山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第七编 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法()理

高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式总第32期§7.2 一元二次不等式及
其解法
基础自测
1.下列结论正确的是 .
①不等式x 2
≥4的解集为{x|x ≥±2}，②不等式x 2
-9＜0的解集为{x|x ＜3}，③不等式(x-1)2
＜2的解集为{x|1-2
＜x ＜1+
2
}，④设x 1,x 2为ax 2
+bx+c=0的两个
实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2
+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 答案 ③
2.（2007·湖南理）不等式1
2+-x x ≤0的解集
是 . 答案 （-1，2］
3.（2008·天津理）已知函数f(x)=⎩
⎨
⎧≥-<+-,
0,
1,0,
1x x x x 则不等式
x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 . 答案 {x|x ≤
2
-1}
4.在R 上定义运算⊗
:x
⊗
y=x(1-y).若不等式
(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围
是 .
答案 -21＜a ＜2
3
5.(2008·江苏，4)A={x|(x-1)2
＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0 例题精讲 例1 解不等式2
3
⎪⎭⎫
⎝
⎛+-352x ≥21(x 2
-9)-3x.
解 原不等式可化为-23x 2
+25≥21x 2
-2
9
-3x,即2x 2
-3x-7≤0.
解方程2x 2
-3x-7=0,得x=4
653±
.所以原不等式的解集为
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-4654346543x x .
例2 已知不等式ax 2
+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2
+bx+a ＜0的解集.
解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0,∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，
∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=0
0)(αββαa
c
a
b
∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2
+bx+a ＜0可化为x 2
+x c b +c
a
① ②
＞0,
①÷②得c b =αββα)(+-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+βα
11＜0,由②得c a =αβ1=α
1·β1＞0,
∴α1、β1为方程x 2
+c b x+c
a
=0的两根.∵0＜α＜β,
∴不等式cx 2
+bx+a ＜0的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧><α
β11x x x 或.
方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2
+bx+c=0的两根， ∴α+β=-a
b
,αβ=
a
c ,∴cx 2
+bx+a ＜0⇔
a
c x 2
+
a
b x+1＞
0⇔(αβ)x 2
-(α+β)x+1＞0
⇔
(αx-1)(βx-1)＞0⇔
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-α1x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-β1x ＞0.∵0＜α＜β,∴
α1
＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,
∴cx 2
+bx+a ＜0的解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧><α
β11x x x 或.
例3 已知不等式1
1
+-x ax ＞0 (a ∈R ).
(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.
解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;
②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或
x ＞a
1;
③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭
⎫
⎝
⎛-a x 1(x+1)＜0;
若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1＜x ＜-1;若a
1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;
若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a
1.
综上所述, a ＜-1时,解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等
式无解;
-1＜a ＜0时,解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧-<<11
x a
x ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};
a ＞0时,解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧><-<a x x x 11或.
(2)∵x=-a 时不等式成立,∴1
1
2
+---a a ＞0,即-a+1＜0,∴a
＞1,即a 的取值范围为a ＞1.
例4已知f(x)=x 2
-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.
解 方法一 f(x)=(x-a)2
+2-a 2
,此二次函数图象的对称轴为x=a,
①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x)在［-1，+∞）上单调递增，f(x)min =f(-1)=2a+3,
要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1
②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2,由2-a 2
≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.
方法二 由已知得x 2
-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立，
即Δ=4a 2
-4（2-a ）≤0或⎪⎩
⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a ,解得-3≤a ≤1.
巩固练习 1.解下列不等式：
（1）-x 2
+2x-32＞0;(2)9x 2
-6x+1≥0.
解 （1）-x 2+2x-32＞0⇔
x 2
-2x+3
2＜0⇔
3x 2
-6x+2
＜0
Δ=12＞0,且方程3x 2
-6x+2=0的两根为x 1=1-3
3
,x 2=1+
3
3
,
∴原不等式解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧+<<-
331331x x .
(2)9x 2
-6x+1≥0⇔(3x-1)2
≥0.∴x ∈R ,∴不等式解集为R .
2.已知关于x 的不等式（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集为
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解
集.
解：∵（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集是⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-<31x x ,∴
⎪⎩
⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-+.0,
0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2
a x a x --＜0 （a ∈R ）.
解
2
a
x a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2
)＜0, ①当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ；②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2
，此时a ＜x ＜a 2
;
③当0＜a ＜1时，a ＞a 2
，此时a 2
＜x ＜a.
综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2
}；
当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2
＜x ＜a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x 2
+ax+3.
(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范
围.
解 (1)∵x ∈R 时,有x 2
+ax+3-a ≥0恒成立,
须Δ=a 2
-4(3-a)≤0,即a 2
+4a-12≤0, 所以-6≤a ≤2.
(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2
+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):
①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2
-4(3-a)≤0,即-6≤a ≤2.
②如图(2),g(x)的图象与x 轴有交点,但在x ∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,
即
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧≥--<-=≥∆0
)2(,
220
g a x 即
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥-+--<-≥--0
324220
)3(42a a a
a a ⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37
462a a a a 或解之得a ∈Φ.
③如图(3),g(x)的图象与x 轴有交点,但在x ∈(-∞,2］时,g(x)≥0, 即
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧≥>-=≥∆0
)2(,
220
g a x 即
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥-++>-≥--0
3242
20
)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-<-≤≥7
462a a a a 或⇔-7≤a ≤-6
综合①②③得a ∈［-7，2］. 回顾总结
知识 方法 思想
课后作业 一、填空题 1.函数y=
)
1(log 22
1-x 的定义域是 .
答案 ［-2
,-1）∪（1，2
］
2.不等式
4
12--x x ＞0的解集是 .
答案 (-2,1)∪(2,+∞)
3.若(m+1)x 2
-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 答案 m ＜-11
13
4.若关于x 的不等式：x 2
-ax-6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 . 答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤1
5.(2009·启东质检)已知函数f(x ）的定义域为（-∞，+∞），
f ′(x)为f(x)的导函数，函数y=f ′(x)的图象如右图所示，
且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x 2
-6)＞1的解集为 .
答案 (2,3)∪(-3,-2) 6.不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧<-<-0
30122x x x 的解集为 .
答案 {x|0＜x ＜1}
7.若不等式2x ＞x 2
+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8)
8.已知{x|ax 2
-ax+1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 二、解答题
9.解关于x 的不等式56x 2
+ax-a 2
＜0.
解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫ ⎝
⎛+7a x ⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-8a x ＜0.
①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8
a ,即a=0时,原不等式解集为φ;
③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7
a .综上知:当a ＞0
时,原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-8
7a x a x ;
当a=0时,原不等式的解集为Φ;当a ＜0时,原不等式
的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-<<7
8a x a x .
10.已知x 2
+px+q ＜0的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-3
121x x ，求不等式qx 2
+px+1＞0的解集.
解 ∵x 2
+px+q ＜0的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<-3
121x x ,∴-21,31是方程x 2
+px+q=0的两实数根， 由根与系数的关系得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-⨯-=-q p )21(3
121
31,∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==6161q p ,∴不等式
qx 2
+px+1＞0可化为-016
1
612>++x x , 即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2
+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.
11.若不等式2x-1＞m(x 2
-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.
解 方法一 原不等式化为(x 2
-1)m-(2x-1)＜0.令f(m)=(x 2
-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2). 则
⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.
0)12()1(2)2(,
0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得2
7
1+
-＜x ＜2
3
1+
.
方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，
（1）若x 2
-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞2
1,∴x=1,此时原不等式恒成立.
（2）当x 2
-1＞0时，使1
1
22--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立
的充要条件是1
122--x x ＞2,∴1＜x ＜2
3
1+
.
(3)当x 2-1＜0时，使1
122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的
充要条件是1
122--x x ＜-2.∴2
7
1+
-＜x ＜1.
由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪
⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧+<<-2132
1
7x x
.
12.已知函数f(x)=ax 2
+a 2
x+2b-a 3
,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；
（2）设F （x ）=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？
解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，
∴⎪
⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224
623a
a
b a ,∴⎩⎨⎧-=-=84
b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4
k (-4x 2
+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)
=kx 2
+4x-2.
当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；
当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩
⎨
⎧<+<0
8160
k k ,解
得k＜-2.。