中考数学总复习专题十与几何图形有关的探究题试题新人教版【含解析】

专题十与几何图形相关的研究题
图形变化问题
【例 1】( 2016·沈阳 ) 在△ ABC中， AB＝ 6， AC＝ BC＝ 5，将△ ABC 绕点 A 按顺时针方
向旋转，获得△ ADE，旋转角为α (0°＜α ＜180° )，点B的对应点为点D，点 C 的对应点
为点 E，连结 BD， BE.
(1)如图，当α＝ 60°时，延长 BE交 AD于点 F.
①求证：△ ABD 是等边三角形；
②求证： BF⊥AD， AF＝ DF；
③请直接写出BE的长；
(2)在旋转过程中，过点 D作 DG垂直于直线 AB，垂足为点 G，连结 CE，当∠ DAG＝∠
ACB，且线段 DG与线段 AE无公共点时，请直接写出 BE＋ CE的值．
剖析： (1) ①由旋转性质知 AB＝ AD，∠ BAD＝ 60°即可得证；②由 BA＝ BD，EA＝ ED依
据垂直均分线的性质即可得证；③分别求出BF，EF的长即可得答案；(2) 由等量代换可证∠BAE
＝∠ BAC，依据三线合一可得 CE⊥ AB，进而可得 CE＝ 2CH＝ 8， BE＝ 5，即可得答案．解： (1) ①∵△ ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°获得△ ADE，∴ AB＝ AD，∠ BAD＝ 60°，
∴△ ABD是等边三角形
②由①得△ ABD 是等边三角形，∴ AB＝ BD，∵△ ABC绕点 A 顺时针方向旋转 60°获得
△ADE，∴ AC＝ AE， BC＝ DE，又∵ AC＝ BC，∴ EA＝ ED，∴点 B， E 在 AD的垂直均分线
上，∴ BE是 AD的垂直均分线，∵点 F 在 BE的延长线上，∴ BF⊥AD， AF＝DF
③由②知 BF⊥AD， AF＝ DF，∴ AF＝DF＝ 3，∵ AE＝ AC＝ 5，∴ EF＝4，∵在等边三角形ABD
3＝ 3 3，∴BE＝BF－EF＝ 3 3－4
中， BF＝ AB·sin∠ BAF＝6×
2
(2)如图，∵∠ DAG＝∠ ACB，∠ DAE＝∠ BAC，∴∠ ACB＋∠ BAC＋∠ AB C＝∠ DAG＋∠ DAE ＋
∠ ABC＝ 180°，又∵∠ DAG＋∠ DAE＋∠ BAE＝ 180°，∴∠ BAE＝∠ ABC，∵ AC＝ BC＝AE，∴
11
∠BAC＝∠ ABC，∴∠ BAE＝∠ BAC，∴ AB⊥ CE，且CH＝HE＝2CE，∵ AC＝ BC，∴ AH＝ BH＝2AB
＝3，则 CE＝ 2CH＝ 8， BE＝ AE＝5，∴ BE＋ CE＝ 13
几何图形中的动点问题
【例 2】( 2016·达州 ) △ABC中，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，点 D为直线 BC上一动点 ( 点
D 不与 B， C重合 ) ，以 AD为边在 AD右边作正方形 ADEF，连结 CF.
1
(1)察看猜想
如图 1，当点 D在线段 BC上时，① BC与 CF 的地点关系为 __垂直 __；② BC， CD， CF 之间的数目关系为 __BC＝ CD＋ CF__；
(2)数学思虑
如图 2，当点 D 在线段 CB的延长线上时，结论①，②能否仍旧建立？若建立，请赐予证
明；若不建立，请你写出正确结论再赐予证明．
(3)拓展延长
如图 3，当点 D 在线段 BC的延长线上时，延长 BA交 CF于点 G，连结 GE.若已知 AB＝22，1
CD＝ BC，恳求出GE的长．
4
剖析： (2) 依据正方形的性质获得∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△ DAB≌△ FAC，依据全等
三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可获得结论；(3) 过 A 作 AH⊥BC于点 H，过 E 作 EM⊥BD 于点 M， EN⊥ CF 于点 N，先求出 AH， DH，证△ ADH≌△ DEM( AAS) 获得 EM＝DH， DM ＝AH，由等量代换获得 CN＝ EM，EN＝ CM，依据等腰直角三角形的性质获得 CG＝ BC＝4，依据勾股定理即可获得结论．
解：(2)CF ⊥BC 建立；BC＝CD＋CF不建立，CD＝CF＋BC.证明：∵正方形ADEF，∴AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC( SAS) ，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝ AC，∴∠ ACB＝∠ ABC＝ 45° . ∴∠ ABD＝180°－ 45°＝ 135°，∴∠ BCF ＝∠ ACF－∠ ACB ＝ 135°－ 45°＝ 90°，∴ CF⊥BC.∵ CD＝DB＋ BC， DB＝ CF，∴ CD＝ CF＋ BC
(3) 过 A 作 AH⊥BC 于点 H，过 E 作 EM⊥BD 于点 M，EN⊥ CF 于点 N，∵∠ BAC＝ 90°， AB
111
＝AC，∴ BC＝ 2AB＝ 4，AH＝2BC＝ 2，∴CD＝4BC＝1，CH＝2BC＝ 2，∴ DH＝ 3，由 (2) 证得 BC⊥CF，CF＝ BD＝ 5，∵四边形 ADEF是正方形，∴ AD＝ DE，∠ ADE＝ 90°，∵ BC⊥ CF， EM⊥ BD， EN⊥ CF，∴四边形 CMEN是矩形，∴ NE＝ CM， EM＝ CN，∵∠ AHD＝∠ ADC＝∠ EMD＝ 90°，∴∠ ADH ＋∠ EDM＝∠EDM＋∠ DEM＝ 90°，∴∠ ADH＝∠ DEM，可证△ ADH≌△ DEM(AAS) ，∴ EM＝DH＝ 3，DM＝ AH＝ 2，∴CN＝ EM＝3， EN＝ CM＝ 3，∵∠ ABC＝ 45°，∴∠ BGC＝ 45°，∴△ BCG是等腰
直角三角形，∴ CG＝BC＝ 4，∴ GN＝ 1，∴ EG＝
22
GN＋ EN＝ 10
几何图形中的动线问题
【例 3】( 2016·广东 ) 如图， BD是正方形ABCD的对角线， BC＝ 2，边 BC在其所在的直线上平移，将经过平移获得的线段记为 PQ，连结 PA，QD，并过点 Q作 QO⊥ BD，垂足为 O，连结 OA， OP.
(1)请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？
(2)请判断 OA，OP之间的数目关系和地点关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设 y＝S△OPB， BP＝x(0 ≤ x≤ 2) ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并
求出 y 的最大值．
剖析： (2) 证△ AOB≌△ POQ，可得 AO与 OP的数目与地点关系； (3) 依据等腰直角三角形
2
的性质可得 OE 的长，依据三角形的面积公式可得二次函数， 依据二次函数的性质可得答案．
解： (1) 四边形 APQD 为平行四边形
(2)OA ＝ OP ， OA ⊥ OP.证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ BC ＝ PQ ，∠ ABO ＝∠ OBQ
＝ 45 °，∵ OQ ⊥ BD ，∴∠ PQO ＝ 45°，∴∠ ABO ＝∠ OBQ ＝∠ PQO ＝ 45 °，∴ OB ＝ OQ ，可证 △AOB ≌△ POQ( ) ，∴ OA ＝OP ，∠ AOB ＝∠ POQ ，∴∠ AOP ＝∠ BOQ ＝ 90°，∴ OA ⊥ OP
SAS
x ＋ 2
(3) 过点 O 作 OE ⊥BC 于点 E. ①如图
1，当 P 点在 B 点右边时，则 BQ ＝x ＋ 2， OE ＝ 2 ，
1 x ＋
2 1
21
∴y ＝ 2×
2 ·x ，即 y ＝4(x ＋ 1) － 4，又∵ 0≤x ≤2，∴当 x ＝ 2 时， y 有最大值为
2；②如
2－ x 1 2－ x
1 2
图 2，当 P 点在 B 点左边时，则 BQ ＝ 2－x ，OE ＝ 2 ，∴ y ＝ 2×
2 ·x ，即 y ＝－ 4(x － 1)
1 1
＋ ，又∵ 0≤x ≤2，∴当 x ＝ 1 时， y 有最大值为
. 综上所述，平移过程中△ OPB 的面积的最
4
4
大值为 2
1． ( 导学号 59042307)( 2016· 福州 ) 如图，矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 3， M 是边 CD 上一点，将△ ADM 沿直线 AM 对折，获得△ ANM.
(1) 当 AN 均分∠ MAB 时，求 DM 的长；
(2) 连结 BN ，当 DM ＝ 1 时，求△ ABN 的面积；
(3) 当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．
解： (1) 由折叠知△ ANM ≌△ ADM ，∴∠ MAN ＝∠ DAM ，∵ AN 均分∠ MAB ，∴∠ MAN ＝∠ NAB ，
∴∠ DAM ＝∠ MAN ＝∠ NAB ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DAB ＝90°，∴∠ DAM ＝ 30°，∴ DM
＝AD · tan ∠ DAM ＝3× tan 30°＝ 3× 3
＝ 3
3
(2) 如图 1，延长 MN 交 AB 延长线于点 Q ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ DC ，∴∠ DMA
＝∠ MAQ ，由折叠知△ ANM ≌△ ADM ， ∴∠ DMA ＝∠ AMQ ，AN ＝ AD ＝ 3，MN ＝ MD ＝ 1，∴∠ MAQ ＝∠ AMQ ，
∴MQ ＝ AQ ，设 NQ ＝ x ，则 AQ ＝MQ ＝ 1＋x ，∵∠ ANM ＝ 90°，∴∠ ANQ ＝ 90°，在 Rt △ ANQ 中，
由勾股定理得
2 2 2 2 2 2
AQ ＝ AN ＋NQ ，∴ (x ＋1) ＝ 3 ＋ x ，解得 x ＝4，∴ NQ ＝4， AQ ＝5，∵ AB ＝4，
4 4 1 4 1 24 AQ ＝ 5，∴ S △ NAB ＝ 5S △NAQ ＝ 5× 2AN ·NQ ＝ 5×
2×3×4＝ 5
(3) 如图 2，过点 A 作 AH ⊥BF 于点 H ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ DC ，∴∠ HBA ＝∠ BFC ，
∵∠ AHB ＝∠ BCF ＝ 90°，∴△ ABH ∽△ BFC ，∴ BH CF
N ， H
＝ ，∵ AH ≤ AN ＝3， AB ＝ 4，∴当点 AH BC
3
重合 ( 即 AH ＝AN)时， AH 最大， BH 最小， CF 最小， DF 最大，此时点 M ， F 重合， B ， N ， M 三点共线，如图 3，由折叠知 AD ＝ AH ，∵ AD ＝ BC ，∴ AH ＝ BC ，可证△ ABH ≌△ BFC( AAS )，∴ CF
＝BH ，由勾股定理得 BH ＝ 2 2 2 2
7，∴ CF ＝ 7，∴ DF 的最大值＝ DC －CF
＝ AB － AH ＝ 4 － 3 ＝ 4－ 7
2．( 导学号 59042308 )( 2016· 黑龙江 ) 如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的极点 O 是坐标原点， 点 A 在第一象限， 点 C 在第四象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上， ∠ OAB ＝90°且 OA ＝ AB ， OB ， OC 的长分别是一元二次方程 x 2－ 11x ＋ 30＝0 的两个根 (OB ＞ OC)．
(1) 求点 A 和点 B 的坐标；
(2) 点 P 是线段 OB 上的一个动点 ( 点 P 不与点 O ，B 重合 ) ，过点 P 的直线 l 与 y 轴平行，
直线 l 交边 OA 或边 AB 于点 Q ，交边 OC 或边 BC 于点 R. 设点 P 的横坐标为 t ，线段 QR 的长度为 m ，已知 t ＝ 4 时，直线 l 恰巧过点 C ，当 0＜ t ＜ 3 时，求 m 对于 t 的函数关系式；
(3) 当 m ＝ 3.5 时，请直接写出点 P 的坐标．
解： (1) ∵方程 x 2－11x ＋ 30＝ 0 的解为 x 1＝ 5， x 2＝6，∴ OB ＝ 6， OC ＝5，∴ B 点坐标为
(6 ， 0) ，作 AM ⊥x 轴于点 M ，∵∠ OAB ＝ 90°且 OA ＝ AB ，∴△ AOB 为等腰直角三角形，∴ OM
1 ＝BM ＝ AM ＝ 2OB ＝ 3，∴ A 点坐标为 (3 ，3)
(2) 作 CN ⊥ x 轴于点 N ，∵ t ＝4 时，直线 l 恰巧过点 C ，∴ ON ＝ 4，在 Rt △ OCN 中， CN ＝
2 2 2 2
3 OC － ON ＝ 5 －
4 ＝ 3，∴ C 点坐标为 (4 ，－ 3) ，可求直线 OC 的分析式为 y ＝－ 4x ，直线
3 3 7 OA 的分析式为 y ＝ x ，∵ P(t ，0)(0 ＜ t ＜3) ，∴ Q(t ，t) ，R(t ，－ 4t) ，∴ QR ＝t － ( － 4t) ＝ 4
7 t ，即 m ＝4t(0 ＜ t ＜ 3)
3 (3) 可求直线 AB 的分析式为 y ＝－ x ＋ 6，直线 BC 的分析式为 y ＝ x －9，当 0＜ t ＜ 3 时，
2
7
7
m ＝ 4t ，若 m ＝ 3.5 ，则 4t ＝ 3.5 ，解得 t ＝ 2，此时 P 点坐标为 (2 ， 0) ；当 3≤t ＜ 4 时， Q(t ，
3 3 1 1
－t ＋ 6) ，R(t ，－ t) ，∴ m ＝－ t ＋6－ ( － t) ＝－
t ＋6，若 m ＝ 3.5 ，则－
t ＋ 6＝3.5 ，解
4
4
4
4
3
3
得 t ＝ 10( 不合题意舍去 ) ；当 4≤t ＜ 6 时， Q(t ，－ t ＋6) ，R(t ， t － 9) ，∴ m ＝－ t
＋6－ (
2
2
5
5
23
23
t － 9) ＝－ 2t ＋ 15，若 m ＝ 3.5 ，则－ 2t ＋ 15＝ 3.5 ，解得 t ＝ 5 ，此时 P 点坐标为 ( 5 ，0) ．综 上所述，知足条件的
P 点坐标为 (2 ， 0) 或(
23
， 0)
5
4
3．( 导学号 59042309)( 2016·扬州 ) 已知正方形 ABCD的边长为 4，一个以点 A 为极点的 45°角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC，DC的延长线交于点 E，F，连结 EF. 设 CE＝ a，CF＝ b.
(1)如图 1，当∠ EAF 被对角线 AC均分时，求 a， b 的值；
(2)当△ AEF 是直角三角形时，求 a， b 的值；
(3)如图 3，研究∠ EAF 绕点 A 旋转的过程中 a， b 知足的关系式，并说明原因．
解： (1) ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ BCD＝ 90°，∵ AC是正方形 ABCD的对角线，∴
∠ACB＝∠ ACD＝ 45°，∴∠ ACF＝∠ ACE，∵∠ EAF 被对角线 AC 均分，∴∠ CAF＝∠ CAE，
可证△ ACF≌△ ACE( ASA)，∴ AF＝CE，CF＝CE，∵ CE＝ a， CF＝ b，∴ a＝ b，∵ AF＝ CE，∴∠ AEF ＝∠ AFE，∵∠ EAF＝ 45°，∴∠ AEF＝∠ AFE＝ 67.5 °，∵ CE＝ CF，∠ ECF＝90°，∴∠ CEF ＝∠ CFE＝ 45°，∴∠ AEC＝∠ AFC＝ 22.5 °，∵∠ CAF＝∠ CAE＝ 22.5 °，
∴∠ CAE＝∠ CEA，∴CE＝ AC＝4 2，即 a＝ b＝4 2
(2)当△ AEF 是直角三角形时，①若∠ AEF＝ 90°，∵
∠EAF＝ 45°，∴∠ AFE＝ 45°，∴△ AEF是等腰直角三角形， AE＝ EF，∵∠ AEB＋∠ BEF
＝90°，∠ AEB＋∠ BAE＝90°，∴∠ BEF＝∠ BAE，可证△ ABE≌△ ECF(AAS) ，∴ AB＝EC， BE
＝CF，即 a＝ AB＝ 4， b＝ BE＝BC＋ CE＝8；②若∠ AFE＝90°，同①的方法知CF＝ 4， CE＝ 8，∴a＝ 8， b＝ 4
(3)ab ＝ 32. 原因：如图，∵ AC是正方形ABCD的对角线，∠ EAF＝45°，∴∠ ACD＝45°，
∠ACF＝135°，∠ ACE＝135°，又∵∠ ACD＝∠ CAF＋∠ AFC，∠ EAF＝∠ EAC＋∠ FAC，∴∠ AFC
AC CF22＝∠ EAC，又∵∠ ACF＝∠ ACE＝135°，∴△ ACF∽△ ECA，∴EC＝AC，∴ EC× CF＝ AC＝ 2AB
＝32，∴ ab＝ 32
1． ( 导学号59042310)( 2016·随州 ) 喜好思虑的小茜在研究两条直线的地点关系查阅
资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图 2，图 3 中， AM，BN是△ ABC的中线， AM⊥BN于点 P，像△ ABC这样的三角形均为“中
垂三角形”．设BC＝ a， AC＝b， AB＝ c.
【特例研究】
(1) 如图 1，当tan∠ PAB＝ 1， c＝4 2时， a＝ __4 5__， b＝ __4 5__；如
图 2，当∠ PAB＝ 30°， c＝ 2 时， a＝ __ 7__， b＝__ 13__；
5
【概括证明】
(2)请你察看 (1) 中的计算结果，猜想 a2，b2， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利
用图 3 证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图 4， ?ABCD中， E， F 分别是 AD， BC 的三均分点，且 AD＝ 3AE，BC＝ 3BF，连结AF， BE， CE，且 BE⊥CE于点 E， AF 与 BE 订交点 G， AD＝35， AB＝ 3，求 AF 的长．
解： (2)a 2＋ b2＝ 5c2.
证明：连结MN.∵AM， BN是中线，
1
∴ MN∥AB， MN＝2AB，∴△ MPN∽△ APB，
MPPN1
∴＝＝，
AP PB2
设 MP＝ x， NP＝y，则 AP＝ 2x， BP＝ 2y ，
2222222
∴ a＝ BC＝4BM＝ 4(MP＋ BP ) ＝4x ＋ 16y，
22222
＝ 4y2＋ 16x2
b ＝ AC＝ 4AN＝ 4(PN＋AP )，
222222
c ＝ AB＝ AP＋ BP＝ 4x＋ 4y，
∴a2＋ b2＝20x 2＋ 20y 2＝5(4x 2＋ 4y2) ＝ 5c2
(3)由 AAS可证△AGE≌△FGB，∴BG＝FG，
取 AB中点 H，连结 FH 并延长交 DA的延长线于点 P，同理可证△ APH≌△ BFH，
∴ AP＝BF， PE＝CF＝ 2BF，
即 PE∥CF， PE＝ CF，
∴四边形 CEPF是平行四边形，∴FP∥ CE，
∵BE⊥CE，∴ FP⊥ BE，即 FH⊥BG，
∴△ ABF是中垂三角形，
由 (2) 可知 AB2＋ AF2＝5BF2，
1
∵AB＝3， BF＝ AD＝ 5，
3
∴9＋ AF2＝5×( 5) 2，∴ AF＝ 4
2． ( 导学号 59042311)( 2016·河南 )(1) 发现：如图 1，点 A 为线段 BC外一动点，且BC＝a， AB＝ b.
填空：当点 A 位于 __CB的延长线上 __时，线段 AC 的长获得最大值，且最大值为 __a＋
b__． ( 用含 a， b 的式子表示 )
(2)应用：如图 2，点 A 为线段 BC外一动点，且 BC＝ 3， AB＝ 1，分别以 AB，AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连结 CD， BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明原因；
②直接写出线段BE长的最大值．
(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2 ， 0) ，点 B 的坐标为 (5 ，0) ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA＝2， PM＝PB，∠ BPM＝90°，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐标．
6
解： (2) ①CD＝ BE，原因：∵△＝∠CAE＝60 °，∴ ∠BAD＋△CAD≌△ EAB( SAS)，∴ CD＝BE ABD 与△ ACE是等边三角形，∴AD＝ AB，AC＝ AE，∠BAD ∠BAC＝∠CAE ＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，可证
②∵线段 BE 长的最大值＝线段 CD长的最大值，由 (1) 知，当线段 CD的长获得最大值时，点
D 在 CB的延长线上，∴最大值为 BD＋ BC＝ AB＋ BC＝ 4
(3)如图 1，连结 BM，将△ APM绕着点 P 顺时针旋转 90°获得△ PBN，连结 AN，则△ APN
是等腰直角三角形，∴ PN＝ PA＝2， BN＝ AM，∵ A 的坐标为 (2 ， 0) ，点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，∴OA＝ 2， OB＝ 5，∴ AB＝ 3，∴线段 AM长的最大值＝线段 BN长的最大值，
∴当点 N 在线段 BA的延长线上时，线段 BN获得最大值，最大值＝ AB＋ AN，∵ AN＝2AP
＝2 2，∴最大值为 2 2＋ 3. 如图 2，过 P 作 PE⊥x轴于 E，∵△ APN是等腰直角三角形，1
∴PE＝ AE＝2AN＝2，∴ OE＝OA－ AE＝ 2－2，∴ P(2 －2，2)
3． ( 导学号59042312)( 2016·葫芦岛 ) 如图①，在△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AB＝ AC，
点 E 在 AC上 ( 且不与点 A，C 重合 ) ，在△ ABC 的外面作△ CED，使∠ CED＝ 90°， DE＝CE，连结 AD，分别以 AB， AD为邻边作平行四边形 ABFD，连结 AF.
(1)请直接写出线段 AF，AE的数目关系 __AF＝ 2AE__；
(2)将△ CED绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC上时，如图②，连结 AE，请判断线段AF， AE的数目关系，并证明你的结论；
(3) 在图②的基础上，将△ CED 绕点 C 持续逆时针旋转，请判断 (2) 问中的结论能否发生变
化？若不变，联合图③写出证明过程；若变化，请说明原因．
7
解： (2)AF ＝ 2AE.原因：连结 EF，DF 交 BC于点 K. ∵四边形 ABFD是平行四边形，∴ AB∥DF，
∴∠ DKE＝∠ ABC＝ 45°，∴∠ EKF＝ 180°－∠ DKE＝ 135°，∵∠ ADE＝ 180°－∠ EDC
＝180°－ 45°＝ 135°，∴∠ EKF＝∠ ADE，∵∠ DKC＝∠ C，∴ DK＝ DC，∵ DF＝ AB＝ AC，∴ KF ＝AD，可证△ EKF≌△ EDA( SAS) ，∴ EF＝ EA，∠ KEF＝∠ AED，∴∠ FEA＝∠ BED＝ 90°，∴△ AEF是等腰直角三角形，∴ AF＝ 2AE
(3)结论不变， AF＝ 2AE.原因：连结 EF，延长 FD 交 AC于点 K. ∵∠ EDF＝ 180°－∠ KDC－∠EDC＝ 135°－∠ KDC，∠ ACE＝ (90 °－∠ KDC)＋∠ DCE＝ 135°－∠ KDC，∴∠ EDF＝∠ ACE，∵DF＝AB， AB＝ AC，∴ DF＝ AC，可证△ EDF≌△ ECA( SAS) ，∴ EF＝ EA，∠ FED＝∠ AEC，∴∠
FEA＝∠ DEC＝ 90°，∴△ AEF是等腰直角三角形，∴ AF＝2AE
8。