人教版数学九年级下册《相似三角形的性质》相似1
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2．如何证明你的猜想呢？
探究新知
如图，△ABC∽△ A'B'C' ，相似比为k，AD和A′D′
分别是△ABC和△ A'B'C'的高，求证
AD AD
AB AB
．k
A' A
BD
C
B'
D'
C'
探究新知
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B′．
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
A'
∴△ABD∽△A′B′D′． A
《相似三角形的性质》相似 1
人教版数学九年级付出的人民教师
学习目标
1.理解相似三角形的性质． 2.能够运用相似三角形的性质解决简单的问题．
巩固复习
1．叙述相似三角形的定义． 对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似． 2．从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什 么性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例．
S△ABC S△A BC
1 BC AD 2 1 BC AD
BC BC
AD AD
kk
k 2．
2
A'
A
BD
C
B'
D'
C'
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例题解析
例1．已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，
S△ADE 求 S△ABC
的值．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
探究新知
一般地，相似三角形对应线段的比等 于相似比．
探究新知
5．相似三角形的面积之比与相似比有什么关系？ 猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 证明：如图，若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和
A′D′分别是△ABC和△A'B'C'的 对应高．
A' A
BD
C
B'
D'
C'
探究新知
∴
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ AB = BC = 60 = 5 AB BC 72 6
又AB=15，B′C′=24，∴A′B′=18，BC=20． ∴AC=60-15-20=25，A′C′=72-18-24=30．
课堂小结
相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 2．相似三角形对应线段的比等于相似比； 3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
D
∴ DE DF ．1
AB AC 2
又∠D=∠A，
B
CE
F
1
∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为 2 ．
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为 12 5，
∴△DEF的边EF上的高为
1 2
×6=3，面积为
1 2
2
×12
5 =3
5
．
课堂练习
1．判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形
1
1 5．已知两个相似三角形的相似比为 3
，则它们的周长比为__3__
6．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点G，则
1
1
DE =___2___. S△GED __4____.
BC
S△GBC
课堂练习
7．如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60和72， 且AB=15，B′C′=24，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．
导入新课
3．说出相似三角形的相似比． 相似三角形对应边的比是相似三角形的相似比． 4．相似三角形的其他几何量（如对应高、对应中线、对应角平 分线及周长、面积）可能具有什么性质？
探究新知
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分 线的比与相似比有怎样的关系？
猜想：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角 平分线的比都等于相似比．
∴ AD ．AB k
AD AB
BD
C B'
D'
C'
相似三角形对应高的比等于相似比．
探究新知
类比上面的证明过程，证明相似三角形对应中 线的比、对应角平分线的比也等于相似比k．
探究新知
于是得：角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的 比都等于相似比．
总结归纳：一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比．
的周长也扩大为原来的5倍．（ √）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形
的面积也扩大为原来的9倍．（ × ）
2．若△ABC∽△A′B′C′，且
AB AB
3，△ABC的周长为12
4
cm，则△A′B′C′的周长为 16 c_m________ ；
课堂练习
3．如图，在△ABC中，高BD、CE交于点O，
∴
S△ADE S△ABC
AD 2 AB
5
5
3
2
25 64
例题解析
例2.如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12 5，求 △DEF的边EF上的高和面积．
A
D
B
CE
F
例题解析
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵AB=2DE，AC=2DF，
再见
下列结论错误的是（ D ）．
A．CO·CE=CD·CA C．AD·AC=AE·AB
B．OE·OC=OD·OB B
D．CO·DO=BO·EO
A
E D
O C
4．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=5，CD=3，
则AD的长为（A ）．
A．2.25 B．2.5
C．2.75
D．3
课堂练习
探究新知
3．相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？相似三角形
周长的比等于相似比．
证明：如图，若△ABC∽△ A'B'C' ，
相似比为k，
A
A'
则AB=kA'B'，BC=kB'C'，
AC=kA'C'．
B
CB'
C'
∴ AB BC AC kAB kBC kAC k． AB BC AC AB BC AC
探究新知
如图，△ABC∽△ A'B'C' ，相似比为k，AD和A′D′
分别是△ABC和△ A'B'C'的高，求证
AD AD
AB AB
．k
A' A
BD
C
B'
D'
C'
探究新知
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B′．
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
A'
∴△ABD∽△A′B′D′． A
《相似三角形的性质》相似 1
人教版数学九年级付出的人民教师
学习目标
1.理解相似三角形的性质． 2.能够运用相似三角形的性质解决简单的问题．
巩固复习
1．叙述相似三角形的定义． 对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似． 2．从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什 么性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例．
S△ABC S△A BC
1 BC AD 2 1 BC AD
BC BC
AD AD
kk
k 2．
2
A'
A
BD
C
B'
D'
C'
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例题解析
例1．已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，
S△ADE 求 S△ABC
的值．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
探究新知
一般地，相似三角形对应线段的比等 于相似比．
探究新知
5．相似三角形的面积之比与相似比有什么关系？ 猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 证明：如图，若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和
A′D′分别是△ABC和△A'B'C'的 对应高．
A' A
BD
C
B'
D'
C'
探究新知
∴
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ AB = BC = 60 = 5 AB BC 72 6
又AB=15，B′C′=24，∴A′B′=18，BC=20． ∴AC=60-15-20=25，A′C′=72-18-24=30．
课堂小结
相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 2．相似三角形对应线段的比等于相似比； 3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
D
∴ DE DF ．1
AB AC 2
又∠D=∠A，
B
CE
F
1
∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为 2 ．
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为 12 5，
∴△DEF的边EF上的高为
1 2
×6=3，面积为
1 2
2
×12
5 =3
5
．
课堂练习
1．判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形
1
1 5．已知两个相似三角形的相似比为 3
，则它们的周长比为__3__
6．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点G，则
1
1
DE =___2___. S△GED __4____.
BC
S△GBC
课堂练习
7．如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60和72， 且AB=15，B′C′=24，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．
导入新课
3．说出相似三角形的相似比． 相似三角形对应边的比是相似三角形的相似比． 4．相似三角形的其他几何量（如对应高、对应中线、对应角平 分线及周长、面积）可能具有什么性质？
探究新知
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分 线的比与相似比有怎样的关系？
猜想：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角 平分线的比都等于相似比．
∴ AD ．AB k
AD AB
BD
C B'
D'
C'
相似三角形对应高的比等于相似比．
探究新知
类比上面的证明过程，证明相似三角形对应中 线的比、对应角平分线的比也等于相似比k．
探究新知
于是得：角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的 比都等于相似比．
总结归纳：一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比．
的周长也扩大为原来的5倍．（ √）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形
的面积也扩大为原来的9倍．（ × ）
2．若△ABC∽△A′B′C′，且
AB AB
3，△ABC的周长为12
4
cm，则△A′B′C′的周长为 16 c_m________ ；
课堂练习
3．如图，在△ABC中，高BD、CE交于点O，
∴
S△ADE S△ABC
AD 2 AB
5
5
3
2
25 64
例题解析
例2.如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12 5，求 △DEF的边EF上的高和面积．
A
D
B
CE
F
例题解析
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵AB=2DE，AC=2DF，
再见
下列结论错误的是（ D ）．
A．CO·CE=CD·CA C．AD·AC=AE·AB
B．OE·OC=OD·OB B
D．CO·DO=BO·EO
A
E D
O C
4．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=5，CD=3，
则AD的长为（A ）．
A．2.25 B．2.5
C．2.75
D．3
课堂练习
探究新知
3．相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？相似三角形
周长的比等于相似比．
证明：如图，若△ABC∽△ A'B'C' ，
相似比为k，
A
A'
则AB=kA'B'，BC=kB'C'，
AC=kA'C'．
B
CB'
C'
∴ AB BC AC kAB kBC kAC k． AB BC AC AB BC AC