∞∈-a
e
x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分
∴)(x f 在a
e
x -=1处取得极大值，即11)()(--==a a
e e
f x f 极大值．……… 8分
（Ⅲ）（i ）当21e e
a
<-，即1->a 时，
由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1a
e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，
∴当a
e
x -=1时，)(x f 取得最大值，即1
max )(-=a e x f ．
又当a
e x -=时，0)(=x
f ，当],0(a
e
x -∈时，0)(<x f ，
当],(2e e
x a
-∈时，],0()(1-∈a e x f ，
所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2
e 上有公共点， 等价于11
≥-a e ，解得1≥a ，
又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分
（ii ）当21e e
a ≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，
∴)(x f 在],0(2
e 上的最大值为22
2)(e
a
e f +=
， ∴原问题等价于
122
≥+e
a
，解得22-≥e a ， 又∵1-≤a ∴无解
综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 6分 （Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则
12n n n a a x -+=
，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有
11||)n n n n n y A A a a --=
=-
. 1)n n a a -=-.
1n n a a -∴-= ………………………… 8分
2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，
同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.
②-①并变形得
1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈
11n n a a +->，11220n n n a a a +-∴+--= 11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ . ∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列. ………… 10分 12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ， n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-+
+-， 2(123)n =++++2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈ …………… 13分
注：若有其它解法，请酌情给分．。