苏州新区二中数学整式的乘法与因式分解单元综合测试(Word版 含答案)

苏州新区二中数学整式的乘法与因式分解单元综合测试（Word 版
含答案）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C 【解析】 【分析】
设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案． 【详解】 解：
设2为a ，3为b ，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2， ∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8， 故选C ． 【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．
2．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ） A ．92-x B ．2269a ab b -+- C ．22x y -- D ．21x -
【答案】C 【解析】 【分析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案． 【详解】
A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；
B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；
C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；
D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式； 故选C ． 【点睛】
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
3．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A ．22(25)a a cm +
B ．2(315)a cm +
C ．2(69)a cm +
D ．2(615)a cm +
【答案】D 【解析】 【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】 矩形的面积为： （a+4）2-（a+1）2 =（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1） =a 2+8a+16-a 2-2a-1 =6a+15． 故选D ．
4．下列运算正确的是（ ） A ．()2
224a a -=- B ．()2
22a b a b +=+ C ．()
2
57a
a =
D ．()()2
224a a a -+--=-
【答案】D 【解析】 【分析】
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择． 【详解】
22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；
222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意； 5210()a a =，故选项C 不合题意；
22(24)()a a a -+--=-，故选项D 符合题意．
故选D ． 【点睛】
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
5．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．22()22a a b a ab +=+
D ．222()2a b a ab b -=-+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答． 【详解】
图1中阴影部分的面积为：22a b -， 图2中的面积为：()()a b a b +-， 则2
2
()()a b a b a b +-=- 故选：A. 【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
6．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( ) A ．a 2-1 B ．a 2+a C ．a 2+a-2 D ．(a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】
试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．
考点：因式分解.
7．下面计算正确的是（ ） A ．33645x x x += B ．236a a a ⋅=
C ．()
4
3
12216x x -=
D ．()()22
222x y x y x y +-=-
【答案】C 【解析】 【分析】
A.合并同类项得到结果；
B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；
C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果；
D.利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断. 【详解】
A.原式=35x ，错误；
B.原式=5a ，错误；
C.原式=1216x ，正确；
D.原式=224x y -，错误. 故选C. 【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式运算，熟知其运算法则是解题的关键.
8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）
A ．30
B ．20
C ．60
D ．40
【答案】A 【解析】 【分析】
设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解. 【详解】
设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ， 则2
2
60x y -=， ∵S 阴影=S △AEC +S △AED =
11
()()22
x y x x y y -+-
=
1
()()2x y x y -+ =221()2
x y - =
1
602⨯ =30. 故选A. 【点睛】
此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.
9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1 B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2 C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1） D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x
【答案】C 【解析】 【分析】
根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可． 【详解】
A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；
D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选C ． 【点睛】
此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
10．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ） A ．b>0，b 2-ac ≤0 B ．b ＜0，b 2-ac ≤0 C ．b>0，b 2-ac ≥0 D ．b ＜0，b 2-ac ≥0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意得a+c=2b ，然后将a+c 替换掉可求得b ＜0，将b 2-ac 变形为
()2
4
a c -，可根据平
方的非负性求得b 2-ac≥0. 【详解】 解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b ， ∴a+2b+c=4b ＜0， ∴b ＜0，
∴a 2+2ac+c 2=4b 2，即222
24
a ac c
b ++=
∴b 2-ac=()2
2222
22044
4
a c a ac c a ac c
ac -++-+-==
≥，
故选：D. 【点睛】
本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货. 【答案】22 【解析】 【分析】
设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组
130599
(1)(1)1305
ax by a y b x +=+⎧⎨
-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数
得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案. 【详解】
设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，
130599
(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨
-+-=⎩
， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，
∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，
∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<， ∴()(1)12921a b x y ++-=⨯， 即129a b +=， 121x y +-=， ∴x+y=22， 故答案为：22. 【点睛】
此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据
A 和
B 的单价总和确定出x+y 的值.
12．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________． 【答案】28 【解析】 【分析】
对完全平方公式进行变形即可解答. 【详解】
解：∵222
()216a b a ab b -=-+=
∴22a b +=2
()a b -+2ab=16+2×6=28
故答案为28. 【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.
13．将4个数a ，b ，c ，d 排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
a b c d
，定义
a b ad bc c d
=-，上述记号就叫做2阶行列式.若
11611
x x x x --=-+，则x=_________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x 即可. 【详解】 由题意可得，
(x-1)（x+1）- (x-1）2=6， 解得x=4. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键．
14．因式分解：x 3﹣4x=_____． 【答案】x （x+2）（x ﹣2） 【解析】
试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15．若3a b +=，则226a b b -+的值为__________. 【答案】9 【解析】 分析：
先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+，再将3a b +=代入所化式子计算即可. 详解： ∵3a b +=， ∴226a b b -+ =()()6a b a b b +-+ =3()6a b b -+ =336a b b -+ =3()a b + =9. 故答案为：9.
点睛：“能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+”是解答本题的关键.
16．若a+b=4，ab=1，则a 2b+ab 2=________． 【答案】4 【解析】 【分析】
分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入． 【详解】
解：a 2b+ab 2=ab(a+b)=1×4=4． 故答案为：4. 【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
17．因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____． 【答案】a （a ﹣b ）2． 【解析】
【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2） =a （a ﹣b ）2， 故答案为a （a ﹣b ）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．分解因式：a 3－a = 【答案】(1)(1)a a a -+ 【解析】
a 3－a =a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+
19．光的速度约为3×105 km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s 计算,则这颗恒星到地球的距离是_______km. 【答案】3.6×1013 【解析】 【分析】
根据题意列出算式，再根据单项式的运算法则进行计算． 【详解】
依题意，这颗恒星到地球的距离为 4×3×107×3×105， =（4×3×3）×（107×105）， =3.6×1013km ． 故答案为：3.6×1013. 【点睛】
本题考查了根据实际问题列算式的能力，科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算．
20．已知8a b +=，22
4a b =，则22
2
a b ab +-=_____________．
【答案】28或36． 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵224a b =，∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2
()22a b ab +-=
642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2
()22
a b ab +-=
642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36． 【点睛】
本题考查完全平方公式；分类讨论．。