长春市实验中学数学高二下期末经典复习题(含解析)

一、选择题
1．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）
A B ．±
C D ．±
2．设sin 2cos αα=，0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，则tan2α的值是( )
A B ．C D ．3．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．12
π
D ．
24
π
4．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( )
A B ．C ．6 D ．
152
5．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若
(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线
B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为
(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的
C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形
D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 6．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等边三角形
7．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2
+π
6(k ∈Z )x C ．x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )
D ．x =
kπ2
+π
12(k ∈Z )
8．已知角α的终边经过点()2,1P -，则
sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．
12
D ．
34
9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛
⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数
()y f x =的表达式是（ ）
A ．()2sin 12f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭ B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ C ．()22sin 23
f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
10．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．
1
2
B ．0
C ．12
-
D ．2-
11．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
或32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．32sin 24
y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
D ．32sin 24
y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量
OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．
A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．5ππ,122⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦
13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫
=
⎨⎬⎩⎭
,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．
π2
14．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A
．
B ．
C ．4
D ．12
15．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若222
4
ABC
a b c S ∆+-=
（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题
16．已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________.
17．在ABC 中，已知1
tan 2tan tan A B A
-
=，则cos(2)A B -的值为________. 18．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________.
19．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则
||MN 的最大值为__________．
20．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________．
21．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.
22．设向量(,2)OA k =，(4,5)OB =，(6,)OC k =，且AB BC ⊥，则k =__________． 23．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足
BM CN BC
CD
=
，则AM AN ⋅的取值范围是__________．
24．已知()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-，则sin 2sin 2αβ的值为__________．
25．已知1tan 2α=，则2
(sin cos )cos 2ααα
+=____________ .
三、解答题
26．已知向量a =(cosωx ，﹣cosωx )，(3b =sinωx ，cosωx )(ω>0)，函数f (x )a =•b ，若函数f (x )的最小正周期为23
π. （1）求ω的值； （2）当x ∈[0，
2
π
]时，求函数f (x )的值域. 27．已知向量32a i j b i j =-=+，，其中,i j 是互相垂直的单位向量. (1) 求向量a 在向量b 方向上的投影；
(2) 设向量,m a b n a b λ=-=+，若m n ⊥，求实数λ的值. 28．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 29．已知:4,(1,3)a b ==- （1）若//a b ，求a 的坐标；
（2）若a 与b 的夹角为120°，求a b -. 30．设函数()sin(2)16
f x x π
=++.
(1)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的值域;
(2)ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3
()2
f A =
=,求sin C .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．C 2．A
3．C
4．D
5．D
6．C
7．C
8．B
9．D
10．C
11．C
12．D
13．A
14．B
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本
17．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等
18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
19．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
20．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言
21．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定
22．7【解析】分析：根据向量的线性运算求得根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k的值详解：根据向量的坐标运算因为所以解得点睛：本题考查了向量的线性运算坐标运算和垂直时坐标间的关系综合性强但难度不大
23．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量
24．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，
∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴
cos302λ︒=， ∴
4λ=，则0λ>，
∴λ=
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．A
解析：A 【解析】
2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，
tan 2tan
3
π
α== A.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡
⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化
4．D
【解析】 【分析】
结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：
121211215
)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．
【点睛】
本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由()()
1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点
、、A B C 必共线，故A 正确；
由平面向量基本定理可知B 正确；
由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为
ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误 故选D.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】
在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简
sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知
A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.
7．C
解析：C
【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =
cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−π
12,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )，故选C ．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】
依题意可知1tan 2α=-，
11
sin cos tan 1
231sin sin tan 1
12
αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】
由题图可知2A =，且
11522122T πππ
=-=即T π=，所以222T ππωπ
===， 将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得
()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23
k k π
ϕπ=-∈Z ， 因为2
π
ϕ≤
，所以3
π
ϕ=-
，
所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
．故选D. 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
解析：C 【解析】 【分析】
首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得
()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=
-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值1
2
-.
【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()
()
2
AP BP OP OA OP OB OP
OA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+
()()
11
122
OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+
因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12
-
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，又φπ<，
解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 故选C.
【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
12．D
解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O
∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴2
2121
k d r k -=
≤=+．
即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan
12-=，5
23tan
π12
+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．
故选D ．
13．A
解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω
的值 【详解】
由题意可得()1
sin 2
x ωθ+=
的解为两个不等的实数1x ，2x
且123ππω⨯
=，求得2
3
ω= 故()f x 的最小正周期是23π
πω
=
故选A 【点睛】
本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】
因为2
2
2
2cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
15． D
解析：D 【解析】
试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE AB
AC
=
=
，以AD ，AE 为邻边
作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且
AB
AC
AF AB AC
=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
；
∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；
∴延长AF
交BC 的中点于O ，则：
S △ABC ＝222124a b c +-=
，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；
∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算
二、填空题
16．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本
解析：0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设向量a 、b 的夹角为θ，在不等式2a b b a +≥-两边平方，利用数量积的运算律和定义求出cos θ的取值范围，于此可求出θ的取值范围． 【详解】
设向量a 、b 的夹角为θ，
2a b b a +≥-，两边平方得2222244a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，
a 、
b 都是单位向量，则有22cos 54cos θθ+≥-，得1cos 2
θ≥
， 0θπ≤≤，03
π
θ∴≤≤
，因此，向量a 、b 的夹角的取值范围是0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 故答案为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．
17．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等
解析：0 【解析】 【分析】
通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1
tan 2tan tan A B A
-
=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1
tan 2=
1tan tan A A A B
=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以
sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案
为0. 【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.
18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得2(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】
由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==
则2
2
1
(2)22cos60422162
a a
b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
19．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
【解析】
sin cos )
4
MN a a a π
=-=
-≤MN .
方法点睛：本题考查数形结合思想的应用，(),sin M a a ，(),cos N a a ，根据两点间距离
公式sin cos MN a a =
=-，再根据辅助角公式转化为
sin cos )4a a a π
-=-，当()42
k k Z ππ
απ-=+∈时，MN 取得最大值.
20．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=
【解析】
分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e e
e e x
x
x x y y y --=→=→
==横坐标变为一半
右移个单位
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
21．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定
解析：)
【解析】
分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得
222
33cos 22
VC a a VDC =
-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，
连接,,VD CD VC ，则VD VC ==
VDC ∠是二面角V AB C --的平面角， 可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，
在三角形VDC 中由余弦定理可得，
22
22cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 22
33cos 22
a a VDC =
-∠
22030VC a VC <<⇒<<，
即VC 的取值范围是()
，
为故答案为()
.
点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.
22．7【解析】分析：根据向量的线性运算求得根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k 的值详解：根据向量的坐标运算因为所以解得点睛：本题考查了向量的线性运算坐标运算和垂直时坐标间的关系综合性强但难度不大
解析：7 【解析】
分析：根据向量的线性运算，求得()()4,3,2,5AB k BC k =-=-，根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k 的值．
详解：根据向量的坐标运算()()4,3,2,5AB k BC k =-=- 因为AB BC ⊥
所以2(4)3(5)0k k -+-= 解得7k =
点睛：本题考查了向量的线性运算、坐标运算和垂直时坐标间的关系，综合性强，但难度
不大．
23．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量
解析：[1,9] 【解析】
设,BM BC CN CD λλ==，则()()
·
·AM AN AB BM AD DN =++，也即是()
()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦
，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．
点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．
24．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
解析：1
3
-
【解析】 ∵()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-， (α+β)+(α−β)=2α,(α+β)−(α−β)=2β，
∴
sin2sin2αβ=()()(
)()sin αβαβsin αβαβ⎡⎤++-⎣⎦
⎡⎤+--⎣⎦ =()()()()()()()()sin αβcos αβcos αβsin αβsin cos cos sin αβαβαβαβ+-++-+--+- =
()()()()
tan αβtan αβtan tan αβαβ++-+-- =13
-.
故答案为：1
3
-.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点
睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三
解析：3 【解析】 【分析】
由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】
由题意可得：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin αααααα
ααα
+++=
- 2
2tan 2tan 11tan ααα++=-1
11
4
114
++=-
3=. 【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 26． （1）
3
2（2）12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦， 【解析】 【分析】
（1）先结合向量数量积公式和二倍角公式（降幂公式）化简，由辅助角公式可得
()1sin 262f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，结合周期公式即可求解；
（2）由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，43663x πππ⎥⇒⎡⎤
-∈-⎢⎣⎦，，结合函数图像性质即可求解值域；
【详解】 （1）23f x a b sin x cos
x cos x ωωω=⋅=
⋅-（）1222
cos x
x ωω+=
-
1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，∵ω>0，f (x )的最小正周期为23π
，∴2223ππω=，∴32ω=；
（2）由（1）知，()1
sin 362f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，∵02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴43663x
πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴sin 316x π⎡
⎤
⎛
⎫-∈⎢
⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，∴f (x )的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，. 【点睛】
本题考查三角函数解析式的化简求值，求正弦型三角函数在给定区间的值域，属于基础题
27．
（12）0λ= 【解析】 【分析】
（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果；
（2）根据m n ⊥，得到()()
0a b a b λ-⋅+=，得出22
0λλ+⋅-⋅-=a a b a b b ，进而求解，即可得出结果. 【详解】
（1）因为32,=-=+a i j b i j ，,i j 是互相垂直的单位向量， 所以()()32615⋅=-+=-=a b i j
i j ，
()2
3391=
=
=--+a i j i j ()
2
224=+=
+=+=b i j i j
所以向量a 在向量b 方向上的投影为5
cos ,5
⋅<>==
=a b
a a
b b （2）因为,m a b n a b λ=-=+，m n ⊥， 则()()0a b a b λ-⋅
+=，即2
2
0λλ+⋅-⋅-=a
a b a b b ，
即105550λλ+--=，解得0λ=. 【点睛】
本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
28．
（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】
解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，
又25c =，所以22
(2)20λλ+=，即2λ=±，
故2,4c
或()2,4--；
（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++， 由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53
λ>-
， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠， 故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3
⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.
29．
（1
）(2,-
或(2,-.（2）27a b -= 【解析】
试题分析：（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出． （2）利用数量积运算性质即可的． 试题解析：
（1）∵(1,3b =-，∴2b =，与
b 共线的单位向量为12b
c b ⎛=±=±- ⎝
⎭. ∵4,//a a b =
，∴(
2,a a c ==-或(-. （2）∵0
4,2,,b 120a b a ===，∴b cos ,b 4a b a a ⋅==-， ∴()
2
22228a
b
a a
b b -
=-⋅+=，∴27a b -=.
点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
30．
（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）
4
【解析】 【分析】 （1）根据0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π+的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】
（1）0,,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x π
ππ⎡⎤∴+
∈⎢⎥⎣⎦
，
1sin 21226x π⎛
⎫∴
++ ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的值域为1
,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，
（2）
3()sin 2162f A A π⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，
1sin 262A π⎛
⎫∴+= ⎪⎝
⎭，
0,A π<< 1326
6
6
A π
π
π
∴
<+
<
， 526
6
A π
π∴+
=
， 即3
A π
=
,
2a =
由正弦定理得：A B ==
，
sin B ∴=
， 203B π
∴<<
，则4
B π=，
1sin sin[()]sin()sin cos cos sin 34343434224C πππππππππ∴=-+=+=+==
【点睛】
本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.。