2021-2022学年河北省张家口市察北牧场中学高二数学理联考试卷含解析

2021-2022学年河北省张家口市察北牧场中学高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列的前三项依次为，则此数列的通项公式为（）.（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
B
2. 设函数f（x）满足f（x）= f（4–x），当x>2时，f（x）为增函数，则a = f（1.10.9）、b = f
（0.91.1）、c = f（log）的大小关系是（）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b
参考答案：
C
3. 已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．
【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，
则根据复数的运算，得.故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
试题分析：函数和函数互为反函数图像关于对称。

则只有直线与直线
垂
5. 若直线经过圆的圆心，则的最大值是（）
A.1
B.2
C.4
D.
参考答案：
A
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2则输出v的值为（）
A. 35
B.20
C. 18
D.9
参考答案：
C
7. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）
A. 83%
B. 72%
C. 67%
D. 66%
参考答案：
A
【分析】
把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．
【详解】当居民人均消费水平为7.675时，
则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，
∴人均消费额占人均工资收入的百分比为
故选：A．
【点睛】本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．
8. 已知ξ的分布列如下：
并且，则方差（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
A
略
9. 已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥
的体积为（）
A. B . C . D .
参考答案：
C
10. 圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）
A．外离B．相交C．内切D．外切
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．
【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
【点评】考查学生会根据d与R+r及R﹣r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点P （0，1）及抛物线y=x 2
+2，Q 是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为 ．
参考答案：
1
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点Q 的坐标为（a ，a 2
+2），则|PQ|2
=a 4
+3a 2
+1，显然当a=0时，|PQ|的最小值为1． 【解答】解：设点Q 的坐标为（a ，a 2+2），则|PQ|2=a 2+（a 2+1）2=a 4+3a 2+1，[来源:学科网] 故当a 2=0，即a=0时，|PQ|2有最小值为1，故|PQ|的最小值为1， 故答案为 1．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题． 12. 在平面直角坐标系
中，双曲线
的离心率为
▲
.
参考答案：
13. 如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。

参考答案：
14. 若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
15. 随机变量服从正态分
，若P(>11)=a ，则P(9<≤ll) =______ ；
参考答案：
1-2a
16. 若点A （1，1），B （2，m ）都是方程ax 2+xy ﹣2=0的曲线上，则m= ．
参考答案：
﹣1
【考点】曲线与方程．
【分析】点A （1，1），B （2，m ），代入方程ax 2+xy ﹣2=0，解方程组，即可求a 、m 的值． 【解答】解：∵A （1，1），B （2，m ）都在方程ax 2+xy ﹣2=0的曲线上，
∴，
∴a=1，m=﹣1， 故答案为：﹣1
17. 已知命题．则是__________；
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=﹣2（x+a ）lnx+x 2
﹣2ax ﹣2a 2
+a ，其中a ＞0． （Ⅰ）设g （x ）是f （x ）的导函数，讨论g （x ）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f （x ）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f （x ）=0在区间
（1，+∞）内有唯一解．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】创新题型；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数f （x ）的定义域，把函数f （x ）求导得到g （x ）再对g （x ）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g （x ）的单调期间；
（Ⅱ）由f （x ）的导函数等于0把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数φ（x ）
=
x
2
，由函数零
点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx
（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）=，
∴．
当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，
在区间上单调递减；
当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由=0，解得，
令φ（x）
=x2，
则φ（1）=1＞0，φ（e）=．
故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．
令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴．
即a0∈（0，1），
当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．
由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．
综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．
19. (本小题满分12分)已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
（I）求椭圆C的标准方程;
（II）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。

参考答案：
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② 7分
把②代入①得化简并整理得
∴ 10分
又 12分
20. （本题满分15分）已知为虚数，为实数．
（1）若为纯虚数，求虚数；
（2）求的取值范围．
参考答案：
解：（1）设，则，
由为纯虚数得，∴，………………………2分
则, ………………………4分
得，，………………………6分
所以或. ………………………7分
（2）∵,
∴，,∴，………………………10分
由得, ………………………12分
∴.
………………………15分
（用复数几何意义解相应给分）
略
21. 已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直
于直线y=x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，
∴f′（x）=﹣﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，
解得：a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，
f′（x）=﹣﹣=（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=﹣1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值﹣ln5．
22. （12分）已知双曲线C：2x2﹣y2=2与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P？
参考答案：
【考点】：直线与圆锥曲线的关系．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣
k2+4k﹣6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2两式相减得．2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），再由点差法进行求出直线AB的斜率，继而的得到直线方程，再和曲线构造方程组，判断方程组是否有两个解，问题得以解决．
解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，
并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）
（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k）
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．
综上知：当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，
且A（x1，y1），B（x2，y2），
则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，
两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）
又∵x1+x2=2，y1+y2=4，
∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）
即k AB==，
∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），
代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，
由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．
【点评】：本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题。