四元数
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4 阶实方阵集 H 内方阵型如 b a d c ,令 1 I
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ,则集 H 内任意方阵可唯一表为 aIbE cJ dK ,即 , E 1 0 , J ;K c d a b 1 0 0 1 1 0 1 d c b a 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 H {aI bE cJ dK | a,b,c,dR} ,H 对矩阵减法封闭 ;且 E J K I , EJ K,JK E,KE J; JE K,KJ E,EK J ,矩阵乘法在 H 内封闭,故 H 对矩阵加,乘法构 1 来自
[d, b, c] [a, d, c] [a, b, d] 推论 [a, b, c] 0 d a b c a {b (c d)} (b d)(a c) (b c)(a d) [a, b, c] [a, b, c]
S() : 2a R
N( ) : a2 b2 c2 d2 R
证明: 0 0, oder, 0
0, und, 0 0 N( ) 0 0 ,即 0, und, 0 0 ,同理 0,und, 0 0 0 N( ) 0 证明:若 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根,则 也是其根. 因为, 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 也是其根)
四矢外积: (a b) (c d) [a, b, d]c [a, b, c]d [c, d, a]b [c, d, b]a (V, V, V, V) V 三矢外积 三矢外积 (a b) (c d) ((a b) d)c ((a b) c)d [a, b, d]c [a, b, c]d; (a b) (c d) ((c d) a)b ((c d) b)a [c, d, a]b [c, d, b]a
四元数域内二次方程一般不止两个根 ,如最简单的方程 x2 1 就最少存在 i, j,k 6 个根,实际上 x2 1 有无穷多个根,因为使 p2 q2 r 2 1 成 立的实数 p, q, r 有无穷多个,而 (pi qj rk)2 (p2 q2 r2) 1 Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数 x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使 i 在有明确意义:
(a bi cj dk)(a'b'i c' j d' k) (aa'bb'cc'dd') (ab'ba'cd'dc')i (ac'ca'db'bd') j (ad'da'bc'cb')k
四元数的单元间的运算规则: i2 j2 k2 1, ij ji k, jk kj i, ki ik j 四元数加法适合结合律 ,交换律;四元数乘法适合结合律但不适合交换律,即 ( ) ( ) 而一般 .( R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！ ！ ！ 四元数的共轭 : : a bi cj dk ,若 a bi cj dk 四元数的迹 : 四元数的模 : 性质: 性质: S( ) S() S( ) 性质: N( ) N( ) N( ) , 0 N() 0
四元数 quaternions 复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:1, i, j, k .四元数定义 a bi cj dk ,其中 a, b, c, d R 另一四元数 a'b'i c' j d' k, a', b', c', d' R ,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为
推论 a (b c) b (c a) c (a b) 0
a c ad 四矢内积: (a b) (c d) (a c)(b d) (a d)(b c) b c b d
a2 b2 c 2 d2 0 ,所以 H 中非零元在 H 内存在逆元,综上所述 H 是非交换体 ,常称 H 为四元数环 ,称 H 内的元为四元数 Quaterion: t+xi+yj+zk,其中 t 为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则
V, V R 两矢的外积: | a b || a || b | sin(a, b) , (a b) a, b (V, V) V 物理意义: a, b 两矢内积是功; a, b 两矢外积的模是以 a, b 两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换 外积和内积的关系: | a b |2| a |2| b |2 (a b)2 | a |2| b |2 (1 cos2(a, b)) | a |2| b |2 sin 2(a, b) 即 | a b || a || b | sin(a, b) (a b) (a b) a a b b a 2 b2 推论 (a b) (a b) a b; 四元数和两重积间的联系:两四元数 a1i a2 j a3k , b1i b2 j b3k ;两矢量 a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) 间关系 a , b 两矢内积和四元数间的关系:两量积 a b 1 ( ) 1 ( ) Re( ) Re( ) ,即两矢内积 a, b 对应于四元数 的实部. 2 2 1 两矢外积和四元数间的关系:矢量内积 a b ( ) Re( ) Im( ) ,即两矢外积 a b 对应于四元数 的非实部. 2 两矢内积,外积和四元数间的关系: a b a b 三矢内积 [a, b, c] : (a b) c a (b c) , V, V, V R 物理意义: a, b, c 三矢的内积是以 a, b, c 三矢为边的平行六面体的体积 性质: (a b) c (b c) a (c a) b (b a) c (c b) a (a c) b [a b, b c, c a] [a, b, c]2 推论: [a p, b q, c r ] [a q, b r, c p] [a r, b p, c q] 0 三矢外积 a (b c) b(a c) (a b)c (V, V, V) V
[a, b, c]
流线 等 X 面 /线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度 为形象描述矢量场 f (x, y, z) 定义 f (x, y, z) 的流线 f . 为形象描述标量场 (x, y, z) 定义 (x, y, z) 的等 X 面 /线 .
两矢的内积: a b | a || b | cos(a, b)
a b c b c a (b c b c ) a 3(b3c1 b1c3) (a1c1 a 2c2 a 3c3)b1 (a1b1 a 2b2 a 3b3)c1 1 2 3 3 2 2 1 2 2 1 a (b c) a 2 b3c1 b1c3 a 3(b2c3 b3c2) a1(b1c2 b2c1) (a1c1 a 2c2 a 3c3)b2 (a1b1 a 2b2 a 3b3)c2 a b c b c a (b c b c ) a (b c b c ) (a c a c a c )b (a b a b a b )c 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 1 2 2 1 1 3 1 1 3 b1 c1 (a1c1 a 2c2 a 3c3) b2 (a1b1 a 2b2 a 3b3) c2 (a c)b (a b)c b c 3 3
(V, V, V, V) R
三矢内积 三矢外积 (a b) (c d) (b (c d)) a ((b d)c (b c)d) a (a c)(b d) (a d)(b c)
a b c d
成环 ;H 的元素个数 >1; I 是 H 的单位元 , 又因 (aI bE cJ dK)(aI bE cJ dK) (a2 b2 c2 d2)I , 且当 aI bE cJ dK 0 时 , a,b,c,d 不全为零 , 故
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ,则集 H 内任意方阵可唯一表为 aIbE cJ dK ,即 , E 1 0 , J ;K c d a b 1 0 0 1 1 0 1 d c b a 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 H {aI bE cJ dK | a,b,c,dR} ,H 对矩阵减法封闭 ;且 E J K I , EJ K,JK E,KE J; JE K,KJ E,EK J ,矩阵乘法在 H 内封闭,故 H 对矩阵加,乘法构 1 来自
[d, b, c] [a, d, c] [a, b, d] 推论 [a, b, c] 0 d a b c a {b (c d)} (b d)(a c) (b c)(a d) [a, b, c] [a, b, c]
S() : 2a R
N( ) : a2 b2 c2 d2 R
证明: 0 0, oder, 0
0, und, 0 0 N( ) 0 0 ,即 0, und, 0 0 ,同理 0,und, 0 0 0 N( ) 0 证明:若 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根,则 也是其根. 因为, 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 也是其根)
四矢外积: (a b) (c d) [a, b, d]c [a, b, c]d [c, d, a]b [c, d, b]a (V, V, V, V) V 三矢外积 三矢外积 (a b) (c d) ((a b) d)c ((a b) c)d [a, b, d]c [a, b, c]d; (a b) (c d) ((c d) a)b ((c d) b)a [c, d, a]b [c, d, b]a
四元数域内二次方程一般不止两个根 ,如最简单的方程 x2 1 就最少存在 i, j,k 6 个根,实际上 x2 1 有无穷多个根,因为使 p2 q2 r 2 1 成 立的实数 p, q, r 有无穷多个,而 (pi qj rk)2 (p2 q2 r2) 1 Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数 x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使 i 在有明确意义:
(a bi cj dk)(a'b'i c' j d' k) (aa'bb'cc'dd') (ab'ba'cd'dc')i (ac'ca'db'bd') j (ad'da'bc'cb')k
四元数的单元间的运算规则: i2 j2 k2 1, ij ji k, jk kj i, ki ik j 四元数加法适合结合律 ,交换律;四元数乘法适合结合律但不适合交换律,即 ( ) ( ) 而一般 .( R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！ ！ ！ 四元数的共轭 : : a bi cj dk ,若 a bi cj dk 四元数的迹 : 四元数的模 : 性质: 性质: S( ) S() S( ) 性质: N( ) N( ) N( ) , 0 N() 0
四元数 quaternions 复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:1, i, j, k .四元数定义 a bi cj dk ,其中 a, b, c, d R 另一四元数 a'b'i c' j d' k, a', b', c', d' R ,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为
推论 a (b c) b (c a) c (a b) 0
a c ad 四矢内积: (a b) (c d) (a c)(b d) (a d)(b c) b c b d
a2 b2 c 2 d2 0 ,所以 H 中非零元在 H 内存在逆元,综上所述 H 是非交换体 ,常称 H 为四元数环 ,称 H 内的元为四元数 Quaterion: t+xi+yj+zk,其中 t 为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则
V, V R 两矢的外积: | a b || a || b | sin(a, b) , (a b) a, b (V, V) V 物理意义: a, b 两矢内积是功; a, b 两矢外积的模是以 a, b 两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换 外积和内积的关系: | a b |2| a |2| b |2 (a b)2 | a |2| b |2 (1 cos2(a, b)) | a |2| b |2 sin 2(a, b) 即 | a b || a || b | sin(a, b) (a b) (a b) a a b b a 2 b2 推论 (a b) (a b) a b; 四元数和两重积间的联系:两四元数 a1i a2 j a3k , b1i b2 j b3k ;两矢量 a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) 间关系 a , b 两矢内积和四元数间的关系:两量积 a b 1 ( ) 1 ( ) Re( ) Re( ) ,即两矢内积 a, b 对应于四元数 的实部. 2 2 1 两矢外积和四元数间的关系:矢量内积 a b ( ) Re( ) Im( ) ,即两矢外积 a b 对应于四元数 的非实部. 2 两矢内积,外积和四元数间的关系: a b a b 三矢内积 [a, b, c] : (a b) c a (b c) , V, V, V R 物理意义: a, b, c 三矢的内积是以 a, b, c 三矢为边的平行六面体的体积 性质: (a b) c (b c) a (c a) b (b a) c (c b) a (a c) b [a b, b c, c a] [a, b, c]2 推论: [a p, b q, c r ] [a q, b r, c p] [a r, b p, c q] 0 三矢外积 a (b c) b(a c) (a b)c (V, V, V) V
[a, b, c]
流线 等 X 面 /线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度 为形象描述矢量场 f (x, y, z) 定义 f (x, y, z) 的流线 f . 为形象描述标量场 (x, y, z) 定义 (x, y, z) 的等 X 面 /线 .
两矢的内积: a b | a || b | cos(a, b)
a b c b c a (b c b c ) a 3(b3c1 b1c3) (a1c1 a 2c2 a 3c3)b1 (a1b1 a 2b2 a 3b3)c1 1 2 3 3 2 2 1 2 2 1 a (b c) a 2 b3c1 b1c3 a 3(b2c3 b3c2) a1(b1c2 b2c1) (a1c1 a 2c2 a 3c3)b2 (a1b1 a 2b2 a 3b3)c2 a b c b c a (b c b c ) a (b c b c ) (a c a c a c )b (a b a b a b )c 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 1 2 2 1 1 3 1 1 3 b1 c1 (a1c1 a 2c2 a 3c3) b2 (a1b1 a 2b2 a 3b3) c2 (a c)b (a b)c b c 3 3
(V, V, V, V) R
三矢内积 三矢外积 (a b) (c d) (b (c d)) a ((b d)c (b c)d) a (a c)(b d) (a d)(b c)
a b c d
成环 ;H 的元素个数 >1; I 是 H 的单位元 , 又因 (aI bE cJ dK)(aI bE cJ dK) (a2 b2 c2 d2)I , 且当 aI bE cJ dK 0 时 , a,b,c,d 不全为零 , 故