17版：§8.3 平面的基本性质与推论（步步高）

1.平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质：
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
(2)平面基本性质的推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系
(1) 位置关系的分类⎩⎨⎧
共面直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
平行
相交异面直线：既不平行又不相交的直线
(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A .( × ) (4)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( × )
(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√)
(6)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)
1.下列命题正确的个数为()
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，
①③正确.
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
答案 C
解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.
3.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，
C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
答案 D
解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据基本性质3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
4.(教材改编)两两平行的三条直线可确定________个平面.
答案1或3
解析三直线共面确定1个，
三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个.
5.已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥1
2(AC ＋BD )；
②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <1
2(AC ＋BD ).
其中正确的是________. 答案 ④
解析 如图，取BC 的中点O ， 连接MO 、NO ，
则OM ＝12AC ，ON ＝1
2BD ，
在△MON 中，MN <OM ＋ON ＝1
2
(AC ＋BD )，∴④正确.
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：
(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点.
证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面. (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，如图所示.
则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.
又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点.
思维升华 基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；基本性质2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据.
如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边
形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝
1
2AD ，BE ∥AF 且BE ＝1
2AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点.
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊1
2
AD .
又BC 綊1
2AD ，∴GH 綊BC .
∴四边形BCHG 为平行四边形.
(2)解 ∵BE 綊1
2AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，
∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面. 题型二 判断空间两直线的位置关系
例2 (1)(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交
C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交
D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交
(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( ) A.MN 与CC 1垂直 B.MN 与AC 垂直 C.MN 与BD 平行 D.MN 与A 1B 1平行
(3)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
答案(1)D(2)D(3)②④
解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.
(2)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D.
(3)图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面.
所以图②④中GH与MN异面.
思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本性质4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.
如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、
M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN共面；
④DE与MN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
答案②③④，
解析把正四面体的平面展开还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与
MN为异面直线，GH与MN相交，DE⊥MN.
15.构造模型判断空间线面位置关系
典例：已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是()
A.①④
B.②④
C.①
D.④
思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系.
解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确.
答案 A
温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.
[方法与技巧]
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3可知这些点在交线上，因此共线.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.
[失误与防范]
1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.
2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.
A组专项基础训练
(时间：30分钟)
1.在下列命题中，不是基本性质的是()
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案 A
解析选项A是面面平行的性质定理，是由基本性质推证出来的，而基本性质是不需要证明的.
2.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析在如图所示的长方体中，
不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，
则直线l1，l4可以是AB，BC；
也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；
这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.
3.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()
A.相交或平行
B.相交或异面
C.平行或异面
D.相交、平行或异面
答案 D
解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.
4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的
取值范围是()
A.(0，2)
B.(0，3)
C.(1，2)
D.(1，3)
答案 A
解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.故选A.
5.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
答案 D
解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.
6.(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b 与c的位置关系是________.
答案a∥b∥c
解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.
又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
答案 4
解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF 相交的侧面有4个. 8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3，则_______.
①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；
③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上. 答案 ④
解析 依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面.因为EH ＝1
2BD ，
FG ＝2
3BD ，故EH ≠FG ，所以EHGF 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在
EF 上，故点M 在平面ACB 上.同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上.
9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条. 答案 无数
解析 方法一 在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.
方法二 在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交.
10.如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .
(1)求AH ∶HD ；
(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点. (1)解 ∵AE EB ＝CF
FB ＝2，∴EF ∥AC ，
∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH .
∴
AH HD ＝CG
GD
＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝1
4，
∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.
令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点.
B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)
11.以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3 答案 B
解析 ①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确. 12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( ) A.|BM |是定值
B.点M 在某个球面上运动
C.存在某个位置，使DE ⊥A 1C
D.存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 答案 C
解析 取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝1
2A 1D ，FB ∥ED
且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的
球上，可得A 、B 正确.由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得D 正确；
A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确.
13.已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.
其中正确命题的个数是________.
答案 2
解析命题①③正确，命题②④错误.其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面α，β有可能不垂直.
14.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中
点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________.(注：把你认为正确的结论的序号都填上)
答案③④
解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误.
15.正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体过P、Q、R的截面图形的形状是________边形.
答案六
解析如图，延长QP，PQ分别交CB的延长线于E，交CD的延长线
于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1
于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1
过P、Q、R三点的截面图形.。